數學中的求“同”存“異”

肖旭平

摘要：數學考試作為檢驗學生數學能力的高低，了解同學們現有的解題水平的考試，十分注重學生的解題思維。依據現在新課標的改革，除了讓學生能有扎實的數學基礎之外，培養學生的創新能力，創新思維也提到了現在教學的日程之上，而實現這一切的途徑，可通過解題才可以。在解題的過程中，培養學生們求同存異的思維，通過總結歸納，在總結一類題型當中共同的一部分，使用自己扎實的數學基礎，找到一些比較新穎的解法，鍛煉學生們的創新思維，提高綜合素質。

關鍵詞：求同存異;創新思維;解題方向

求同存異思維，是我們在數學學習當中相當重要的解題思維，通過對比部分試題之間的差異性和共同性，來拓寬學生們的思維，發散思維，以最快速度找到問題的突破點，進而解決問題。但是平時的教學當中學生們在遇到比較困難的問題，或者是稍微比之前的常規問題多出一點點變化的時候，往往會出現手足無措的茫然感覺，感覺無從下手，究其原因，是學生的思維非常的僵硬，見過的題型不多。要知道數學知識具有相當強的靈活性，一個小小的知識點，就可以衍生出相當多不同的題目，這就需要學生們在解題的過程當中，尋找這些題目的共性，或者是尋找一道題目中的不同解題方法，把握住當中的核心脈絡，真正吃透一道題，同樣也可以舉一反三，提升解題效率。

一、同一道題用不同思路解決

（一）例題

例如：已知函數f（x）=ax3 -3x2+1，若f（x）存在唯一的零點X0，且X0>0，則a的取值范圍為（ ）

A.（2， +∞） B. （-∞，-2）

C.（1， +∞） D.（-∞，-1）

（二）不同解法

解法一：求導得f（x）=3ax2-6x=3x（ax2-2），若a=0，則f（x）=-3x2+1，不合題意，舍去：若a≠0，令f （x）=0解得x=0或x=2/a。

當a<0時，可以得到f（x）在（-∞，2/a） 上呈現的趨勢是單調遞減。在（2/a，0）上則是單調遞增的趨勢，在（0，+∞）上單調遞減，結合f（x）的圖像，只需有f（2/a）>0.解得a<2.

當a>0時，可以得到f（x）在（-∞，0）上單調遞增，由f（-1）=-a-2<0，f（0）=1>0，知f（x）在（-1.0）上有零點，不合題意，舍去：

綜上所述，a的取值范圍為（-∞，-2），因此答案選擇B。

解法二：由題意知，方程ax3-3x2+1=0與x軸正半軸有且僅有一個交點，所以x≠0，則a= -（1/x3）+3/x.令t=1/x≠0，等價于方程a=-t3+3t（t≠0）有唯一正根，來做出關于a的圖像，數形結合，a的取值范圍為（-∞，-2），答案選擇B.

解法三：取a=3，f（x）=3x3-3x2+1，檢驗知不合題意，排除A，C;取a=-4/3，f（x）=-4/3（X3） -3x2+1，所以ACD都不是正確答案，選擇B

（三）解法分析

解法一：通過求導，得出一個新的方程，代入題內的已知條件，排除一種可能，隨后，用導數的性質來判斷原圖像的走勢，最終得出結論。

解法二：運用了數形結合的思維，先是通過對于題意的判斷，得出來了X≠0的結果，其次再用等效替換法，設出了一個新的方程，并且通過數形結合，來達到解題的目的。

解法三：這也是最簡單的一種方法，將選擇題所給的答案帶入到題中去，進而判斷出哪一個更符合題意。

（四）解法反思

解法一的特點就是中規中矩，也是這一類題型當中比較常用的思路，通過求導來構建新的方程，并且通過導數的性質來判斷，進而得出答案，但是缺點就是運算量太大，需要學生具有良好的邏輯思維能力，并且還要具備完善的數學知識體系，扎實的數學功底才能夠解決這一類問題。

解法二更需要學生擁有天馬行空的想象力，能夠準確地運用構造方程，數形結合的思維，比起第一種來更為的簡單，但是對學生的數學水平要求極高。

解法三角度出奇，通過帶入題中所給的答案，來判斷哪一個更符合題意，這樣的方式更適合那些基礎薄弱的學生，同樣也是一種取向的方法，只能運用在選擇題。

由此可知，通過對一道相對基礎的題型進行不同角度的解法，不僅可以拓寬了同學們的創新思維，也能從多個方面理解知識的含義，對于課本上的知識理解得更清晰，更透徹，解題思路瞬間擴大，思維更為的活躍，也可以從這多種類型的解題思路當中，進行求同存異，把握住核心脈絡，進行對知識的剖析，掌握住重點，不僅減少了學生的學習任務，學習起來更輕松，也更讓學生對于這門課程充滿興趣，提升了學生的綜合素質。

二、結語

數學學科與其他的學科不同，需要一定的邏輯思維能力，學生們在學習數學的過程當中，不僅要掌握扎實的數學知識基礎，還需要擁有天馬行空的解題思維，在解決數學問題當中，學會求同存異，通過同一種題型的不同解決方法，找到其核心脈絡，拓展自己的解題思維，教師在教學途中同樣也要刻意地培養這一種思維能力，引導學生們去主動思考，下意識的主動去思索每一道題的核心，深入的理解課本上的知識，在做題的時候靈活應用，甚至舉一反三，擴展學生們對于解題的思維，提升他們對于數字的敏感度，適應當今社會對于他們新的要求，嚴格要求自己，真正能夠全方位的成長，提高他們的綜合素質。

參考文獻：

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