利用四個元素助力數(shù)學(xué)概念教學(xué)

何英

【關(guān)鍵詞】內(nèi)隱資源;深度理解;概念教學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）20-0071-02

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識中最基本的元素，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的載體，是解決數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程是培養(yǎng)學(xué)生思維能力、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。因此概念教學(xué)值得每一位數(shù)學(xué)老師認真研究。筆者以為，可以借鑒南京師范大學(xué)喻平教授對內(nèi)隱性課程資源的相關(guān)分析，來做好高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)。

南京師范大學(xué)喻平教授認為，課程資源包括外顯性和內(nèi)隱性兩個層面。外顯性資源是外部顯露的可視資源，內(nèi)隱性資源則是潛藏于顯性知識深層的隱性知識，具體地說，包括數(shù)學(xué)知識的背景元素、過程元素、文化元素、邏輯元素等，這些資源的有效利用，對促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念顯得尤為重要。下面筆者以“任意角的三角函數(shù)”這一內(nèi)容為例，談?wù)勆鲜鏊膫€元素在概念教學(xué)中的運用。

1.背景元素。

將現(xiàn)實背景融入課堂教學(xué)中，使其作為學(xué)習(xí)知識的“先行組織者”，有助于學(xué)生利用生活經(jīng)驗去同化知識、理解知識，同時可以使他們在心理上消除數(shù)學(xué)的“冰冷性”，感知數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性。“三角函數(shù)”可以用來描述現(xiàn)實世界中很多周期運動與變化關(guān)系。教師可以創(chuàng)設(shè)“摩天輪問題”作為三角函數(shù)概念課的主情境，引導(dǎo)學(xué)生探究“在勻速轉(zhuǎn)動的過程中摩天輪上某個點距離地面的高度隨著哪些量的變化而變化，高度與旋轉(zhuǎn)的角度（弧度制）之間的對應(yīng)關(guān)系存在什么特殊之處”。這樣的引入可以使學(xué)生從熟悉的生活情境進入問題研究，拉近了數(shù)學(xué)和生活的距離，明確了學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而且這個函數(shù)模型能形象體現(xiàn)高度與角度的對應(yīng)關(guān)系，周期性表現(xiàn)明顯，為學(xué)生理解三角函數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)、是描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的重要模型作了鋪墊。

2.過程元素。

過程元素在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中可以具體表現(xiàn)為引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念產(chǎn)生的緣由、概念存在的合理性、概念的應(yīng)用價值以及概念在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的地位等。

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)，但高中將角擴充到了任意角，所以三角函數(shù)需要一個更具普適性的定義方式，這是概念產(chǎn)生的緣由。初中用直角三角形三邊長的比值定義了銳角的三角函數(shù)，而銳角的三角函數(shù)是任意角的三角函數(shù)的特殊形式，所以任意角的三角函數(shù)應(yīng)該也可以用比值定義。

在尋找銳角三角函數(shù)在直角坐標系中的合理表述的過程中發(fā)現(xiàn)，用角的終邊上點的坐標的比值定義任意角的三角函數(shù)既能揭示任意角與比值之間的對應(yīng)關(guān)系，又能通過坐標的正負體現(xiàn)不同象限角的三角函數(shù)值的區(qū)別，還能體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性。這是概念存在的合理性。單位圓定義法是后繼研究性質(zhì)的重要工具，這是概念的數(shù)學(xué)價值和應(yīng)用價值。教學(xué)中可以用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生在初中三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)上自主探究出高中三角函數(shù)的概念，讓學(xué)生在“悱”和“發(fā)”的交替過程中感受知識產(chǎn)生的必要性與合理性，經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造過程，提高數(shù)學(xué)抽象的能力，形成優(yōu)化意識，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高元認知能力。

3.文化元素。

數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)價值觀和數(shù)學(xué)審美。其中數(shù)學(xué)知識是外顯性課程資源，其余的均為內(nèi)隱性課程資源。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時，由特殊角（銳角）的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，體會了由特殊到一般的研究方法;得到定義（終邊定義法）后，在研究的過程中發(fā)現(xiàn)了有著特殊研究意義的單位圓定義法，又體會了由一般到特殊的研究方法。整個過程中學(xué)生能深刻感受到“特殊”與“一般”之間的哲學(xué)辯證思想。

知識來源于實踐，“每個數(shù)學(xué)知識是怎樣產(chǎn)生并一步步演化成今天的形式化結(jié)果的”這一問題能引發(fā)學(xué)生的興趣，教師如能在梳理數(shù)學(xué)史時將幾個重要節(jié)點呈現(xiàn)給學(xué)生，可以滿足學(xué)生的好奇心、求知欲，也能幫助學(xué)生建構(gòu)知識，完成對知識的再創(chuàng)造和對知識的深度理解。例如，通過介紹三角函數(shù)的發(fā)展史，教師可以讓學(xué)生了解三角函數(shù)研究的起源，明確其現(xiàn)實意義和數(shù)學(xué)意義，了解正弦、余弦名稱的來源，幫助學(xué)生理解現(xiàn)在的比值定義法比原來用弦長定義更為科學(xué)合理。此外，三角函數(shù)定義的完善橫跨千年，其間凝聚了諸多人類才俊的智慧，這很容易引發(fā)學(xué)生對人類知識進步的緩慢和艱辛、數(shù)學(xué)家為人類發(fā)展而做的堅持不懈的努力的情感共鳴，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門不斷演進的學(xué)科，而非一個僵化的知識體系。這一過程有利于學(xué)生感受數(shù)學(xué)精神，堅定數(shù)學(xué)信念，形成正確的數(shù)學(xué)價值觀。

4.邏輯元素。

數(shù)學(xué)知識的邏輯元素是指滲透在數(shù)學(xué)知識中的邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系隱藏在數(shù)學(xué)知識關(guān)系之間，厘清邏輯關(guān)系有助于學(xué)生了解概念的來龍去脈，深刻理解概念的本質(zhì)，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。由于初中主要研究的0°～180°的角已經(jīng)不能滿足現(xiàn)實生活中對角的描述的需要，所以用動態(tài)的旋轉(zhuǎn)方式來定義角。為了體現(xiàn)不同的旋轉(zhuǎn)程度，將角放入直角坐標系中研究，因此我們在定義任意角的三角函數(shù)的時候才會考慮怎樣定義才能既兼容原先初中的定義方式，又能體現(xiàn)不同象限角的三角函數(shù)值的區(qū)別，從而得到坐標定義法。

為了方便研究三角函數(shù)值的變化情況，我們簡化了定義方式，取r =1得到了單位圓定義法。這個定義方式將角與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系進一步顯化，更方便研究三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、誘導(dǎo)公式等問題。教材上并沒有呈現(xiàn)這些層層遞進的知識之間的邏輯關(guān)系，但在教學(xué)過程中教師如果能將教材中隱藏的這些關(guān)系抽絲剝繭般地慢慢展現(xiàn)出來，那么知識的呈現(xiàn)會更自然，課堂會更流暢，學(xué)生對概念的理解也會更透徹。

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師只有充分發(fā)掘教材的內(nèi)隱性資源，將教材中的“隱藏層”慢慢打開，才能更有效地幫助學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，從本質(zhì)上把握概念的內(nèi)涵和外延，深度理解概念，形成完整的概念和命題網(wǎng)絡(luò)，更好地應(yīng)用知識解決問題，乃至形成終身受用的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這就是發(fā)掘課程內(nèi)隱性資源的價值所在。

（作者單位：江蘇省太湖高級中學(xué)）