數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析

楊昌生

【摘? ? 要】數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題中的重要思想，需要教師引導(dǎo)學(xué)生自覺在學(xué)習(xí)中使用數(shù)形結(jié)合思想。本文基于數(shù)形結(jié)合思想的概述，分析了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，并簡(jiǎn)要闡述了目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，提出數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用方法，探討了如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)? 數(shù)形結(jié)合思想? 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2021.17.001

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

在數(shù)學(xué)問題研究的過程中，使用圖形直觀地對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行表達(dá)，使用代數(shù)關(guān)系表達(dá)圖形方面的問題的思想方法便是數(shù)形結(jié)合思想方法，其本質(zhì)就是將抽象的數(shù)量關(guān)系借助直觀的圖形進(jìn)行結(jié)合思考，做到在全面分析題目數(shù)量關(guān)系的同時(shí)了解題目中的幾何直觀關(guān)系，尋找全新的問題解決思路[1-2]。數(shù)學(xué)作為一種針對(duì)客觀事件空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深刻研究的學(xué)科，數(shù)、形是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中研究的兩類基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)象，二者在教學(xué)內(nèi)容和方法上呈現(xiàn)出一種相互聯(lián)系的關(guān)系，并且可以在一定的環(huán)境條件下進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換以及補(bǔ)充。在針對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究的過程中，借助圖形的轉(zhuǎn)化能夠幫助人們深刻理解數(shù)量的直接關(guān)系，而在圖形研究的過程中，可以借用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行標(biāo)注，確保學(xué)生能夠更加清晰地了解題目中的具體條件。數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生在問題解答的過程中找到數(shù)形各自的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步明確解題的思路，以最簡(jiǎn)便的方式得出正確的答案。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)形結(jié)合思想和高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效結(jié)合，能夠?qū)W(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，以此為學(xué)生接下來的知識(shí)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)[3]。高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)數(shù)量相對(duì)較多，且分布呈現(xiàn)一種錯(cuò)綜復(fù)雜的狀態(tài)，會(huì)使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)清晰度不足。通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知就能夠變得更為清晰和直觀。

作為數(shù)學(xué)問題解答過程中的關(guān)鍵工具，數(shù)形結(jié)合思想也是一種解題過程中的指導(dǎo)思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題具體化呈現(xiàn)，降低問題解決過程中的難度。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生通過發(fā)散思維尋找更多的解題方法。比如，能幫助學(xué)生在解決代數(shù)問題時(shí)自動(dòng)聯(lián)想到與之相關(guān)的幾何模型，借助最為直觀的數(shù)學(xué)圖形，對(duì)于知識(shí)的本質(zhì)屬性做出深入的理解，并遷移應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中，能夠幫助學(xué)生從多種角度、多種層次，以多種方法解決數(shù)學(xué)問題，能夠在學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)中發(fā)揮重要的作用。

三、目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

目前，我國(guó)教育事業(yè)的快速發(fā)展使年輕教師開始成為教師隊(duì)伍中的工作主力，但因?yàn)槿狈ψ銐虻慕虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的數(shù)形結(jié)合思想的理解相對(duì)較為淺顯，導(dǎo)致整體的教學(xué)工作呈現(xiàn)出一種理論知識(shí)灌輸?shù)膯我换虒W(xué)傾向，并且教師長(zhǎng)期在課堂教學(xué)過程中占據(jù)主導(dǎo)地位，抑制了學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的主觀性。學(xué)生即便對(duì)數(shù)形結(jié)合方法有所了解，卻無法在問題解答的過程中主動(dòng)進(jìn)行應(yīng)用。因?yàn)樾７綄?duì)年輕教師的繼續(xù)教育專業(yè)培訓(xùn)工作有所不足，再加之未能為年輕教師提供妥善的職業(yè)發(fā)展規(guī)劃，也使得教師未能在教學(xué)的過程中貫穿數(shù)形結(jié)合思想。

即便當(dāng)下高中階段的數(shù)學(xué)教師普遍接受過高等教育，但在社會(huì)范圍內(nèi)高度關(guān)注學(xué)生考試分?jǐn)?shù)提高的影響下，教師依舊延續(xù)傳統(tǒng)的教育觀念，未來將數(shù)形結(jié)合思想和教學(xué)工作進(jìn)行全過程的結(jié)合，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)形結(jié)合知識(shí)體系建立不夠完整。教師因?yàn)檫^分信賴自己數(shù)學(xué)教學(xué)工作的穩(wěn)定性，工作態(tài)度缺乏積極性，忽視了教育理念改變對(duì)于教育工作的重要價(jià)值，影響到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣，不但影響了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體工作效果，使學(xué)生也未能全面掌握數(shù)形結(jié)合思想并遷移應(yīng)用到實(shí)際問題解決中。

四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用

（一）在集合知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用分析

集合作為高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是其他知識(shí)點(diǎn)得以學(xué)習(xí)的必要理論條件。在集合這部分知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠?qū)⒓现R(shí)中抽象的數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形間圖像關(guān)系的研究，從而幫助學(xué)生建立完善的集合部分的知識(shí)框架。換言之，數(shù)形結(jié)合思想在集合知識(shí)部分教學(xué)的過程中，是使用以形解數(shù)的方式幫助學(xué)生理解其中的知識(shí)點(diǎn)[4-5]。

（二）在函數(shù)知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用分析

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的重要組成部分，在教師帶領(lǐng)學(xué)生研究函數(shù)的定義和值域的過程中，也可以使用數(shù)形結(jié)合的方法，以區(qū)間的形式進(jìn)行表示，同樣可以利用韋恩圖和數(shù)軸的方式進(jìn)行。比如，在講解有關(guān)函數(shù)定義域和值域這部分知識(shí)的過程中，教師可以直接將定義域給出的實(shí)際范圍和區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，使用解析式求解對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并將大小的數(shù)值分別標(biāo)注在區(qū)間的兩側(cè)，用來表示函數(shù)的值域[6]。這種方法所用到的原理就是函數(shù)的單調(diào)性，如果在求解區(qū)間上函數(shù)的因變量隨著自變量逐漸增大而增大，則證明在這個(gè)區(qū)間內(nèi)部的取值范圍下，函數(shù)呈現(xiàn)一種單調(diào)遞增的趨勢(shì);反之，則函數(shù)在取值范圍內(nèi)呈現(xiàn)一種單調(diào)遞減的趨勢(shì)。如果學(xué)生能夠直接對(duì)函數(shù)的類型進(jìn)行判斷，便可以將函數(shù)定義域中的兩個(gè)端點(diǎn)數(shù)值直接使用解析式求解最終的數(shù)值，隨后得出函數(shù)所求的取值范圍值域。如果學(xué)生需要針對(duì)二次函數(shù)的值域進(jìn)行求解，則需要使用配方的方法，優(yōu)先對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方。在引入數(shù)形結(jié)合思想的前提下，描繪出函數(shù)圖像，確定函數(shù)圖像的頂點(diǎn)位置是否在將要求取的取值范圍內(nèi)。通常而言，如果函數(shù)X的取值范圍是整個(gè)實(shí)數(shù)級(jí)別，可以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式中a的正負(fù)值畫出函數(shù)的圖像進(jìn)行判斷，如果a自身大于0，則函數(shù)的值域?yàn)椋∟，+∞），若a小于0則函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，N）。如果求解的目標(biāo)二次函數(shù)有著確定的定義域，頂點(diǎn)不在這個(gè)定義域范圍之內(nèi)，則需要直接代入兩個(gè)定義域的端點(diǎn)，進(jìn)行函數(shù)值域的求解。在這種情況下，函數(shù)呈現(xiàn)出一種單調(diào)遞增或者遞減的特性。如果經(jīng)過配方處理后的二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)同樣在所求的取值范圍之內(nèi)，需要優(yōu)先針對(duì)給出的取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn)以及函數(shù)的頂點(diǎn)值進(jìn)行求解，在最后求解出數(shù)值的情況下，較大和較小的兩個(gè)數(shù)值則分別為函數(shù)的最大值和最小值。

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的零點(diǎn)問題也是其中解題難度相對(duì)較高的一類，并且在歷年的高考中也都有所展示。在求解有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的過程中，實(shí)際上是求解函數(shù)的圖像與X軸交點(diǎn)的數(shù)量，在這種情況下，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用需要優(yōu)先讓函數(shù)的y=0成立，求解出來的x也就是零點(diǎn)，隨后將y=0的方程拆解成兩個(gè)初等函數(shù)并畫出函數(shù)的圖像，找到圖像之間的交叉點(diǎn)，這交叉點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的X值就是函數(shù)的零點(diǎn)，這種操作的主要原因是在函數(shù)圖像交點(diǎn)的位置上，這個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的X值和Y值大小完全相等，也就意味著這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值在彼此相減之后差值一定為0，這也是原函數(shù)的零點(diǎn)。又或者可以利用函數(shù)的求導(dǎo)法求解除有關(guān)函數(shù)的極值列。

（三）在不等式知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用分析

不等式作為高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，在高考中是以線性規(guī)劃的方式出現(xiàn)，同樣可以使用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解其中的主要問題，尤其是其中的線性規(guī)劃問題，可以通過數(shù)形結(jié)合的方式將之轉(zhuǎn)換為二元一次不等式組求解其解集的問題。根據(jù)不等式組中的各種條件限制畫出的能夠選擇的數(shù)值點(diǎn)所圍成的區(qū)域就是可行域，位于這一區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)值點(diǎn)，都是符合這個(gè)二元一次不等式組要求的解集。

五、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想有效滲透策略

（一）挖掘教材中與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合的素材

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想共同組成了高中數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容，其中數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含高中階段各種常用的數(shù)學(xué)思想，需要由教師對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深刻的挖掘，使用其中的各種經(jīng)典素材滲透各種數(shù)學(xué)思維和解題思路。作為高中階段重要的思想工具之一的數(shù)形結(jié)合思想，與整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系有著較為緊密的關(guān)聯(lián)。數(shù)軸、基本初等函數(shù)、函數(shù)圖像、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列、不等式等教學(xué)內(nèi)容都是與數(shù)形結(jié)合思想有著緊密關(guān)聯(lián)的教學(xué)素材，教師可以憑借這些初等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)合思想的初步認(rèn)知，認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合這一方式應(yīng)用的具體價(jià)值，學(xué)會(huì)使用直觀的圖形解決抽象的代數(shù)問題[7]。圓錐曲線與方程、直線與方程等教學(xué)內(nèi)容同樣與數(shù)形思想有著較為緊密的關(guān)聯(lián)，通過學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生也可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到以代數(shù)方式解決圖形問題、數(shù)形轉(zhuǎn)換思想的具體價(jià)值，幫助學(xué)生在解題的過程中靈活地使用數(shù)形結(jié)合思想，并逐漸內(nèi)化為自己的解題工具。在進(jìn)入高三階段的總復(fù)習(xí)之后，學(xué)生能夠?qū)ψ约旱臄?shù)形結(jié)合思想進(jìn)行綜合運(yùn)用以及考查，數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用對(duì)于學(xué)生解題速度和正確率的提升有著十分重要的幫助。教師需要以綜合的數(shù)學(xué)題目作為載體，將數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行巧妙的滲透。

（二）在知識(shí)的形成、解決中逐步滲透

高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)體系基本貫穿了數(shù)形結(jié)合思想，這也就意味著學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)需要長(zhǎng)期堅(jiān)持的過程，需要在形成正確認(rèn)識(shí)之后通過應(yīng)用進(jìn)行鞏固以及內(nèi)化。因?yàn)楦咧须A段的數(shù)學(xué)思想都隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)模塊中，教師需要在向?qū)W生傳授全新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中引導(dǎo)學(xué)生探索這些知識(shí)的完整形成過程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的真正價(jià)值[8]。比如，教師在帶領(lǐng)學(xué)生共同學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)奇偶性這部分知識(shí)的時(shí)候，可以邀請(qǐng)學(xué)生在上課之前使用五點(diǎn)法畫出f（x）=x2以及f（x）=|x|的具體圖像，并讓學(xué)生觀察圖像的特點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的特點(diǎn)。在學(xué)生給出回答之后，教師可以要求學(xué)生思考是否函數(shù)中定義域中的任意x都完全符合這一規(guī)律，由學(xué)生自行進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)工作完成之后，教師可以和學(xué)生共同給出偶函數(shù)方面的定義，這種圖形和代數(shù)結(jié)合的方法也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過描繪函數(shù)圖像，并通過層層問題的設(shè)置為數(shù)形結(jié)合思想的滲透提供完美的鋪墊，讓學(xué)生意識(shí)到在知識(shí)學(xué)習(xí)過程中數(shù)形結(jié)合思想的重要作用。

問題解決作為數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的重要部分，數(shù)學(xué)思想也起到了十分重要的指導(dǎo)作用，教師需要在知識(shí)講解的過程中，為學(xué)生建立良好的問題解決情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在問題解決中的真正價(jià)值。在學(xué)生感受到函數(shù)圖像對(duì)于代數(shù)問題解答價(jià)值之后，教師可以解釋代數(shù)方法很容易忽略x的符號(hào)問題，所以會(huì)得到錯(cuò)誤的答案，并幫助學(xué)生在獨(dú)立思考的情況下引導(dǎo)其找出錯(cuò)誤發(fā)生的原因，讓學(xué)生自主進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制，真正體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的作用。

（三）教學(xué)工作的趣味化、信息化發(fā)展

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)出一種抽象枯燥的特點(diǎn)，教師為了幫助學(xué)生集中注意力，需要結(jié)合實(shí)際的生活內(nèi)容，講述一些具備數(shù)學(xué)教育意義的故事，并結(jié)合歷史發(fā)展過程中數(shù)學(xué)家發(fā)生的趣味故事，介紹數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維得以真正的活躍，并為學(xué)生提供數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展也為教育工作提供了更為先進(jìn)的設(shè)備支持，因?yàn)楦咧须A段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量較多并且抽象，無法單純憑借教師的口頭語言闡述幫助學(xué)生深刻地理解抽象的邏輯知識(shí)。教師可以在進(jìn)行知識(shí)講解的過程中，使用多媒體設(shè)備在圖像和視頻播放等方面的優(yōu)勢(shì)傳授數(shù)形結(jié)合思想。比如，在帶領(lǐng)學(xué)生共同學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)定義域這部分內(nèi)容的過程中，可以使用多媒體軟件將函數(shù)的圖像畫出，并呈現(xiàn)出詳細(xì)的步驟以及學(xué)生需要了解的圖像繪制細(xì)節(jié)，這也能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)作圖能力。這種直觀化的教學(xué)方式，能夠幫助學(xué)生體會(huì)到圖形在代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的重要價(jià)值，形成對(duì)于各種知識(shí)點(diǎn)的深刻理解并自覺在今后的學(xué)習(xí)中使用數(shù)形結(jié)合思想。

六、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想作為高中數(shù)學(xué)思想體系中的重要組成部分，能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)和較為復(fù)雜的幾何問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，以一種更為直觀的方式幫助學(xué)生進(jìn)行問題的解答。教師可以在結(jié)合各種趣味故事以及使用多媒體設(shè)備的前提下，深刻挖掘教材中與數(shù)形思想相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的完整過程，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的真正價(jià)值，并自覺在解題中進(jìn)行應(yīng)用。

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