試解“新高考”2021年數學全國Ⅱ卷第21題

摘 要：“新高考”2021年數學全國Ⅱ卷第21題屬于統計與概率在生物學中的應用性問題，第（2）問的解答，可討論所給方程實數根的大小，也可構造函數，將方程的根轉化為函數的零點，討論零點的大小，找到最小正實根.

關鍵詞：全國卷;新高考;統計;概率

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0058-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：汪繼波（1968.10-），男，重慶市長壽區人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

“新高考”2021年數學全國Ⅱ卷（海南、遼寧、重慶）第21題：

一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，…，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P（x=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1時，p=1，當E（x）>1時，p<1;

（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義.

本題第（1）、第（3）問較易回答，此處不予討論，在此僅討論第（2）問：

求解想法 此問關鍵在于找到這個關于x的三次方程的最小正實根，于是，可以考慮求出它的根（至多3個實數根），進行比較，但縱觀全國高考題的特點，直接求出此方程的所有實數根，并非易事！這一來，解題者應有心理準備，討論方程根的特點，比較大小，找到最小正實根，可嘗試通過分解因式能否找到幾個根，余下根可根據限定條件，縮小其取值范圍，進而比較方程根的大小;也可以考慮構造三次函數，轉化為討論此函數的零點，求出值或比較幾個零點的大小，從而找到原方程的最小正實根.

解法一 由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，p0=1-（p1+p2+p3），

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

1-（p1+p2+p3）+p1x+p2x2+p3x3=x

1-x-p1（1-x）-p2（1-x2）-p3（1-x3）=0

（x-1）[p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）]=0

x=1或p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0

構造二次函數g（x）=p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1），其圖象開口向上，對稱軸為x=-p2+p3p3<0，g（0）=p1+p2+p3-1=-p0<0，

①當E（x）≤1，即p1+2p2+3p3≤1時，g（1）=p1+2p2+3p3-1≤0，如圖1，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，在[1，+∞）也單調遞增，據零點存在性定理，知g（x）在（0，+∞）上存在唯一零點x0，顯然x0≥1，所以，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根等于1，于是，p=1.

②當E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1時，g（1）=p1+2p2+3p3-1>0，而g（0）<0，如圖2，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，由零點存在性定理，在（0，+∞）上存在唯一零點x0，且0綜上所述，當E（x）≤1時，p=1;當E（x）>1時，p<1.

解法二 由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，從而p0=1-（p1+p2+p3），

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

1-（p1+p2+p3）+p1x+p2x2+p3x3=x

1-x-p1（1-x）-p2（1-x2）-p3（1-x3）=0

（x-1）[p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）]=0

x=1或p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0

若方程p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0無實數根，則p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根為1，所以，p=1;若此方程有實根x1、x2，不妨令x1≤x2，則x1+x2=-p2+p3p3，x1x2=p1+p2+p3-1p3=-p0p3<0，于是（x1-1）+（x2-1）=-p2+3p3p3<0，（x1-1）（x2-1）=p1+2p2+3p3-1p3，

①當E（x）=1，即p1+2p2+3p3=1時，（x1-1）（x2-1）=0，而x1≤x2，（x1-1）+（x2-1）<0，所以x2-1=0，即x2=1，從而x1=-1-p2+p3p3<0，此時，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根為1，所以，p=1.

②當E（x）<1，即p1+2p2+3p3<1時，（x1-1）+（x2-1）<0，且（x1-1）（x2-1）<0，因x1≤x2，x1x2<0，故x1<0，x2>1，且|x1-1|>x2-1，此時，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正實根為1，所以，p=1.

③當E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1時，（x1-1）（x2-1）=p1+2p2+3p3-1p3>0，而（x1-1）+（x2-1）<0，所以，x1<0，0

綜上所述，當E（x）≤1時，p=1;當E（x）>1時，p<1.

解法三 由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=xp3x3+p2x2+（p1-1）x+p0=0.

構造函數f（x）=p3x3+p2x2+（p1-1）x+p0，顯然有f（1）=0，函數f（x）的導函數f′（x）=3p3x2+2p2x+p1-1，如圖3，由p3>0知拋物線f′（x）開口向上，f′（0）=p1-1，由p1<1，知f′（0）<0，于是，f′（x）有兩個零點x1、x2，不妨設x1①若E（x）≤1，即p1+2p2+3p3≤1，則f'（1）=3p3+2p2+p1-1≤0，據此二次函數f′（x）的性質，知x1<0<1≤x2.

x（-∞，x1）（x1，x2）（x2，+∞）

f ′（x）+-+

f（x）

所以，f（x）在（x2，+∞）上有且只有一個零點x0≥x2，因此，1是函數f（x）在（0，+∞）上的最小正實根，從

而p=1.

②若E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1，則f ′（1）=3p3+2p2+p1-1>0，如圖4，據f ′（x）的性質，知x1<0