有圖有真相
——中職數學精準施教策略初探

張利芬

（浙江杭州市蕭山區第二中等職業學校 浙江杭州 311203）

一、前言

精準施教是指教師在教學過程中根據教材教學內容設置，遵循中職生成長規律和認知規律，學習個性化發展的特點和實際情況，準確把握教學目標和教學內容，優化教學結構，細化教學流程，深化思維訓練。中職數學教材內容每章都會有圖形，比如解決集合中的有關問題可以用韋恩圖、用圖像法解一元二次不等式、函數的性質判斷用圖像、向量的定義及運算、圓錐曲線的圖像性質、立體幾何等等。學生對于用畫圖這種學習策略來解決問題的意識是有的，但應用的主動性不高，愿意用畫圖這種學習策略來解決問題，但畫圖的系統方法欠缺，老師課堂上利用畫圖策略來教學的意識受各種因素的影響。就以往的教學實踐而言，往往擔心學生學不懂，基礎弱而不會注重學生的思維訓練，這樣只會導致學生數學思維能力越來越差，從而產生了惡性循環，因為思維能力不夠，所以知識理解起來有些難度，因為知識理解起來很難度，所以導致學習興趣很弱。所以說，“作圖--識圖--用圖”是培養學生思維能力的關鍵。

二、有圖有真相——中職數學精準施教策略

（一）規范作圖，精準定義

在立體幾何教學中，學生甚至會將空間圖形看成平面圖形，將立體幾何中的異面直線看成相交直線。教學“二面角”這一數學概念時，激發學生空間想象力，學生在作圖的過程中，既理解了概念，也學會從不同角度去觀察立體圖形，既培養了學習立體幾何的興趣，也慢慢形成了學生“看圖—想圖—辯圖”的能力，并根據平面圖形來分析各種相關的點、線、面之間的平行，垂直，相交，異面各種位置關系，在職高立體幾何的學習中打下牢固的基礎。

用紙折成一個二面角（如圖1），二面角的的大小只與二面角的兩個面的相對位置有關，在棱上選擇不同的點作出二面角的平面角。

圖1 二面角認識圖

讓學生自制圖片，在畫二面角的平面角時，教師先示范，在面面的交線棱上取點O，在平面內α內作出直線AO垂直棱L，這個垂直是理論上的，實際畫圖時，只要過O點畫出（表示平面邊長的）平行線即可，同樣的方法，在平面β中畫出OB垂直棱L。然后讓學生進行此操作。為了鞏固剛才的知識，教師讓學生繼續完成圖1中的二面角的畫法。以直線l（或CD）為棱，兩個半平面分別為α、β的二面角，記作二面角α-l-β（或α-CD-β）

視覺的感官作用被大大降低，復雜的思維活動由大腦獨立完成，需要什么信息，從哪個角度觀察現象，以何種模式處理都是由大腦決定的，視覺器官只起執行作用。而與平面角的頂點在棱上的位置無關，因此二面角的大小可以用它的平面角來度量，得到二面角的取值范圍為[0°，180°]。

（二）胸有成圖，精準糾錯

中職生提到函數就會怕，他們初中就被這個概念難到，在高中同樣也是教學重點和難點。函數問題涉及到的主要是函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性，然而絕大多數的函數都有與之相匹配的圖形，在研究函數時，可以利用函數圖形來記憶有關函數的知識點，教學內容的組成方式較好，內容的組織結構較嚴密，達到良好的學習效果。

為了解決這些抽象性的函數問題，應該將其轉化為直觀清晰的圖像，這樣抽象化的數字問題就會變得簡單、易懂，中職學生在解決此類問題時也會迎刃而解[1]。

案例1：二次函數解決問題時，函數圖像的運用

關于二次函數定義域有范圍的值域求解問題：函數f(x)=x2-2x，x∈［-1,2］, 的值域為。這一問題就是利用二次函數的基本性質求解f（x）的值域。

錯解：同學們習慣將-1,2直接帶入函數解析式求出對應的值f(-1)=3，f(2)=0得到函數值域為[0，3]

從中職學生們的數學基礎出發，老師可以了解到他們可能不會配方，所以讓學生們識記二次函數頂點公式，并且根據頂點公式和對稱軸，讓學生運用代入數值法求出在此定義域中的值域范圍。

精準教學：老師引導學生通過小組討論，通過研究配方，開始畫出該二次函數的簡單圖式，通過配方法進行畫圖，并且根據定義域截取值域范圍，從而巧妙地解決這個二次函數的值域問題。（如下圖2）

圖2 二次函數圖像

通過配方法引導學生們了解到f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，即可以直接看出自變量又可以看出最值。

所以函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，由此可以得出，在這個區間內，f（x）的最小值等于f（1）=-1，又因為f（-1）=3，f（2）=0，所以在這一區間內f（x）最大值等于f（-1）=3，所以函數的值域為[-1，3]。

設計意圖：通過“作圖—截圖—識圖”既鍛煉學生的公式識記能力，又通過小組討論合作交流的方式，讓學生更快地掌握配方法。通過數形結合的方式，以圖示直觀的感受值域的存在，了解二次函數的最大值與最小值，促進學生在大腦中形成二次函數的整體框架和圖形的整體樣貌，為學生解決更多的二次函數問題奠定基礎。

（三）借圖促思，凸顯本質

三角函數這章內容，包含大量的理論、概念、公式，倘若想要運用正弦定理、余弦定理解決一些實際性的問題，就需要將三角函數、三角形角邊之間的關系融會貫通，比如，有的題目學生一看就會翻閱課本，查閱公式，接著套用公式才能有相應的解決思路。特別是在正弦定理，余弦定理教學中，通過運用圖形，能夠讓學生將有關正弦函數和余弦定理相關抽象的概念，用圖像表示出來[2]。尤其是在正弦定理求角時，總愛出現兩種情況的案例，通過用圖形表示概念能夠給予學生更加直觀的感受，并且讓學生的思維更加開闊，理解更加全面，真正發現解決三角形兩解的本質問題。

有這樣一道關于正弦定理求角且兩種情況的題目：

圖3

運用圖形，結合正弦定理，稍加計算就能直接揭示問題的本質，直觀地看到問題的結果，這不僅僅是個答案，有數學的嚴謹和數學圖形的美。

（四）以圖助算，選法精準

曲線方程是學生們學習中遇到問題最多的模塊，培養學生的解題思路，提升學生們的解題質量和水平，老師應該重視曲線圖形這一模塊當中的運用，充分運用直觀的圖形，將包含在曲線方程中的數量關系的幾何特征進行有效展示，以直觀的幾何描述給予學生更多有益的啟示，讓學生結合具體的圖像，思考相關的概念和問題，從特定的角度出發，引導學生們綜合發展。

圖4 雙曲線

仔細觀察上述“分析法”的解題過程，我們不禁感嘆：當焦點在y軸上時，做的一切計算都是徒勞于是我們又在想：假使我們能一早就知道焦點在x軸上，那計算量就能減半了。，代入點

方法1、2、3是呈遞進關系的，似乎一個比一個簡單。低思維量，復雜解題過程；高思維量，簡單解題過程。

設計意圖：通過焦點的分析，讓學生了解雙曲線方程和焦點之間的關系，深化學生雙曲線基礎知識的認知。畫圖能夠給學生清晰的解題思路，幫助學生真正了解在求雙曲線時，標準方程應該如何去做，引領學生找到解題的方向，讓學生真正明白雙曲線的方程應該如何設才能促進學生快速解題，精確解題，高效解題。

顯然作圖法是最適合中職生的解題方法。根據雙曲線的內容和學生思維能力的實際情況，合理確定教學內容的廣度和深度，以圖助算做到降低難度，精準教學。這樣，能防止因思維量過大，學生似懂非懂，過后就忘，導致學生厭學，又能防止因計算量太大，而浪費時間，讓學生覺得枯燥無味。

教師通過編選這個可以分析，可以通法，可以作圖法的一題多解題，讓他們從問題的本身進行具體的分析，以圖幫助學生思考問題，以圖幫助學生了解數學問題的真實面貌，促進學生能夠多層次全面看待問題，解決問題[3]。讓學生去犯錯，去探討，去發現錯誤，通過進行一系列碰撞性的思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。

三、結束語

圖像能變抽象為直觀，老師在教學過程中應該轉變自己的思維觀念，將此思想巧妙地融入到日常的教育教學過程中，引導學生們在繪圖、識圖、用圖過程中理解抽象性的數學問題，讓教學變得更加直觀、形象，讓問題解決變得更加高效、快捷。通過圖式的直觀展示，對學生加強訓練，引導學生掌握數學的內涵和實質，從而讓學生能夠融會貫通數學知識，并轉化為學生的數學能力，為學生核心素養的培養奠定基礎。如何減輕學生負擔、讓學生快樂的學習、獲得成功的喜悅，是每一位老師面臨的問題。教師要高度重視教材中圖形的教學，只要我們針對職高生的特點認真備課，研究學生的學法，深入鉆研教材、教法，一定可以將每一節課上得生動精彩。