開展居家學習指導課，提升學生自主學習能力

李榮軍

[摘? 要] 居家學習時，學生遇到不會解的題，往往會想到借助于“小猿搜題”等網絡工具來進行自主學習. 那么該如何運用網絡工具進行學習，疫情之下，這樣的問題迫在眉睫. 基于“互聯網+”與“人工智能”的背景下，以可視化技術為輔助，培養學生自主學習的方式，以期解決好居家的深度學習，以提升學生自主學習的能力，為學生的終身學習奠定基礎.

[關鍵詞] 居家學習;網絡智能;深度研題;自主學習

問題背景

居家學習時，學生遇到不會解的題或者解題過程復雜的問題時，在沒有老師的指導、同伴互助時，往往會想到借助于網絡學習空間（小猿搜題、作業幫、智學網等）來進行學習，而這樣的學習若是沒有教師的指導，學生可能會變成“搬運工”，從網絡上“搬運”到紙質作業上. 這樣的搬運，沒有知識的內化，沒有思維的積淀，能力更得不到提升，立德樹人又從何談起呢？那么該如何運用網絡學習空間進行學習，尤其是疫情之下，這樣的問題迫在眉睫. 基于“互聯網+”與“人工智能”的背景下，以可視化技術為輔助，培養學生自主學習的方式，以期解決好居家的深度學習，以提升學生自主學習的能力，為學生的終身學習奠定基礎.

教學過程

1. 教學目標：（1）基于網絡學習空間，教會學生運用網絡學習空間搜集答案;

（2）學會歸納、整理問題的解決方法;

（3）掌握對題目解法進行分析、研究以及提煉數學思維的方法;

（4）培養學生的四基四能、質疑精神等，提升學生的邏輯推理等核心素養.

2. 教學重難點：在人工智能與可視化的基礎上，研究問題的方法.

3. 教學工具：除常規教學工具外，還需要硬件準備：手持移動工具（手機、平板），軟件準備：小猿搜題、作業幫、幾何畫板等.

4. 教學環節：

（1）例題展示，搜題操作

（2）解法研究，弄清一解

（3）解法探究，多維求解

（4）質疑探究，把握正道

（5）課堂總結，加深理解

（6）課后實踐，自行鞏固

5. 例題講解

（1）例題展示，搜題操作

例1：已知橢圓 + =1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點A在以原點O為圓心（如圖1），OF為半徑的圓上，求（1）PF的長度;（2）點P的坐標.

問題1：我們大家在求解點P的坐標時，老師發現很多同學沒有完成，若是在家里面自主學習時，沒有老師的幫助，沒有同伴的互助，大家怎么辦呢？

設計意圖：本題是從學生作業中篩選出來的一道題，絕大部分學生對點P的坐標這一問題沒有作答，說明學生對第二個問題無從下手，毫無解法，在居家學習中類似的問題也會出現. 對于問題的解答，在沒有老師的幫助、同伴的互助時，學生的第一反應則是利用人工智能軟件來進行學習，由此引出本節課的課題《基于人工智能與可視化下的高中數學居家學習指導課》.

（2）解法研究，弄清一解

問題2：對于搜出的解題過程，老師有些不明白，還請各位同學不吝賜教. “設點P（m，n），可得3- m=4（圖2）”其中的等式是如何得到的呢？

設計意圖：在學生通讀答案的基礎上，教師進行提問，點出學生理解的難點. 學生理解的難點是第（2）問解法中所呈現的等式“3- m=4”，這個等式其實是焦半徑公式的運用，學生沒有學過，而智能軟件提供的答案是人工后臺解析而來的，有時只會提供最優解，對學生而言是一頭霧水，不知道其中的緣由，所以需要對此解法進行深入研究. 通過這個問題的研究，指導學生讀懂答案，研究解法. 經過教師的引導，等式“3- m=4”可以由第二定義轉化而來，得出解法1，而在新課標中，圓錐曲線的統一定義已經淡化，顯然這樣的解答不屬于新課標的學習內容，故不能幫助學生形成通解通法.

（3）解法探究，多維求解

問題3：上述解法設點的坐標，進行求解，一定意義上是待定系數法的體現，你還能發現什么解法呢？

設計意圖：引導學生思考運用構造方程組求解，本題可借助點P在橢圓上與PF的長度為2，構建關于P點坐標的方程組，從而形成解法2. 教師引導學生思考這樣的解法，主要是幫助學生學會自我學習、探究解法，同時告訴學生，通過搜題軟件搜出的解答并不一定是學生所能掌握的方法，學生需要掌握的方法需要重新建構，顯然在解法1的基礎上，學生是能夠做到的，而且這樣的解法具有普遍性，是通解通法的體現. 增強了學生學習的信心，激發了學習的興趣. 但這樣的解法又不如解法1來得簡潔，為優化解法提供了機會.

問題4：剛剛我們從解析的角度求解了點P的坐標，但我們發現計算要求比較高，事實上求點P的縱坐標就是求解點P到x軸的距離，我們可以過點P作x軸的垂線（如圖3），此時即求PH的長度，如何求解這個長度呢？

圖3

設計意圖：解析法思維比較直接，但計算要求比較高，學生在計算過程中容易出現計算錯誤的情況. 解析法主要是從代數角度進行研究問題，計算量大，這樣的解法不符合新課標的“多思維、少計算”的方向，故需要對剛才解法進行優化. 優化的宏觀角度一般是幾何與代數兩個方面，代數法已經使用過了，接下來引導學生從幾何法的角度去研究問題，此時將PH放入在Rt△PHF中進行研究即可，因為PH=PF·sin∠PFH，所以只要求出sin∠PFH，可以通過構建直角三角形輕松求解. 很明顯，此時的解法是在第二個解法基礎上的優化，計算量較小，對圖形的研究相對較多，符合了當前新課標的方向. 此解法引導了學生形成“解析幾何”要遵循“先幾何，后解析”的基本思路，培養了學生數形結合、“斜化直”等重要的思想，提升學生邏輯推理的核心素養. 進一步也告訴學生，網絡學習空間能幫助我們大家學習，但不能完全依賴人工智能，不能僅僅做人工智能的“搬運工”，而是要運用我們大家的頭腦進行加工，只有隨著加工不斷深入，大家的學習才會變得更有深度，才能將知識進一步內化，從而養成自主學習、深入思考的良好習慣.

【總結1】在人工智能的背景下，網絡學習空間能夠快速、及時地提供給學習者很多的資源（文本、視頻等），但這些資源不一定適合于學習者，這就需要學習者對問題的解法進行深入研究，可以從方程思路、“先幾何，后解析”、數形結合等角度進行析題、研題，探究出具有普適性的通解通法、優解優法，從而養成自主學習、深入思考的良好習慣.

（4）質疑探究，把握正道

例2：已知a，b，c∈（0，+∞），且a

通過多款軟件搜出來的結果，解法基本一致，具體解法為：以a，b，c為三邊構造三角形，并且ac恒成立，a+b=（a+b）· + =10+ + ≥16，故c<16. 又因為a ， > ，故 + > ，所以c>10. 綜上：c∈（10，16）.

設計意圖：請學生通過不同的搜題軟件進行搜題，都得出了相同的解答過程. 有些學生通過閱讀文本資料，讀懂了本題的解答，還有些學生先自行求解了本問題，解答結果和搜出來的答案一樣，答案得到了肯定. 本題從三角形的性質和不等式的基本性質兩個角度求出了c的上界與下界，從而得出了答案. 通過本題的搜題，告訴學生一個事實，網絡學習平臺多為資本的運作，力求質量的同時，也希望成本最低，所以就出現產品共享的現象，也就容易存在同一數學問題多途徑求解少的現象. 例1也存在此現象，本題更為突出一些.

問題5：基于a，b，c∈（0，+∞）和 + =1這兩個條件，我們可以取a=19，b= ，此時為了滿足a16的例子嗎？[1]這說明了什么？

設計意圖：學生通過體驗尋找特殊例子的過程，從特殊值的角度去辨別答案的正誤，引發學生去思考，從而得出結論，網絡學習的資源不一定就是正確的，是有可能錯誤的，而且在產品共享的情況下，源頭錯誤，就會導致鏈條上的產品全部錯誤，對師生的學習會產生極大的危害. 這個問題的解決培養了學生從特殊到一般的學習方法，培養了學生的質疑精神，在認知上導致了沖突，激發興趣，為后續問題的求解做準備.

問題6：本道題一共出現了3個變量（a，b，c∈（0，+∞）），當變量較多時，我們可以從減元的角度去解決問題，基于這樣的思路，應如何去解決本題？

設計意圖：通過減元思路，進一步引導學生研究求解之道，即題目中可以得知a，b，c滿足的不等式有ac，由于a，b，c∈（0，+∞），對上述不等式組中的第一個不等式兩邊同時除以a，第二個不等式兩邊同時除以b，第三個不等式兩邊同時除以c，即得到如下不等式組.

即為 >1， >1， + >1， ， >0，令 =x， =y，原不等式組可轉化為x>1，y>1， + >1.

題意中的 + =1變為c= + ，即為目標函數c=x+9y.

原題即變為：已知x，y滿足不等式x>1，y>1， + >1，求c=x+9y的取值范圍. 借助幾何畫板，對動直線c=x+9y進行平移，當經過不等式對應區域時（如圖4），則可以得到c的取值范圍為（10，+∞），充分說明了答案的錯誤性，借助了幾何思路解決了問題，滲透了數形結合的思想. 這種解法是基于線性規劃的思想方法來進行求解的，是新課標已經明確刪除的內容，所以此處應是教師運用幾何畫板的對問題求解展示過程，只需要學生了解即可，所以還得去尋找本題錯誤解法的緣由，引發學生思考. 同時教師運用幾何畫板將靜態的、抽象的符號變成了動態的圖形，是將抽象數學的可視化過程，給學生做了很好的示范，教給了學生一種可視化與數學實驗的工具，為學生以后的自我研題提供了途徑.

問題7：請大家逐層閱讀、分析，錯誤解法是在哪一個環節出現了問題？

設計意圖：引導學生對人工智能提供解法的每一步進行閱讀、分析，通過逐層分析可以發現錯誤原因應該是在“因為a，b，c為三邊構造三角形，并且ac恒成立”這一句話上. 若a，b，c為三邊構造成三角形，則一定有a+b>c成立，而搜題軟件提供的答案是要滿足a+b>c恒成立，即為（a+b） >c. 這兩者之間并不是充要條件，也就是在對題意轉化時，出現了條件的不等價轉化，導致了本題的錯誤. 本題的正確轉化應為“存在a>0，b>0，c>0使得a+b>c成立”. 通過問題的求解過程，學生獲得了成功，收獲了喜悅，培養學生從等價變形的角度進行析題、研題的方法.

【總結2】 通過本題的探究，我們可以發現在人工智能時代，網絡資源也會存在錯誤的情況，正如古語所說的那樣“盡信書不如無書”，我們要有質疑的精神. 面對疑問，大家可以從特殊入手，借助幾何畫板、GGB等數學實驗工具，從命題的充分必要性等角度進行析題、研題，逐步回歸到一般.

（5）課堂總結，加深理解

本節課我們認識到網絡資源存在的問題，可以用相應的方法去析題、研題.

（6）課后實踐，自行鞏固

練習：已知函數f（x）=ex-e-x+x3+3x，若f（2a-1）+f（b-1）=0，求 + 的最小值.

教學反思

1. 居家指導課的源

本節課是基于學生居家學習遇到不會解的題或者解題過程復雜時，在沒有老師的指導、同伴互助時，往往會想到借助于網絡學習空間（小猿搜題、作業幫、智學網等）來進行學習. 這樣的學習若是沒有教師的指導，學生可能會變成“搬運工”，從網絡上“搬運”到紙質作業上，這樣的搬運，沒有知識的內化，沒有思維的積淀，能力更得不到提升，學習并沒有真正發生. 基于人工智能，該如何運用網絡學習空間進行學習，尤其是疫情之下，這樣的問題迫在眉睫.

2. 人工智能解析存在的常見問題

學生居家自主學習更多的是解題，遇有不能解決的問題時，往往會運用人工智能軟件進行答案的搜集，搜出的答案有時運用了新課標中已經刪除的知識進行解題，導致學生看不懂;又或者是解題方法比較單一，不具有普適性，不具有通解通法的性質;又或者人工智能提供的答案運算量大，不是優解優法;又或者人工智能給出的答案是錯誤的，且具有迷惑性……，而往往學生會盡信于網絡上的答案，成了答案的搬運工. 基于上述問題，教師需要對學生進行指導，指導學生如何學會辨認答案的正誤、方法的優劣等等，可以從特殊值的角度去辨認答案的真偽，也可以從不同角度去解決同一道題，也還可以在原來解答的基礎上進行優化等等，從而學會深度學習.

3. 學法指導讓學習真正發生

在人工智能的背景下，網絡學習空間能夠快速、及時地提供給學習者很多的資源（文本、視頻等），但這些資源不一定適合于學習者，這就需要學習者對問題的解法進行深入研究. 教師可以引導學生從方程思路、 “先用幾何的眼光看待問題，再用代數的手段解析問題”、 數形結合等角度進行析題、研題，探究出具有普適性的通解通法，優解優法. 面對疑問，可以從特殊入手，借助幾何畫板、GGB等數學實驗工具，從命題的充分必要性等角度進行析題、研題，逐步回歸到一般，從而實現問題的深入認識，內化為自身的知識架構. 中學生數學寫作其實就是中學生自身不斷反省、總結、提升的過程，學生在寫作中不斷發現新問題[2]，學生運用人工智能探索之后，可以將探索思考的內容及時整理、做筆記、寫反思、寫小論文等，通過寫作在已經探索的基礎上，從而去發現更深層次的問題并進行解決，從而培養學生養成自主學習、深入思考的良好習慣，培養學生質疑的精神，讓學習真正發生，提升學生的核心素養.

參考文獻：

[1]? 王平 彭飛. 小猿搜題，你真的會用嗎？[J]. 中學數學月刊，2018（07）.

[2]? 彭飛. 中學生數學寫作，教學相長總相宜[J]. 數學教學通訊，2018（03）.