數形結合思想在高中數學解題中的應用

洪偉強

【摘要】高考大綱明確指出：高考是在考查基礎知識的同時，注重能力的考查，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面考查學生的綜合素質.這就要求我們的教學要寓知識、技能、方法、思想于一體，在教學過程中不斷進行數學思想方法的滲透，提高學生的數學素養，充分展現數學的科學價值和人文價值.本文論述了應用數形結合思想解題的方法，通過例題講述這一重要數學思想在高中數學解題中的應用，并說明了運用這種思想解題的有效性與優越性.

【關鍵詞】數形結合思想;滲透;數學素養;數學思想;人文價值

在教育教學實踐中，我們發現學生在解題時往往不愿作圖，或作不好圖，不善用圖，常常在解題時束手無策，陷入困境.實踐證明，如果充分利用數形結合思想尋找解題思路，便能使問題化難為易，化繁為簡，從而得解.所謂數形結合思想，就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，在分析其代數含義的基礎上揭示其幾何意義，使數量關系和空間圖形巧妙和諧地結合起來，并且充分利用這種結合尋找解題思路，使問題得到解決的數學思想方法.它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休.

高中數學中常用到數形結合的題型主要有：一是有關取值范圍及最大值、最小值的問題;二是用代數方法較復雜、較難或無法下手的問題.常用的“結合”有：一是利用某些數學概念具有的幾何意義;二是利用函數與圖像的對應關系;三是利用曲線與方程、不等式的對應關系等.

高中數學中常用到數形結合的“形”是：數軸、坐標軸（系）、圖像、圖形、單位圓等.

1 數軸

1.1 借助數軸進行集合的運算

例1 設A={x| |x-a|<2}，B=x2x-1x+2<1，若AB，求實數a的取值范圍.

解析 解不等式得A=（a-2，a+2），B=（-2，3），

要使AB，借助數軸，如圖1，

則a-2≥-2且a+2≤3，則0≤a≤1，

即a的取值范圍是0≤a≤1.

評注 我們在求函數的定義域、解不等式組時常常借助數軸，它比較直觀、形象.

1.2 借助數軸解有理高次不等式

例2 解不等式x2+2x-23+2x-x2

解析 移項，整理，將原不等式化為

x3-x2-x-2-（x2-2x-3） <0 （x-2）（x2+x+1）（x-3）（x+1） >0x-2（x-3）（x+1） >0

借助數軸，如圖2，利用數軸標根法，可得原不等式的解集為{x| -13}.

1.3 借助數軸求函數的最值

例3 求函數y=|x-2|+|x+3|的最小值.

解析 |x-2|+|x+3|的幾何意義是：在數軸上求一點P，使其到兩定點-3和2的距離之和最小，顯然當點P在-3和2之間時，其距離之和最小，最小值是5.

評注 這里運用了絕對值的幾何意義.

2 函數的圖像

高中階段的函數有：基本初等函數（I）、基本初等函數（II）.前者包括：正（反）比例函數、一次函數、二次函數、指數函數、對數函數和冪函數;后者是指三角函數，主要是正（余）弦函數、正切函數等.我們要熟練掌握它們的圖像的特征，以及它們的平移、對稱和翻折等變換.

2.1 借助函數的圖像求函數的定義域

例4 設0≤a<1時，函數f（x）=（a-1）x2-6ax+a+1恒為正，求f（x）的定義域.

分析 若將f（x）改寫成g（a）（0≤a<1），可知g（a）的圖像是一條線段（無右端點），且位于a軸上方.

解析 設g（a）=（a-1）x2-6ax+a+1=（x2-6x+1）a+1-x2（0≤a<1），則g（a）是定義在[0，1）上的一次函數或常函數，故其圖像是條線段（有左端點無右端點）.由已知，得g（a）>0恒成立，故線段應在a軸的上方，如圖3，則g（0）>0且g（1）≥0，即1-x2>0且x2-6x+1+1-x2≥0，所以-1

評注 將f（x）改寫成g（a），利用g（a）的圖像使本題迅速得解.

2.2 借助函數的圖像求函數的值域（最值）

例5 如果奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數，且最小值為5，那么f（x）在區間[-7，-3]上是（? ）.

A.增函數且最小值為-5

B.增函數且最大值為-5

C.減函數且最小值為-5

D.減函數且最大值為-5

解析 利用函數的性質，作出其草圖，如圖4，則選B.

例6 求函數y=x2+2x+2+x2-6x+13的最小值.

解析 此題應研究式子的幾何意義.

y=x2+2x+2+x2-6x+13? =x+12+1+x-32+4? =x+12+0-12+x-32+0-22.

其幾何意義是：在x軸上求一點P（x，0），使其到兩定點A（-1，1）， B （3，2）的距離之和最小.

如圖5，作B關于x軸的對稱點B′3，-2，

連接AB′，與x軸相交于P，則

ymin=|AB′|=（-1-3）2+（1+2）2=5.

評注 這里利用了式子的幾何意義，使代數問題的解答簡單明了，也極大拓寬了我們的解題思路.首先要揭示代數問題的幾何含義，把代數問題轉化成幾何問題，然后將符合題設條件的幾何圖形畫出來，最后對直觀的幾何圖形進行觀察、思考，使我們可以更清晰地找出解決問題的關鍵.

2.3 借助函數圖像求方程的根的問題

例7 方程 lg x=sin x的實根有個.

解析 此方程無法用代數的方法將其根求出，只能借助函數y=lg x和y=sin x在同一平面直角坐標系中的圖像，觀察交點個數，得到原方程根的個數.

如圖6，可見它們有3個交點，故方程lg x=sin x的實根有3個.

例8 已知0

A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個

解析 在同一平面直角坐標系里作出函數y=a|x|和y=|logax|的圖像，如圖7，立即可得它們有2個交點，故選B.

例9 已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍.

解 若a=0，f（x）=2x-3，顯然在 [-1，1]上沒有零點，所以 a≠0.

由題，Δ=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0，得a=-3±72.

①當a=-3-72時，y=f（x）恰有一個零點在[-1，1]上;

②當 f（-1）·f（1）=（a-1）（a-5）≤0，即1≤a≤5時，y=f（x）也恰有一個零點在[-1，1]上;

③當y=f（x）在[-1，1]上有兩個零點時，作圖8、圖9，則得

a>0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≥0，f（-1）≥0，或a<0，Δ=8a2+24a+4>0，-1<-12a<1，f（1）≤0，f（-1）≤0，

解得a≥5或a<-3-72.

因此a的取值范圍是a≥1或a≤-3-72 .

評注 一元二次方程的實根分布問題常借助一元二次函數圖像與x軸的交點特征來轉化求解.

2.4 借助函數的圖像解不等式

例10 利用函數圖像解不等式：4-x2>-x-1.

解析 令y=4-x2，它的圖像是以原點為圓心、半徑為2的半圓，如圖10.

畫出直線y=-x-1.設直線與半圓的交點為A，

則不等式的解為xA

解方程4-x2=-x-1（-2≤x≤-1），

其解為xA=-1-72，

所以原不等式的解集為x-1-72

評注 該不等式為無理不等式，若將其轉化為有理不等式組求解，要分類討論，比較復雜，而利用圖像、不等式與方程之間的關系解題，就比較簡潔、直觀.

3 數形結合思想在解析幾何中的應用

只有對解析幾何中定義、定理、公式以及圓錐曲線的方程、幾何性質非常熟悉，才能夠靈活轉化.

例11 設P是雙曲線x23-y2=1右支上一點，F2為右焦點，已知A（3，1），求|PA|+|PF2|的最小值.

解析 本題應由幾何意義求解.設雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線的第一定義知，

|PF1|-|PF2|=2a=23，

所以|PF2|=|PF1|-23，

所以PA+|PF2|=|PA|+|PF1|-23≥|AF1|-23=26-23.

當且僅當A，P，F1三點共線時取等號.

高中數學具有知識量大、難度大、綜合性強、系統性強、理論性強、對能力的要求高等特點，所以在整個教學過程中，教師要時時刻刻滲透數學思想.數形結合的思想就是一個很重要的數學思想，也是分析問題、解決問題的有力工具.在教學中，教師要善于捕捉知識之間的聯系，促成它們的轉化，要經常鼓勵學生多類比，多聯想，多總結，由簡單到復雜，由低級向高級，由模仿到創新，不斷構建、完善自己的知識體系.這樣做一方面有利于學生牢固地掌握基礎知識，同時有利于學生思維品質的優化，提高學生的數學素養.

數學的學習，不僅僅要善于解題，還要掌握具體問題中滲透的本質思想，挖掘更高層次的規律和方法，并升華為一類問題的共性，然后用這個共性解決所有相關的問題，這就是數學思想.