高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究

秦秀紅

【摘要】不等式內容在高中數學教學體系中占比并不大，但與解不等式相關的算法和技巧卻貫穿高中數學學習的始終.不等式如同高中數學的解題工具，甚至是解決函數問題、圓錐曲線問題、數列問題、三角函數問題過程中不可缺少的元素，且分類討論思想、數形結合思想在不等式的解題過程中也有較明顯的體現，這對學生數學思維的培養和鍛煉具有積極的作用.基于此，本文首先借助具體的不等式高考試題，分題型分析了試題的命題意圖和考試方向;其次，結合高中生數學學習的具體情況，針對不等式內容的教學提出了相應的教學策略，希望可以為廣大高中數學教師提供有效參考.

【關鍵詞】高中數學;不等式;高考試題;命題規律;教學策略

一、高中數學不等式高考試題分析

（一）考查不等式概念與性質的高考試題分析

例1 （2017高考山東理7）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是（? ）.

A.a+1[]b

B.b[]2a

C.a+1[]b

D.log2（a+b）

解析 因為a>b>0，且ab=1，

所以a>1，0log22ab=1，2a+1[]b>a+1[]b>a+ba+1[]b>log2（a+b），故選B.

例2 （2016高考新課標I8）若a>b>1，0<c<1，則（? ）.

A.ac<bcB.abc<bac

C.alogbc<blogacD.logac<logbc

解析 用特殊值法.令a=3，b=2，c=12，得312>212，選項A錯誤;3×212>2×312，選項B錯誤;3log212<2log31[]2，選項C正確;log312>log212，選項D錯誤.故選C.

試題分析：

（1）命題意圖分析

這類題主要考查不等式的性質，以及指數函數、對數函數、冪函數的性質.此類題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力.

（2）考試方向分析

這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現，難度中等偏易，考查基礎知識的識記與理解.

（3）解題難點分析

比較指數式或對數式的大小，若冪的底數相同或對數的底數相同或冪的指數相同，通常利用指數函數或對數函數或冪函數的單調性進行比較;若底數不同，可考慮利用中間量進行比較，也可以利用特殊值法.

（二）考查不等式常規解法的高考試題分析

例3 （2015高考江蘇卷7）不等式2x2-x<4的解集為.

解析 由題意，得x2-x<2，即x2-x-2<0，故解集為（-1，2）.

例4 （2017全國Ⅰ理23）已知函數f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集;

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范圍.

解析 （1）利用零點分段法把含絕對值的不等式問題轉化為不含絕對值符號的不等式組問題來求解.將a=1代入，則不等式f（x）≥g（x）等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0，對x按x<-1，-1≤x≤1，x>1討論可得解.

（2）當x∈[-1，1]時，g（x）=2.若f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價于當x∈[-1，1]時，f（x）≥2，則f（x）在[-1，1]的最小值必為f（-1）與f（1）之一，所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1.所以a的取值范圍為[-1，1].

試題分析：

（1）命題意圖分析

這類題主要考查一元二次不等式、簡單的分式不等式以及絕對值不等式的解法.

（2）考試方向分析

這類試題若以選擇題或填空題的形式出現，屬于容易題，也可以是解答題，與不等式選講相結合考查，難度中等.

（3）解題難點分析

解答此類問題，關鍵在于熟記常見不等式的解法.解絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號.絕對值不等式的解法有三種：法一，利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想;法二，利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想;法三，通過構造函數，利用函數的圖像求解，體現了函數與方程的思想.

（三）考查不等式的恒成立、恰成立、能成立的高考試題分析

例5 （2017高考天津理8）已知函數f（x）=x2-x+3，x≤1，x+2x，x>1，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥x2+a在R上恒成立，則a的取值范圍是（? ）.

A.-4716，2????? B.-4716，3916

C.[-23，2]D.-23，3916

解析 可將f（x）≥x2+a轉化為-f（x）-x2≤a≤f（x）-x2去解決，由于涉及分段函數問題，因此，要遵循分段處理原則，分別對x的兩種不同情況進行討論，針對每種情況x的范圍，利用極端原理，求出對應的a的范圍.

試題分析：

（1）命題意圖分析

本題考查絕對值不等式的性質，屬于創新題，有一定的難度.它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，以及學生分析問題與解決問題的能力.

（2）考試方向分析

這類試題在考查題型上通常以選擇題或填空題的形式出現，難度較大，往往是高中數學主要知識的綜合題.

（3）解題難點分析

解決此類問題的關鍵為運用函數圖像及其性質（數形結合）.在求解恒成立參數時，可以選擇參變分離的方法，轉化為求函數最值的問題，也可以畫出兩個函數的圖像，根據臨界值求參數取值范圍，或者轉化為F（x）>0的問題，轉化為討論求函數的最值或求參數的取值范圍.對于判斷不等式恒成立的選擇題，一般采用舉反例排除法，解題時可對四個選項逐個利用賦值的方式進行排除.

（四）不等式選講問題分析

不等式選講試題的解法其實內嵌于不等式必考試題中，其涉及的絕對值不等式解法在前文已有所分析和論述，在此不再贅述.

二、高中數學不等式教學策略分析

（一）題型要分清，課后練習應具針對性

高中數學教師在講解不等式內容時，應鼓勵學生廣泛做題，深入做題，緊跟課堂學習節奏，不掉隊.從“刷題”角度分析，高中數學教師在講解不等式內容時，應依據題型為學生準備具有針對性的習題，例如上文分析的四大題型.高中數學教師可收集、匯總相關題型的數學試題，試題可為高考模擬題，可為高考真題，也可為數學課本的課后練習題.要特別注意的是，高中數學課本的課后習題是高考出題的“范本”和高考數學提綱的“約束”，具有較高的參考價值.高中數學教師應引導學生積極做課本上的課后習題，尤其對于數學成績偏差的學生.高中數學試題資料較為豐富，不管是學校統一購置分發的，還是學生自行在書店購買的，學生均可將其作為一輪復習和二輪復習的“刷題”資料，但必須注意的是，高中數學教師應引導學生“斷舍離”，有重點地“刷題”，不能盲目，更不能蠻干.高中生的數學成績往往差距較大，不同學生的審題習慣、思維習慣以及計算習慣不同，“刷題”的效果也顯示出較為明顯的差異.高中數學教師在帶領學生做題時，應指導學生依據自身的實際情況選擇試題，在明確了具體的做題方向后，再深入復習.教師在布置課后習題時，量不能太大，兼顧復習進度的同時，應確保不同層次的學生在課堂中均可有所收獲.因此，高中數學教師可將課后習題分等級，給不同層次的學生分發不同的習題，對不同層次的學生給予不同的做題指導，從而提升學生課后練習的針對性.

（二）練習冊用來“看”，做題需要先“看題”

學生在學習新知識或者復習解題方法時，對沒接觸過的、遺忘了的知識內容需要付出更多的時間成本.高中數學教師在課上往往也只是講解例題后，便要求學生完成相應的課后作業，其實，此間缺少了一個非常關鍵的過程，即“看題”.“看題”指的是學生接觸到新的知識或復習了難點知識后，不應直接“刷題”，而應準備一本練習冊，專門用來“看題”，將此類型題看十道，把此題型的解題步驟琢磨十遍，書讀百遍其義自見，“看題”的作用即為此.學生通過“看題”，可更全面地掌握不同類型題目的解法，進而在后續的“刷題”過程中，會“下筆如有神”，在解題思路上不至于無從下手.換言之，“看題”的過程是為學生提供解題思路的過程，雖然學生不經歷此過程，在實際做題中依舊會積累相關的解題經驗，但此經驗的積累效率往往較差，會多走彎路.基于此，高中數學教師應引導學生多“看題”，多體會和理解解題過程中的思想.數學的解題過程在一定程度上也可看作“模仿”的過程，而此“模仿”在經歷了“看題”的過程后，會更精致、準確.

（三）課堂講解應控制節奏，提問應具針對性

高中數學的教學過程較為復雜，整體教學難度也較大，雖然從試題內容角度分析，高中數學題的解題過程或者整體計算量并不大，但受限于高中生的實際能力水平，大部分學生在學習數學時依舊感受到比其他科目更大的壓力，并且此種壓力會使得學生在課堂中表現出消極、懈怠的情緒，加之手機、漫畫、小說等極易分散高中生注意力的事物的影響，導致高中數學課堂教學效果存在一定的不可控性，并且教學質量波動較大.很多學校設有重點班，重點班的學生成績普遍較好，思維能力強，數學課堂教學效果往往較好，課堂教學節奏較快，學生回答問題也更具積極性，但普通班的學生就明顯跟不上節奏.高中數學教師在講解不等式問題時，可從命題意圖、考試方向、解題難點等角度分析不同類型題的解題特點，進而針對此類特點設置相應的課堂問題，且問題是從試題出發，并非從學生的角度出發.所以在講解不等式問題時，高中數學教師應控制課堂教學的整體節奏，保證講一題，學生懂一題.為了確認學生是否真的懂了，高中數學教師應針對班級學生分層設置問題.針對成績一般的學生，提問不等式概念、性質類問題，針對成績中等的學生，提問常規解法類問題，針對成績較好的學生，提問不等式的恒成立、恰成立、能成立類問題，進而全面了解學生對不等式解題方法的掌握程度，為布置課后練習題提供更全面、更具體、更有效的參考.

三、結束語

總之，從內容角度講，不等式類型題的考查內容不多，但由于不等式滲透在高中數學的各個角落，已然成為學生在解題時必須計算和求解的內容.高考試題一般不會針對不等式單獨出題，如果題型被限定在了填空題或者選擇題，往往難度較低.不等式一般會嵌套在具體的大題或者綜合性較強的選擇題和填空題中，作為解題的一部分出現.高中數學教師應結合學生的實際情況，細化教學過程，無論是在課上提問方面，還是在布置課后作業方面，均應更具針對性，尤其要注意“看題”方法的引導，促使高中生在學習不等式、解決不等式問題時有章可循，有法可依.