淺談案例教學(xué)法在線性代數(shù)中的應(yīng)用

王云杰 吳翠蘭

【摘要】? ? 線性代數(shù)是大學(xué)的一門基礎(chǔ)課，是許多專業(yè)的必備知識(shí)，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的保障。然而，線性代數(shù)的高度抽象性以及獨(dú)立院校學(xué)生底子薄，學(xué)習(xí)主動(dòng)性不足等因素，導(dǎo)致出現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣不高，學(xué)起來(lái)比較吃力等現(xiàn)象。為了解決這些問(wèn)題，本文采用簡(jiǎn)單易懂，有趣實(shí)用的案例教學(xué)法，突出線性代數(shù)的實(shí)用性及有趣性。 以此來(lái)排除學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的恐懼心理，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。從而有利于鍛煉學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)力。

【關(guān)鍵詞】? ? 案例教學(xué)法? ? 線性代數(shù)? ? 幻方? ? 線性方程組

On the application of case teaching method in linear algebra

WANG Yunjie? ? Kenwen Institute， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu Province，

WU Cuilan? ? School of Mathematics & Statistics， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu Province，

Abstract： Linear algebra is a basic course in University， which is the necessary knowledge of many majors and the guarantee of students' follow-up study. However， the high degree of abstraction of linear algebra and the weak foundation of independent college students， lack of learning initiative and other factors lead to the phenomenon that students' interest in learning linear algebra is not high， and it is difficult to learn. In order to solve these problems， this paper adopts simple， interesting and practical case teaching method， highlighting the practicality and interest of linear algebra. In order to eliminate students' fear of linear algebra， stimulate students' interest in learning linear algebra. So it is helpful to train students' ability to solve practical problems by using linear algebra knowledge， and to improve students' comprehensive quality.

Keywords： Case teaching method; Linear algebra;? Magic square;? Linear system of equation

引言

線性代數(shù)是大學(xué)教育的一門基礎(chǔ)課， 它研究的是多個(gè)變量之間線性關(guān)系。 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和國(guó)際新形勢(shì)的出現(xiàn)，線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人工智能及社會(huì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮的作用日益顯露出來(lái)。是解決經(jīng)濟(jì)、控制系統(tǒng)等問(wèn)題強(qiáng)有力的工具，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的 抽象思維能力，邏輯推理能力，以及建立數(shù)學(xué)模型，求解實(shí)際問(wèn)題能力都有很重要的意義。由于線性代數(shù)課程的抽象性，特別是向量的線性相關(guān)性這一部分知識(shí)。學(xué)生普遍反映對(duì)線性代數(shù)的概念及定理感到混亂、不理解，致使學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和主動(dòng)性不足。特別地， 對(duì)獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生更是如此. 從而導(dǎo)致教學(xué)效果不甚理想。另外，考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的大多都是理論知識(shí)，不知道線性代數(shù)有何用處，到底該怎樣應(yīng)用。再加上他們學(xué)習(xí)的目標(biāo)更多是應(yīng)付期末考試，以及學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)大多數(shù)還沒(méi)學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)，體現(xiàn)不出線性代數(shù)在本專業(yè)的應(yīng)用。導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法具體的體會(huì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)意義及其應(yīng)用。針對(duì)這些問(wèn)題，我們將重點(diǎn)考慮如何用案例教學(xué)法提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣這一問(wèn)題。

本文重點(diǎn)考慮用簡(jiǎn)單實(shí)用的案例來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念和定理的理解。用有趣的案例來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考問(wèn)題及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 最近， 已經(jīng)有不少學(xué)者在這方面做了大量的工作， 比如文獻(xiàn)[1]中的人口遷移問(wèn)題和文獻(xiàn)[2]中撲食者與被撲食者系統(tǒng)問(wèn)題，它們都有助于矩陣特征值和特征向量的學(xué)習(xí); 文獻(xiàn)[3]中的藥方配制問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)實(shí)例可以使學(xué)生更好的理解向量組的線性相關(guān)性這部分內(nèi)容; 文獻(xiàn)[4]中的密碼加密和解密問(wèn)題， 能加深學(xué)生對(duì)矩陣乘積運(yùn)算和矩陣逆運(yùn)算的理解和應(yīng)用。 這些在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)能力，也將引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而最終提高線性代數(shù)的教學(xué)效果。

一、案例教學(xué)實(shí)例

實(shí)際案例就是通過(guò)盡可能直觀的例子，通過(guò)利用線性代數(shù)的知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生感受到線性代數(shù)的趣味性，體會(huì)到線性代數(shù)的強(qiáng)大，看到線性代數(shù)的實(shí)用性。我們的主要目的是讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，也為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，案例要簡(jiǎn)單易懂，貼近生活，有一定的現(xiàn)實(shí)意義，最主要的是要有一定的趣味性實(shí)用性。給學(xué)生介紹一些和線性代數(shù)息息相關(guān)，且目前比較流行的實(shí)例，比如應(yīng)用廣泛的人臉識(shí)別、密碼、AlphaGo等[5，6]，肯定會(huì)引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.1 方程組求解問(wèn)題

線性代數(shù)主要內(nèi)容之一就是線性方程組的求解問(wèn)題。 如文獻(xiàn)[7]利用Matlab計(jì)算方程組的解。將來(lái)，學(xué)生們也要步入社會(huì)，也要為人父母，這就不可避免的面臨孩子上小學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)奧數(shù)問(wèn)題。

奧數(shù)問(wèn)題向來(lái)都是很神秘、有趣且難度較大的問(wèn)題。通過(guò)引入奧數(shù)問(wèn)題，必定能引起學(xué)生的興趣。因此，我們想到在課堂中引入如下奧數(shù)中常見的問(wèn)題：

當(dāng)然，這些公式不僅僅用于奧數(shù)問(wèn)題。在大學(xué)學(xué)習(xí)中，求極限及積分的問(wèn)題中也會(huì)遇到。

當(dāng)k=1，k=2時(shí)，我們是比較熟悉的，具體的公式如下：

.

而對(duì)于k≥3時(shí)的公式，我們一般就不是太熟悉了。這里我們可以利用方程組求解的方法來(lái)得到具體的公式。比如k=3時(shí)，為此可以設(shè)

分別令n=1，2，3，4便可得到關(guān)于的方程組，解方程組便可以得到上面的具體公式。上面的實(shí)例是通過(guò)建立一個(gè)4階的非齊次線性方程組的方法來(lái)解決問(wèn)題的。通過(guò)這個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)到從實(shí)際問(wèn)題建立方程組，再利用矩陣的初等變換來(lái)求解線性方程組。加深了學(xué)生對(duì)方程組存在唯一解的情況的理解。

1.2 矩陣問(wèn)題

游戲應(yīng)該是最能引起大家的興趣。 介紹矩陣及矩陣的加減運(yùn)算時(shí)，我們可以引入一個(gè)小游戲： 幻方。 這個(gè)實(shí)例可以大大的激發(fā)學(xué)生的興趣， 活躍課堂氣氛?？紤]到課堂時(shí)間有限，我們可以借助于QQ工具提前將整理好的資料發(fā)布在班級(jí)的QQ群里，通知上課時(shí)讓學(xué)生寫成n=3，4，5，6階的幻方矩陣。為了方便，我們介紹一下幻方的概念。一個(gè)n階幻方是由整數(shù)1，2，3，…，n2按下述方式組成的n×n方陣： 該方陣每一行里所有整數(shù)的和，每一列里所有整數(shù)的和， 以及兩條對(duì)角線中每條對(duì)角線上的整數(shù)的和， 都等于同一個(gè)數(shù)。下面分別是n=3，4，5的一種構(gòu)造方式：

如果沒(méi)有掌握有效的構(gòu)造方法，當(dāng)n較大時(shí)，短時(shí)間內(nèi)是很難構(gòu)造出來(lái)的。由于這是非常有趣的問(wèn)題，因此許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)此做了大量的研究，給出了各種不同的構(gòu)造方式?？傮w來(lái)說(shuō)， n為奇數(shù)和n為偶數(shù)有很大的區(qū)別。為了完整性，且考慮矩陣的加法運(yùn)算，我們介紹n為奇數(shù)時(shí)的一種構(gòu)造方法。而對(duì)于n為偶數(shù)的情況，我們將給出參考書，讓學(xué)生獨(dú)立的去學(xué)習(xí)或到網(wǎng)上搜索資料。這在一定程度上起到了訓(xùn)練學(xué)生的自學(xué)能力。 本文介紹的是De la Hire的方法， 可以查閱參考文獻(xiàn)[8]。 當(dāng)然還有許多其它構(gòu)造方法， 但這種方法一方面能構(gòu)造出許多不同的幻方， 另一方面，n為偶數(shù)時(shí)也有一個(gè)類似的方法， 只是稍微要復(fù)雜一些。 它們都用到了矩陣的加法運(yùn)算。 其方法如下： 首先， 構(gòu)造兩個(gè)n階矩陣（這里，我們將以n=5為例寫出所構(gòu)造的矩陣）。

第一個(gè)矩陣的構(gòu)造：A1

1. 在其第一行的第一個(gè)位置放入1，2，…，n的平均數(shù);? 而1，2，…，n的其它數(shù)可以在其它位置按任意順序各放一個(gè)。 比如n=5時(shí)， 我們可以按如下順序放置：3;1，4，2，5， 具體見下面的矩陣A1 ）;

2. 其第n行的前n-1個(gè)元素放置的整數(shù)要與第一行的后n-1個(gè)數(shù)的順序一致（順序?yàn)?，4，2，5，5;3）;

3.斜右下方向?qū)蔷€（主對(duì)角線）放同樣的元素。

第二個(gè)矩陣A2的構(gòu)造類似： 主要區(qū)別是將斜右下方向改為斜左下方向。

1.第一行第最后一個(gè)元素放0，n，2n，…，（n-1）n的均值， 而0，n，2n，…，（n-1）n中其它元素在其它位置可以按任意順序各放一個(gè);

2.第n行后n-1個(gè)元素和第一行的前n-1個(gè)順序一致;

3.斜左下方向?qū)欠磐瑯拥脑亍?/p>

最后將兩個(gè)矩陣相加即構(gòu)造出一個(gè)n階幻方

若第一個(gè)矩陣的第一行我們用不同的順序，如3;1，2，4，5，則將得到一個(gè)不同的5階幻方。因此， 這個(gè)方法可以構(gòu)造多個(gè)不同的n階幻方。最后一步我們用到了矩陣的加法運(yùn)算。 這個(gè)實(shí)例是一個(gè)古老且有趣的游戲，雖然矩陣的概念及矩陣的加法運(yùn)算非常簡(jiǎn)單，但通過(guò)這個(gè)例子，可以大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另外，幻方組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面。

通過(guò)實(shí)際案例的教學(xué)，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，而且能加強(qiáng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)不僅在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域起著非常重要的作用， 而且對(duì)當(dāng)前流行的人工智能， 大數(shù)據(jù)， 人臉識(shí)別等領(lǐng)域也起到至關(guān)重要的作用。我們從目前線性代數(shù)教學(xué)中存在的問(wèn)題出發(fā)， 考慮用簡(jiǎn)單的案例教學(xué)來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念、定理的理解。 通過(guò)有趣的案例， 在課堂上盡可能的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性， 有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力， 有利于鍛煉學(xué)生利用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1] 劉俊菊，王健. 案例教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，課程教學(xué)（Curriculun Teaching） 2018（25）： 108--109.

[2] 鄭玉軍，湯瓊. 基于案例與問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的線性代數(shù)教學(xué)，湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，40（5）： 5-6.

[3] 胡玥. 線性代數(shù)案例教學(xué)研究，教育時(shí)空（Education space），2017： 179-180.

[4] 徐亞鵬，邊平勇，張相虎. 線性代數(shù)案例教學(xué)研究淺析，中華少年（科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)）， 2015， （22）：124-125.

[5] 吳明， 潘亞賓. 一種改進(jìn)的聯(lián)合稀疏表示人臉識(shí)別算法[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2020，17（16）：158-160.

[6] 陳東焰， 陸暢. 從AlphaGo看機(jī)器學(xué)習(xí)[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2020，17（13）：146-148.

[7] 于夢(mèng)曉. 求解線性代數(shù)方程組的一種魯棒分布式算法， 科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)， 2019，（9）： 146-149.

[8] W. Rouse Ball. Mathematical Recreations and Essays; revised by H.M. Coxeter. Macmillian， New York（1962） 193-221.