數學教學中兩類常見學生錯誤的思考

王弟成

摘要：數學教學中，有兩類常見的學生錯誤現象，即“錯過，一段時間后還會出錯”“同一個題中前一問考慮，而后一問卻不考慮”。它們產生的原因有：沒有形成完善的知識結構，沒有形成靈活的遷移能力，沒有形成良好的思維習慣。相應的教學對策是：加強知識的整體性教學，完善學生認知結構;加強應用的變式性教學，提升學生遷移能力;改變教學方式，讓學生自主探究和建構。

關鍵詞：數學教學;學生錯誤;知識結構;遷移能力;自主建構

一、兩類常見的學生錯誤現象

（一）錯過，一段時間后還會出錯

教學中多次遇到這種現象：對于某道題，學生錯過，教師講解過，學生訂正后，過一段時間，再次遇到原題還會出錯。而且，有的題目反復講解，反復訂正，卻反復出錯。例如，在高一教學中講解過下面一道函數題：

題1已知a>0且a≠1，若函數f（x）=loga（ax2-2x+1）在13，3上是增函數，則實數a的取值范圍為（）

A.?0，13

B.?[3，∞）

C.?0，13∪（1，3]

D.?0，13∪[3，+∞）

第一次讓學生獨立解答此題，全班46人只有6人給出正確答案，同年級其他班級的錯誤率也很高。學生的錯誤主要出在解答過程中只考慮函數單調性，而忘記考慮對數函數的定義域。而解決函數問題時忽視定義域是教師反復講，學生反復錯的典型錯因。

教師說明錯誤原因后，學生改進解法：當a>1時，t=ax2-2x+1在13，3上是增函數，即--22a≤13，同時還需滿足tmin>0，即a132-2×13+1>0;當00，即a·32-2×3+1>0。綜上，a≥3，所以，正確答案是B。教師再次強調解決函數問題時要注意函數的定義域，定義域優先考慮，特別是涉及對數函數;同時強調對此類問題主要是用最值法解決問題。

一段時間后，設計多題測試讓學生重做此題，參加測試的8人只有2人做對。學生的錯誤還是出在忘記考慮定義域。此外，進一步還發現，學生做對竟然是因為：考慮定義域后，通過Δ=（-2）2-4a<0得到a>1，發現只能選B。也就是說，他們用錯誤的解答過程得到了正確的解答結果（因為此題是選擇題）。這反映出新的問題：學生在解決二次函數在給定閉區間上恒大于0的問題時，只從判別式小于0的角度考慮，而不區分是在閉區間上判斷，還是在全體實數集上判斷。這對部分學生來說也是一個屢講屢錯的典型問題。

（二）同一個題中前一問考慮，而后一問卻不考慮

后續復習階段，再遇定義域問題。出現這種現象：在同一道題中，對第一問學生考慮函數的定義域，而對第二問卻不考慮函數定義域。例如，這樣的一道題：

題2已知函數f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a>0且a≠1）。

（1）判斷函數f（x）的奇偶性;

（2）解關于x的不等式f（x）≥loga3x。

對于此題，在解答第一問時，學生都能首先考慮定義域，即求得x∈（-2，2），再用函數奇偶性的定義證明;但在解答第二問時，很多學生卻不考慮loga3x中x>0。

這種現象還出現在基本不等式的應用中。例如，已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求x+y的最小值時，學生都能考慮驗證基本等號成立的條件;但是，已知a，b為正實數，判斷“函數y=a+1a+1的最小值為1”的正確性時，很多學生卻不考慮等號成立的條件。

二、兩類錯誤現象產生的原因

（一）沒有形成完善的知識結構

無論是不考慮函數的定義域，還是不驗證基本不等式的使用條件，都說明學生在學習過程中沒有形成完善的知識結構，對知識的理解和認識是不全面的、缺乏整體性的。例如，對函數，過多關注解析式，而沒有從定義域、對應法則的整體角度理解和認識;對基本不等式，只關注ab≤a+b2這個式子，沒有從“ab≤a+b2，a>0，b>0，a+b2與ab有一個是定值，等號要能成立”的整體角度理解和認識。

（二）沒有形成靈活的遷移能力

學生判斷解析式相同的兩個函數是不是同一個函數時、判斷函數的奇偶性時，都會考慮其定義域;在使用基本不等式的解答題中，往往能考慮驗證等號成立的條件。這些都是因為學生接受過解決這類問題的訓練，形成了程序化思維。但是，遇到不同的題型，學生又不考慮了。這說明，學生對知識的理解與認識與學習時特定的情境緊密相關，不能很好地遷移運用到新的情境中，沒有形成靈活的遷移能力。

（三）沒有形成良好的思維習慣

學生沒有形成嚴謹的思維習慣，思維無條理、不周全、想當然，因而會產生各種錯誤。而出現錯誤后，又簡單歸結為粗心、遺忘，不反思自己的思維缺陷。所以只做題，沒提升思維品質，下次遇到還是出錯。

三、兩類錯誤現象的教學對策

（一）加強知識的整體性教學，完善學生認知結構

教學中，教師要加強知識的整體性（聯系性）教學，讓學生整體地理解和認識知識，而不是只關注其中一部分，從而完善學生的認知結構。例如，等比數列求和公式Sn=na1，q=1，

a1（1-qn）1-q，q≠1雖然分兩種情況，但是是一個整體，對一個等比數列，q等于1、不等于1兩種情況都可能存在。再如，平面上過某點的直線從斜率角度應該分為兩類：一類是斜率存在的直線，可以用點斜式方程表示;一類是斜率不存在的直線，不能用點斜式方程表示。又如，對sin?α=22，α有兩類值，一類是α=π4+2kπ，一類是α=3π4+2kπ。

（二）加強應用的變式性教學，提升學生遷移能力

學生對知識的掌握不是一次到位的，有一個螺旋上升的過程，易錯問題需要多次矯正。教師對此要有清醒的認識，對重要知識、易錯問題，要有計劃、分階段地教學。首先要重視知識的形成過程，對核心要素要舍得花時間，讓學生留下深刻的“第一印象”——實踐證明，后期的反復補償教學效果不佳。其次要注意變換情境呈現，不斷地深化對知識的理解和認識，提升遷移能力。如函數的定義域，除了在函數概念教學時重視，也要借助求函數定義域問題，判斷兩個函數是不是同一函數問題來強化，還要在新函數的學習中加強，更要在隱含的情境中強化。例如，在對數函數學習中，除上述問題外，還可以通過解決下列題加強：

1.已知3a=5b=A，且b+a=2ab，則A的值是。

2.已知函數f（x）=1+logax（a>0且a≠1）的圖像過點A，點A在直線y=mx+n（mn>0）上。

（1）求1m+1n的最小值;

（2）當a=2時，f（x）的定義域是[1，16]，g（x）=f（x2）+[f（x）]2，求g（x）的最小值。

對于第1題，學生在由3a=5b=A，得a=log3A、b=log5A時，非常容易忽視A=0的情況。對于第2題，由于有式子f（x2），所以要求1≤x2≤16。在新的情境中能自覺考慮、遷移運用，才算真正掌握知識，知識才能變為素養（能力）。教學中，教師要變換新的情境讓重要的知識多次出現，以增強學生的理解和認識，提升學生的遷移能力。

（三）改變教學方式，讓學生自主探究和建構

學生出現錯誤不能僅靠教師強調，讓學生注意來解決問題——實踐證明，單獨強調解決不了問題;還是要改變教學方式，由解釋式、告知式、強調式教學轉變為學生參與式、體驗式、建構式學習。例如，對于題1中的錯誤，要放手讓學生對“錯在何處？是什么原因導致錯誤？是知識缺陷，還是思維不嚴謹？如何改正？怎么預防這類錯誤發生？”等問題進行充分討論、深度反思，形成自己的思考。

對于重要知識，教師要重視教學設計，包括課時設計、單元設計、長期設計，在精細化的教學過程中，讓學生自主探究，獲得切身的體驗，建構自己的理解和認識，從而應用自如，隨取隨用，不出錯，少出錯。例如，由于初中函數學習中幾乎不涉及定義域問題，所以學生解題習慣是不考慮定義域的。所以，高中函數教學首先要改變學生的思維定式，在函數概念抽象過程中就要讓學生體會到定義域的重要性，理解定義域不同即使解析式相同的函數也是不同的函數;在函數單調性、奇偶性等性質學習中讓學生發現，離開定義域，這些性質都是沒有辦法研究的;后續還要在新的情境中多次出現，讓學生建構完善的認知結構，對函數的定義域形成自己的理解和認識。