整體建構：先見“森林”，再見“樹木”

摘要：整體建構，主張根據數學特有的“整體”“結構”“邏輯”等特點，幫助學生從整體上把握知識結構，理解知識之間的內在聯系和發展，把碎片化的知識有效地連成線、結成網、組成體，將相關知識點納入一個結構或框架中，形成模塊化體系，使習得的知識結構化。執教《因式分解》一課，立足整體進行“學材再建構”，開展整體建構教學。

關鍵詞：整體建構;初中數學;因式分解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系。”這引領數學教學應從知識內容的整體角度進行“學材再建構”，即整體建構。一次，執教《因式分解》一課，筆者做了整體建構的教學實踐。

一、教學過程

（一）開展速算比賽，感受“化積”的獨特作用

教師出示算式：①（a+b+1）2-a（a+b+1）-b（a+b+1）;②（a+1）2-2（a+1）+1;③（a+b+c）2-（a-b-c）2。學生獨立計算，教師巡視了解學生的解題思路和過程。

教師指名完成速度快的學生展示、講解他們的思維過程、解題方法，然后全班交流。

教師提問：這樣做（做得快）的關鍵是什么？依據是什么？

以速算比賽的形式呈現問題有較強的情境性和策略的暗示性。讓學生分別逆運用乘法分配律、完全平方公式和平方差公式，親歷“化積”速算的過程，不僅可激發學生探求“化積”的心向，還可讓學生體悟“化積”的依據及途經。事實上，絕大部分的學生依據所掌握的乘法公式、乘法分配律及已有的學習經驗，均能較好地實現這幾個重要的變形。

（二）分析共同特點，概括聯系和區別

教師提問：觀察以上速算的第一步變形，從運算的角度看，有什么共同特點？

學生回答：將一個多項式化成幾個整式相乘。

教師追問：將一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫作把這個多項式因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。那因式分解與整式乘法有什么聯系和區別？

學生小組交流。

教師歸納：因式分解是將“和差”的形式化成“積”的形式，整式乘法是將“積”的形式化成“和差”的形式，它們是互逆變形。

在學生親自實踐有所體悟的基礎上，引導學生分析乘法分配律、完全平方公式、平方差公式逆變形的共同特點，從而將學生的實踐感知數學化，建構因式分解的概念，并分清因式分解與整式乘法兩種數學變形的特點、作用及相互聯系。這時，學生獲得的不僅僅是自主建構的知識，還有自主研究問題的方法經驗。

（三）在具體情境中探討因式分解的方法和依據

教師出示算式：4x2-4x;x2-25;a2-6a+9。學生因式分解。

教師出示算式：x2y+xy2;y2-9;m2-m+14。學生搶答并說明依據。

在全面交流討論解題依據和結果的基礎上，教師點明：（1）逆運用乘法分配律的因式分解方法，叫作提公因式法，即m（a+b+c）=ma+mb+mc，m叫作這個多項式的公因式。（2）逆運用乘法公式分解因式的方法叫作公式法，即a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）。（3）提公因式法和公式法是因式分解的兩種基本方法。

進一步創設搶答情境，啟發學生運用原有的知識和經驗向“化積”的目標繼續探究，總結經驗，概括出因式分解的基本方法。

（四）分層練習，掌握基本技能，深化對本質的認識

教師出示算式變形過程，學生判斷是否是因式分解。

教師出示算式：（1）3a2b-12ab3;（2）（a-b）2-2（a-b）;（3）9x2-25y2;（4）4m2-12mn+9n2;（5）-3mx3+6mx2-3mx;（6）（x2+y2）2-4x2y2。學生自主探究，教師巡視指導。

學生小組交流，互幫互糾，然后學生代表發言。

教師強調因式分解要注意的問題：因式分解時先考慮提公因式法，再考慮公式法;每個因式要分解到不能繼續分解為止。

教師提問：怎樣剪出面積是84?cm2，長比寬多5?cm的長方形紙片？

學生回答：設長方形的寬為x?cm，則長為（x+5）cm，由題意得x（x+5）=84，即x2+5x-84=0。

教師追問：如何分解因式x2+5x-84？

學生回答：x2+5x-84=（x+12）（x-7）。

教師說明：這是逆運用乘法公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq;因式分解是整式乘法的逆變形，所以因式分解的方法是逆運用整式的乘法法則或乘法公式。

通過“識別”和“分解因式”來鞏固、深化學生對因式分解本質的認識;同時能進一步深化學生對整式乘法與因式分解是兩種互逆的數學變形的認識，體驗因式分解的應用價值，初步建立因式分解的方法框架，整體了解因式分解的全貌。另外，將因式分解與解一元二次方程聯系起來，讓學生感知因式分解“降次”的作用，體會本節課學習的價值所在，為后續學習做鋪墊。

（五）引導回顧，整體建構“因式分解”

教師通過以下問題引導學生回顧本課的學習歷程：（1）什么是因式分解？與整式乘法有什么聯系和區別？（2）因式分解的常用方法有哪些？依據是什么？（3）因式分解的作用有哪些？

建構“因式分解”的整體認知（如圖1）。

二、教學思考

（一）整體建構，就是在知識的“生長點”與“延伸點”之間架起一座“橋”

教材不等于教學內容，教師應該從學生的實際出發，創造性地使用教材，重組教學內容，力求使學生的知識、智力、能力、情感、態度等達到各自的“最近發展區”，才能使教學過程成為學生實踐、探索、建構的過程。“因式分解”這一內容，現行初中數學教材有兩種編排方式：一是作為單獨一章，如北師大版，意在學生熟練掌握整式運算后，再來研究整式乘法的逆變形——因式分解，防止學生將兩種變形混淆，體現了教材“螺旋式”上升的特點。二是緊接“整式乘法”后作為一節編排，如人教版，這利于學生訓練逆向思維，培養思維的靈活性、變通性。這也是本次整體建構教學的思路。這樣的整體建構，能夠使引導學生在比較中認識兩種互逆變形的聯系和區別，架起知識“生長點”之橋。

（二）整體建構，就是先見到“森林”，而后深入認識一棵棵“樹木”

沒有一種宏觀的視野，很難有微觀上的深入。常規教學中，采用先讓學生學習知識“個體”，再到“部分”，最后到“整體”的教學方法，學生難以自主打通“孤立”知識點之間的聯系。整體建構就是幫助學生用整體的觀點來學習知識的各“部分”，同時在學習“部分”時又明確它在“整體”中的作用，從而完善認知結構，“既見樹木，又見森林”。

本節課，通過設計特殊的運算問題，使學生自覺地發揮自己的智力。逆運用整式乘法的知識，簡化運算過程，提高時效，初步感知“和”化“積”的方法和作用。在學生親自實踐有所體驗的基礎上，教師引導學生將實踐感知數學化，建立因式分解的概念，并分清因式分解與整式乘法兩種數學變形的特點、作用及相互聯系。在此基礎上，進一步創設情境，啟發學生自主探索因式分解的基本方法，總結因式分解的注意點，從而使學生整體了解因式分解的全貌，激發深入學習因式分解、熟練掌握因式分解技能的積極性。

（三）整體建構，就是新舊圖式體系相互作用的過程

皮亞杰在《結構主義》一書中指出：結構（也叫作一個整體、系統、集合）就是由具有整體性的若干轉換規律組成的一個有自身調整性的圖式體系。整體建構“因式分解”的過程，是學生新舊圖式體系相互作用的過程。考慮到學生原有的圖式體系，在學生知識能力的“最近發展區”內搭建學習支架，使舊圖式體系促進新圖式體系的形成（即讓學生親歷“化積”速算的過程），不僅可激發學生探求“化積”的心向，還可讓學生體悟“化積”的依據及途經。特別地，整體建構使學生形成有序的因式分解的知識結構，思維更具活力，從而自然而然地實現生長——學生能自主搭建深入學習的支架，初步形成新的“解一元二次方程”的圖式體系。

整體建構，主張根據數學特有的“整體”“結構”“邏輯”等特點，幫助學生從整體上把握知識結構，理解知識之間的內在聯系和發展，把碎片化的知識有效地連成線、結成網、組成體，將相關知識點納入一個結構或框架中，形成模塊化體系，使習得的知識結構化。這可以看作數學教學涵育學生核心素養的重要方向和主要途徑。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點資助課題“初中數學‘學材再建構研究”（編號：Ea/2016/06）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1]?施俊進.基于“原有基礎”，引導“整體架構”，促進“協同發展”——“二次根式（一）”教學實踐與反思[J].中學數學，2013（2）.

[2]?施俊進.“用教材”：“學材再建構”的教材觀——以“二元一次方程組”的教學實踐為例[J].數學教學通訊，2019（8）.