滲透數學核心素養的概念課教學實踐

徐炎

【摘要】數學概念課對于學生學習數學至關重要，筆者所在的學校在2010年提出了“四導四學”教學模式.在中學數學概念課堂中實踐“四導四學”模式，可以讓學生經歷從特殊到一般再到特殊的探究學習過程，從學生視角，激發學生探究學習的主動性和主動學習的內驅力，實現教師、學生的雙元合一，發展學生的數學思維，培養學生的數學核心素養.

【關鍵詞】問題;數學概念;核心素養

一、教材說明

蘇科版九年級數學下冊第五章“二次函數”第一節“二次函數”.

二、重難點

重點：二次函數概念的生成過程.

難點：確定二次函數的表達式及自變量的取值范圍.

三、教學目標

1.讓學生經歷探索兩個變量之間的函數關系的過程，會用數學式子描述某些變量之間的數量關系.

2.讓學生通過對實際問題情境的分析，確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義.

3.讓學生通過實例分析，進一步感受函數的應用和自變量的取值范圍.

四、教學設計

環節1 課前熱身 回顧舊知 激趣課堂

教師：“函數是刻畫現實世界中變量之間關系的重要數學模型.前面學習了一些常見的函數關系，讓我們一起走進課前熱身.”

1.食堂原有煤120噸，每天用去5噸，x天后還剩下煤y噸，則y關于x的函數關系式是.

2.一個面積為6400 m2的長方形的長a（m）隨著寬b（m）的變化而變化，則a關于b 的函數關系式是.

3.水滴激起的波紋不斷向外拓展，所形成的圓的周長C和半徑r之間的函數關系式是.

4.圓的面積S和半徑r之間的函數關系式是.

學生先獨立思考，再回答上述問題中涉及的函數關系式是什么函數.教師可借此帶領學生復習一次函數、正比例函數和反比例函數.二次函數是繼一次函數、反比例函數之后的又一種重要的代數函數，是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型.教師帶領學生在熟悉的水滴激起波紋的問題中發現新函數關系.

教師帶領學生回憶一次函數、反比例函數的學習內容和經歷，展示二次函數章節知識樹，從而使學生知曉本章的學習內容.

環節2 導預疑學 預學糾錯 生成概念

活動：學生展示預學成果，用函數表達式表示問題中兩個變量之間的關系.

（1）水滴激起的波紋不斷向外拓展，所形成的圓的面積S與半徑r的函數關系式：S=.

（2）某產品年產量為30臺，計劃今后每年比上一年的產量增長率為x，試寫出兩年后的產量y（臺）與x的函數關系式是.

（3）用長16 m的籬笆圍成長方形生物園飼養小兔，長方形的面積y（m2）與長x（m）之間的函數關系式是.

（4）某地區原有20個養殖場，平均每個養殖場養奶牛2000頭.后來由于市場原因，決定減少養殖場的數量，當養殖場每減少1個，平均每個養殖場的奶牛數將增加300頭.如果養殖場減少x個，那么該地區奶牛總數y（頭）與x（個）之間的函數關系式是.

思考：上述問題中有幾個變量？自變量是什么？都是關于自變量的幾次式？比較函數關系式的共同點，能用一般的式子表示它們的共同之處嗎？

學生發現上述問題的關系式都是關于自變量的二次式，將表達式寫成按照自變量的指數由高到低排列的形式，歸納出二次函數的定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫二次函數，其中x是自變量，y是x的函數.

教師同步板書，并進行概念的學法指導.想要理解二次函數的定義要把握三點：（1）函數關系式形式上等號左邊是y，右邊是關于自變量x的整式;（2）a，b，c是常數，a≠0是定義的一部分，不能少;（3）等式右邊的自變量的最高次是2.

環節3 導問研學 問題探究 解決質疑

提出問題比解決問題更重要.在教學中，教師應引導學生發現問題，提出問題，鼓勵學生提出質疑.在問題探究中，教師應培養學生解決問題的能力，讓提出質疑的學生和其他學生交流，激發學生的學習興趣，培養自主學習、合作學習的能力.

教師結合本節課的教學目標，設計了兩個問題.

問題1：如何利用二次函數的定義解決問題？

出題角度1：應用二次函數的定義識別二次函數.

活動1：下列函數表達式中，一定是二次函數的是（? ）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.y=x2+1x

變式：下列函數：

（1）y=1-x2;

（2）y=2x;

（3）y=x（x-3）;

（4）y=ax2+bx+c;

（5）y=2x+1;

（6）y=（x+2）（x-2）-x2;

（7）y=x2-3z;

（8）y=（a2+1）x2-x+3.

其中是二次函數的有.

出題角度2：應用二次函數的定義確定字母的取值或取值范圍.

活動2：（1）若關于x的函數y=（a-2）x2-x+1是二次函數，則a的取值范圍是;

（2）若關于x的函數y=xa2-3a+4-x+1是二次函數，則a的值是;

（3）若關于x的函數y=（a-2）xa2-3a+4-x+1是二次函數，則a的值是.

歸納：解決問題時要緊扣二次函數的定義，從整式，自變量最高次數是2，二次項系數不等于0三個方面來看.

問題2：如何根據實際情境分析確定二次函數的表達式及自變量的取值范圍？

活動：寫出下列問題中y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

（1）正方形的面積是9，若邊長減少x，則減少后的正方形的面積y.

（2）化肥廠10月份生產化肥200 t，設該廠11月、12月的月平均增長率為x，12月份的化肥產量為y（t）.

（3）兩個正方形的周長和是10，設其中一個正方形的邊長為x，兩個正方形的面積和為y.

（4）某汽車租賃公司有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，經市場調查發現，一輛汽車日租金每增加10元，每天出租的汽車就會減少5輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高10x元時，公司日租金收入為y元.

問題1是在學生初步認識二次函數概念的基礎上，應用概念解決問題，鞏固概念，加深對概念的理解，現學現用.問題2是先讓學生獨立思考后分小組解決問題，完成后小組間糾錯整改完善，學生能解決的問題讓學生獨立合作解決，教師在過程中提醒注意點、提煉通法.學生在解決問題的過程中發揮了學習的主動性，養成了分析問題、語言表達、合作交流、思辨的能力以及和同學溝通交流的能力，學會用數學的眼光觀察生活問題，用數學的思維思考生活問題，用數學的語言表達生活問題.

環節4 導法慧學 回顧課堂 總結通法

教師以思維導圖的形式展示課堂的學習板塊，引導學生回顧課堂學習知識點，提煉解決同一類問題的通法和學習新的數學概念的通法，即從特殊到一般再到特殊的學習方法，達到慧學的學習目標.

五、設計自述

章建躍博士強調：“數學是玩概念的，數學是使用概念思維的，在概念教學中養成的思維能力最強[1].”數學概念的學習是學生學習其他相關知識的前提和基礎，只有牢固學好數學基本概念，深入理解概念，才能提高基本數學素養，形成基本數學技能.一位數學教師的基本功，往往就看他引領學生建立數學概念的能力[2].本節課是二次函數的第一節概念課，為了能夠達到概念課的預期教學效果，在備課時，筆者認真研讀教學大綱、教材等相關資料，熟知了學生的學情、班情，結合之前函數、一次函數、反比例函數的教學方法，設計了本節課的教學過程.

1.從實際生活中的熟悉情境引入新問題，啟發新思考，發現新函數

教師帶領學生回顧前面學習的圓的周長隨著半徑的變化而變化，是大家熟知的一次函數關系，從而復習一次函數、反比例函數的概念，回顧學法，接著提出新的問題：“圓的面積隨著圓的半徑的變化而變化，這又是一個什么新的函數關系呢？”為了加深學生的印象，教師又列舉了大量的有相同函數關系的實際問題，讓學生感受二次函數是生活中很常見的函數，學習二次函數可以幫助其更好地解決實際問題.

2.基于學生的問題貫穿課堂，變式訓練，突破重難點，強化對概念的理解和應用

顧明遠先生指出：“只有會思考并能提出問題，才能培養學生批判性思維、創新思維的能力.”本節課，教師課前做了大量的問題搜集，圍繞學生的預學問題開展學習.教師設計了兩個主問題和三個數學活動，結合變式訓練拓展學生的思維.為了突破確定二次函數表達式和自變量取值范圍的難點，教師通過大量實例，在實際問題中不斷滲透二次函數關系，逐步培養學生用函數關系式刻畫變量之間的變化關系，從而使學生能逐步嘗試描述關系，進而思考自變量在實際問題中的限制條件，從而確定取值范圍.

3.把握概念教學的本質，滲透數學核心素養的培養

教師應把握概念教學的本質，從促進學生思維角度開展教學，滲透從特殊到一般的歸納、推理、建立數學模型、形成數學概念的思想，進而形成解決一般問題的數學思想方法.教師圍繞本節課的教學重難點，以“問題+活動”的形式，引領學生認識二次函數的概念.這樣的設計可使學生真正理解二次函數的概念，掌握二次函數的概念并更好地運用二次函數的概念解決問題.

【參考文獻】

[1]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版社，2018.