提升小學低段學生幾何直觀意識的實踐

周曉露

摘 要：幾何直觀是數學課程的一個核心概念，《義務教育數學課程標準（2011年版）》第一學段課程目標對此尚未涉及，然而在第一學段滲透幾何直觀符合學生認知發展規律。文章闡述第一學段滲透幾何直觀依托一定載體，通過顯性學習和隱性的氛圍感受相結合的實踐，幫助學生在主動嘗試中感受幾何直觀的價值，積累利用幾何直觀理解數學的活動經驗。

關鍵詞：幾何直觀;小學數學;第一學段;畫圖策略

幾何直觀是數學課程的一個核心概念，筆者在實踐教學中發現，畫圖策略作為幾何直觀的一種技能表現形式，出現“第一學段不重視，第二學段不會用”的尷尬場面。第一學段的教材內容在編排上常常以全圖式或半圖式的形式呈現，在教學時通常也要借助擺一擺、畫一畫等直觀的形式來理解數學。在第一學段到底該如何安排幾何直觀教學？筆者基于幾何直觀的認識，對第一學段滲透幾何直觀的教學進行思考和嘗試。

一、堅定滲透理念：符合學生認知發展規律

第一學段學生思維發展水平以形象思維為主，在學習概念及解決問題過程中常需要借助實物、圖片、小棒，這就有必要在第一學段滲透幾何直觀。另外，教材在內容編排上從具體到抽象：一年級出現了大量的情境圖、實物圖;二年級（下冊）開始出現直條圖呈現信息，逐步抽象數量關系;三年級（上冊）正式教學線段圖……這符合學生對幾何直觀逐漸認識、理解、運用的過程，為學生積累了足夠的表象與經驗。因此，第一學段滲透幾何直觀符合學生的認知規律，有助于學生利用幾何直觀理解數學模型的建立，有助于學生積累豐富的活動經驗，為后續的數學學習作好鋪墊。

二、明確教學目標：在主動嘗試中感受幾何直觀的價值

《義務教育數學課程標準（2011年版）》這樣描述幾何直觀：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”這給了一線教師進行教學思考的基本依據。首先，幾何直觀并不和具體的知識點聯系在一起。“圖形與幾何”的學習過程中，其中的一個目標就是培養學生的幾何直觀。另一方面，在“數與代數”“統計與概率”和“綜合與實踐”等板塊的內容中也可以讓學生感受幾何直觀的價值。幾何直觀是基于“幾何與圖形”而超越“圖形與幾何”的。其次，幾何直觀是一種意識，也是種技能與能力。對數學教學來說，幾何直觀表現為面對數學問題能想到畫圖來幫助思考，表現為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫圖并借助圖進行數學思考。最后，幾何直觀更是一種思維能力，面對數學問題能夠主動地取舍是否需要運用畫圖策略來解答，自如地通過直觀層面來解決數學問題。

三、提供學習支持：顯性學習和隱性感受相結合

（一）隱性感受，營造良好的課程氛圍

幾何直觀是一種技能或能力，更是一種數學意識。因此教師首先要有明確的幾何直觀的課程意識，才能促進學生在良好的課程氛圍中感受幾何直觀的價值。教師的課程意識最明顯的表現形式就是能夠整體把握義務教育階段的課標與教材，能夠對教材中的幾何直觀進行個性開發。表現在圖形與幾何知識的學習中，讓學生動手操作，會用圖形來代替實物，會通過折、疊、拼、展開等各種活動，積累活動經驗。表現在其他三塊領域的學習中，則是充分挖掘和呈現這些知識中的幾何直觀因素，以便學生更直觀地理解數學。因此無論是哪塊知識領域，教師在整合課程資源的同時，能夠個性化地運用畫圖的形式，讓學生直觀地理解數學。

筆者以人教版小學數學第三冊教材為例，對各單元不同知識內容進行了個性化圖解，以期為學生創造良好的課程氛圍，在課堂教學中不斷強化幾何直觀的意識。

上述劃分目的在于教師個性化開發課程資源，創設良好的幾何直觀的課程氛圍，促進學生更直觀地理解數學。第一部分集中圖示，呈現原理一致的問題都與排列有關，而排列問題對二年級的學生來說，就屬于有難度、很新穎的問題類型。通過對它的指導，可帶領學生學習數學畫圖。第二部分添加圖示，區分相近概念。相近概念的一方是舊知（已經建立表象），另一方是新知（尚未建立表象），在概念對比中筆者采用舊知學生畫圖，新知教師畫圖的方式，逐漸向全由學生畫圖轉變。第三部分展現圖示，理解較難概念。在一些較難概念的理解上，用圖示進行思辨糾錯，從正反兩方面認識概念，擴大概念的內涵與外延。第四部分對比圖示，進行材料辨識。

（二）顯性學習：指導畫圖策略的遷移

用幾何直觀方法解題，必然經歷把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，進而思考分析的過程。而這一系列的轉化過程不是天然形成的，學生也不可能一蹴而就。因此，我們還對畫圖策略給予適當的指導。

1. 畫圖技巧的指導

幾何直觀一般經歷“實物圖—示意圖（直條圖）—線段圖”的遞進，因此教學幾何直觀首先要引導學生讀懂圖。如一年級上冊含有大括號的解決問題，呈現的是信息，我們知道了什么，要解決什么問題。二年級上冊認識乘法這一單元，教材呈現多種實物圖，每種實物都展示著相同的幾份，揭示了乘法的意義;一年級下冊“求兩數相差多少”的問題，以及二年級下冊倍的認識，教材出現的直條圖，重在讓學生看懂圖所揭示的數量關系。

其次要掌握用幾何圖形來替代實物，畫出去情境化的示意圖。從實物圖到示意圖，學習的是用幾何圖形表征數量的多少。這個描述題意的過程，關注的是幾何圖形與實物的一一對應。如在一年級下冊的“數學思考”中遇到這樣的問題：我們一隊有12個男生，老師讓我們兩個男生之間插進一個女生。共可以插進多少個女生？在教學時，我們要引導用一種圖形如圓來代替12個男生，用三角形來代替女生，通過畫出示意圖，從而直觀地解答此題。在實際的教學中，教師要盡可能地挖掘幾何直觀的材料，讓學生養成用圖形代替實物、去情境化的習慣。

畫圖策略是培養幾何直觀的一種手段，幾何直觀里的圖形不一定是有形的，還可是無形，或是學生頭腦中對表象的直接操作。因此學生的思維過程“文字—圖形—符號”上升到“文字—符號”階段，可以允許學生跳過畫圖這個中間環節。因此筆者在進行畫圖策略指導的時候，及時根據每個學生的實際情況，不斷縮減這個環節，不讓畫圖策略成為學生的學習負擔。

2. 畫圖過程的指導

對第一學段學生畫圖策略的指導，可以從對示意圖畫法的示范，學生用外部言語的表述，以及學生的自我訓練來操作。同時考慮到第一學段的學生有意注意保持時間不長，容易感到疲勞的特點，在指導中可以加入表演、演示、回想、猜測等方法吸引他們的注意，添加兒歌、童謠、故事、快板等兒童化的元素，使學生更好地運用畫圖策略，在不知不覺中完成數學畫圖的游戲。

以下是筆者設計的“握手問題”畫圖策略指導方案：

（1）結合言語，定向指導

定向指導畫圖策略，就是完整的展現畫圖過程的各個流程，包括把文字材料轉化成圖的各個要素，依據圖來確定數量關系等步驟。而在定向階段最重要的就是教師正確的示范、確切的講解、明確的動作指令。

出示對象一：三人握手，每兩人之間握一次，一共握了幾次？

指導過程：

◆讀題、演示——理解關鍵句“每兩人之間握一次手”隱含的握手的順序和方式，在學生表演中形成充分的表象。

◆回想、表述——采用外部言語對過程進行表述，明確握手的順序。

◆正確示范畫圖，清晰描述過程——結合生動的語言，完整展現畫圖全過程。

為便于二年級學生掌握畫圖的過程，筆者特地編了一則小故事，伴隨故事的敘述畫圖示范。

師：有家農戶生三子，老大、老二和老三（板：畫了三個顏色不同的●），三人今日要分別，相互握手來道別，老大先握老二手（板：在老大和老二之間加一條線），老大再握老三手（板：在老大和老三之間加了一條線），老大握完揮淚走，剩下老二握老三，兄弟倆倆把手握（板：在老二和老三之間加一條線），期盼來年早日見。

（2）實際操作，適時轉化

在學生進行幾何直觀模式的實際操作時，包括引導學生進一步熟悉和理解線段圖;畫出第一步圖，提供畫圖的大體框架，引導學生接著往下畫;引導學生根據題意獨立畫圖，對于可能出現的信息呈現不完整，關系表達不準確等問題，教師要利用面批、糾錯等形式認真、耐心地加以指導。在這一過程中還要引導學生思考：到底什么時候需要畫圖？畫怎樣的圖？畫圖時有什么注意點？有了圖怎樣進一步思考？等等。

指導過程：

◆學生嘗試獨立畫出對象一的圖，教師巡視糾正錯誤的動作序列。

變更對象出示第二題： 上圖中一共有幾條線段？

◆尋找相同點，說說畫圖過程——提示學生可以把線段的三個端點當三個兒子，把每兩個端點組成的線段當作握手的次數。觀察教師板演過程，語言說明畫圖的過程。

變更對象出示第三題： 左圖一共有多少個角？

◆嘗試畫圖，逐個過關——學生比較發現：可以把三條邊當作三個兒子，每兩條邊組成的角當作握手的次數。學生邊說邊畫，教師逐個巡視畫圖過程。

變更對象出示第四題：一架玩具飛機26元，一輛玩具汽車38元，一個玩具洋娃娃29元，任意買兩個玩具可能需要多少錢？你最多能寫出幾種買法？

◆畫法順應，集中反饋——由于與前四題畫法相同，所以由學生獨立操作為主，在反饋中重點理清四則材料畫圖方法的異同點。

變更對象出示第五題：五人握手，每兩人之間握一次，一共握了幾次？

◆縱向深入，分層要求——從3個對象的排列到5個對象的排列，盡管原理一樣，但對畫法順序上的要求更高。需要學生把剛學的畫圖策略與頭腦中的表象正確對接才能完成任務，對個體智力水平好的學生更具有挑戰性;智力水平一般的學生，需要充分調動自己所有的知識參與活動;智力水平較弱的學生，筆者可以給予一定的個別輔導。

在畫圖策略指導初期，課外作業需要學生和家長一起做一做、畫一畫、算一算：如布置學生回家對著鏡子擺姿勢（手上拿本書等）畫出鏡中畫面的作業，小朋友排隊問題，用小正方形拼長方形的問題等。在評價時多對使用畫圖策略解決問題的學生給予贊揚，多制造機會讓每個學生體會到使用畫圖策略成功解決問題的喜悅，逐漸在班級成員的日常學習中，形成用畫圖展現思維進行辯論的氛圍。

學生的思維方式和價值感受主要在課堂中形成。培養學生幾何直觀的思維，需要依托數學課程的每個領域，依托具體的數學教學內容，需要具體落實到每一個教學內容、每一個教學細節。如果教師在第一學段就能以保護學生的幾何直觀的潛質為起點，善于利用幾何直觀來組織教學，并給予顯性的畫圖策略的指導，相信學生肯定能積累豐富的數學活動經驗，最終形成針對幾何的敏銳洞察力和深厚的數學素養。

■參考文獻

[1]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013（05）.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012（07）.