“參”謀“化”策，化繁為簡

顧珊嵐

圓錐曲線是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其中的定值問題是常考的一類題型，題目通常要求根據(jù)條件證明所求結(jié)論不受任何變量的影響，恒為定值。此類題型綜合性強(qiáng)、思維難度大、計(jì)算量大，同學(xué)們只有掌握相關(guān)的方法和技巧，才能順利解題。本文嘗試對(duì)圓錐曲線定值問題運(yùn)算中的常用技巧做一些歸納整理，為這類題型的備考提供一個(gè)參考。

一、回歸定義，靈活應(yīng)用，化難為易

回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知識(shí)、新思維的生長點(diǎn)。若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能收到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果。在圓錐曲線的定值問題中亦是如此。

例1已知拋物線E：x？=2py（p》0）的焦點(diǎn)為F，圓M的方程為x+y'-py=0，若直線x=4與軸交于點(diǎn)R，與拋物線E交于點(diǎn)Q，且|QF1=2RQ＼。

（1）求出拋物線E和圓M的方程。

（2）過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，與圓M交于C，D兩點(diǎn)（A，C在y軸同側(cè)），求證：|AC|.|DB|是定值。

解析：（1）設(shè)Q（4，yo），由|QF|=|RQ得y。+P.5

yo，所以y。=2p，將點(diǎn)（4，2p）2代人拋物線方程得p=2，所以拋物線E：x？=4y，圓M：x+y'-2y=0。

（2）拋物線E：x=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x，（x？=4y，y1），B（xz，y2），由（y=kx+1，消去y整理得x-4kx-4=0，則0=16（k'+1）》0，且x+x2=4k，x.xz=-4。由條件可知圓x+（y-1）？=1的圓心為M（0，1），半徑為1，圓心就是拋物線E的焦點(diǎn)。

由拋物線的定義知|AF|=y1+1，|BF|=yz+1，則ACI=lAFI-1=y，I|BD|=|BF|-1=yz，lACl.|BD|=yyz=（kx+1）.（kx，+1）=kxx2+k（x+x）+1=-4k*+4k*+1=1。

所以|AC|.|BD|為定值，定值為1。點(diǎn)評(píng)：本題通過拋物線的定義靈活地將焦半徑|AF|，|BF|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到|AF|=y1+1，|BF|=y+1，再分別減去圓M的半徑，即可得|ACI=y，|BD|=yz，從而快捷地建立代數(shù)關(guān)系式|AC|.|BD|=y1yz，并進(jìn)行求值即可。本題若要由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)求|AC|，點(diǎn)B，D的坐標(biāo)求|BD|，則必然需要再聯(lián)立直線CD和圓的方程，那么|AC|。|BD|的代數(shù)式的得出難度相當(dāng)大，過程也會(huì)非常煩瑣。所以解決本題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用圓錐曲線的定義。

二、巧設(shè)參數(shù)，追蹤動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線

圓錐曲線因運(yùn)動(dòng)而精彩紛呈，在圓錐曲線的定值問題中，不同的視角決定著我們選取不同的參數(shù)，建立不同的代數(shù)關(guān)系，無論是何種代數(shù)關(guān)系，我們都是為了實(shí)現(xiàn)“定”的目標(biāo)，因此如何合理選參直接影響到代數(shù)式的繁簡程度。在分析問題時(shí)，我們既要從條件出發(fā)，又要從目標(biāo)逆推，找到條件和目標(biāo)之間的聯(lián)系，達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算的目的。

例2

如圖1，已知橢圓

的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，，左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，Ap，上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為B，，B，△B，OF;是斜邊長為2的等腰直角三角形，直線l過A2且垂直于x軸，D為l上異于A。的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線A，D交橢圓于點(diǎn)C。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求證：可為定值。

解析：（1）因?yàn)椤鰾，OF，是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以a=2，6=c。

又因?yàn)閍=b+c，所以6=2。

解法二：由已知直線AD的斜率存在，設(shè)直線A，D的方程為y=k（x+2）（k0），所以C.B為定值4。

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問的解答，若從目標(biāo).蘇出發(fā)（解法一），則發(fā)現(xiàn)研究數(shù)量積需要知道點(diǎn)的坐標(biāo)，所以選擇設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)C（xo，yo）（y。0）為參數(shù)，再由直線A，C與直線l相交確定點(diǎn)D，從而得出數(shù)量積的表達(dá)式并化簡得出定值;若從條件出發(fā)（解法二），則發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線AD與直線l和橢圓分別交于點(diǎn)D，C，所以選擇設(shè)動(dòng)直線AD的斜率為k（k≠0），再求出點(diǎn)D，C的坐標(biāo)，從而得出數(shù)量積的表達(dá)式并化簡得出定值。比較而言，本題還是設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)的方法運(yùn)算量較小，可以避免聯(lián)立直線與橢圓方程得出交點(diǎn)的運(yùn)算步驟。

三、極端思想，優(yōu)化解題過程

極端策略是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變。通過圓錐問題的極端元素，靈活借助極端策略解題，可以避開抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低難度，是簡化圓錐曲線運(yùn)算的一條有效且重要的途徑。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，

（2）由|MA|=|MB|知，M在線段AB的中垂線上，由橢圓的對(duì)稱性知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

①若A，B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則M是

橢圓的一個(gè)長軸頂點(diǎn)，此時(shí)

同理，若A，B是橢圓的長軸頂點(diǎn)，則M

是橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)

②若A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k?0），則直線OM的方程

點(diǎn)評(píng)：本題通過A，B，M三點(diǎn)的兩種極端位置，即若A，B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則M是橢圓的一個(gè)長軸頂點(diǎn)和若A，B是橢圓的長軸頂點(diǎn)，則M是橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，得1

出=2為定值。再10A+IOB+1OM|2探究A，B，M三點(diǎn)不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，選擇合理的參數(shù)，得出OA+|OB|2十|OM|2的關(guān)系式，通過化簡求出定值。靈活借助極端策略，簡化代數(shù)式的運(yùn)算，優(yōu)化解題過程。

解析幾何是高考高頻考點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)與變化是研究幾何問題的基本觀點(diǎn)，而利用代數(shù)方法研究幾何問題是解決解析幾何問題的基本方法，其解題思路靈活，不同的切人點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的差異。圓錐曲線題一般題目較長，需仔細(xì)審題，合理轉(zhuǎn)化;解析幾何題的運(yùn)算量大，要養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，掌握運(yùn)算技巧;圓錐曲線是幾何問題，要考慮其幾何屬性，利用數(shù)形結(jié)合思想解題。因此在解決此類問題時(shí)，要耐心審題，大膽轉(zhuǎn)化，優(yōu)化思路，細(xì)心運(yùn)算。

（責(zé)任編輯王福華）