動中不動何處找 尋找參數(shù)美中求

王凱

點(diǎn)共線，故直線AB恒過定點(diǎn)Q（6，-3）。

點(diǎn)評：用參數(shù)法解決定點(diǎn)問題時，對參數(shù)的處理也是不同的，應(yīng)注意到煩瑣的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)。從代數(shù)角度來看，幾何上的定點(diǎn)問題就是恒成立問題，為此我們也可以通過幾何上特殊的位置或者代數(shù)上取特殊的參數(shù)值，來求得可能的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后進(jìn)行檢驗其恒成立即可。這種先特殊再證明的思路往往可以減少計算量，此題就是先用特殊的兩條直線解出交點(diǎn)，然后驗證三點(diǎn)共線，從而證明結(jié)論成立。

三、巧用對稱特征，增加條件等量

例3已知橢圓C：-+y？=1的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，A2，若直線l：x=t（t為大于2的常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)T，P為直線l上異于點(diǎn)T的任意一點(diǎn)，直線PA，PA，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，試問：直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？

解析：設(shè)直線PA的方程為y=k（x+2），代入+s*=1，消去y得（1+4ki）x+16kx+16k-4=0，此方程一根為一2，設(shè)M（x，y），N（xcz，y2），由韋達(dá)定理得

點(diǎn)評：對稱是圓錐曲線的重要性質(zhì)之一，利用對稱性來輔助解決圓錐曲線問題，往往可以減少分類。而對于一類特殊的定點(diǎn)問題，利用對稱性可以猜想結(jié)論，減少計算量。此題是要證直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，在計算過程中，注意利用輪換、對稱等性質(zhì)來減少計算量，從而順利解決問題。

四、運(yùn)用同一思想挖掘隱含定點(diǎn)

例4已知拋物線C：x=2py（p》0）上一點(diǎn)M（m，9）到其焦點(diǎn)F的距離為10。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線分別交軸于P，Q兩點(diǎn)，試證明直線AP，BQ的交點(diǎn)在定直線上。

解析：（1）拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=4y。（過程略）

（2）由（1）知拋物線C的焦點(diǎn)為（0，1），可以判斷直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x，y），B（xp，y），再設(shè)直線AP，BQ的交點(diǎn)為R（xo，yo）。利用導(dǎo)數(shù)知識可求得過點(diǎn)A的切線方程為xc=2（y+y），將點(diǎn)R（xo，yo）的坐標(biāo)代人直線AP的方程得xx=2（yo+y）;同理可得xp.xco=2（y+y）。所以切點(diǎn)弦AB所在方程為xx=2（yo+y），這與y=kx+1表示的是同一條直線（對應(yīng)系數(shù)成比例），得到x。=2k，且yo=一1，即點(diǎn)R（xo，yo）在定直線y=-1上。

點(diǎn)評：圓錐曲線有許多相關(guān)性質(zhì)，特別是與焦點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)。比如，過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)作拋物線兩條切線，則切點(diǎn)弦過焦點(diǎn)。如果了解這些性質(zhì)，對我們研究相關(guān)的問題有著很大的幫助。此題就是根據(jù)其逆命題的情況，猜想兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，可以先設(shè)切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用同一法來處理。否則，按照常規(guī)思路是選擇拋物線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)來表示，寫出兩條切線方程，解出兩條切線的交點(diǎn)，利用交軌法求得交點(diǎn)的參數(shù)方程，最后再消去參數(shù)得到普通方程，其運(yùn)算過程過于煩瑣。

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，雖然看似復(fù)雜多變，但是其關(guān)鍵的步驟就是選擇相關(guān)的參數(shù)，寫出動直線的方程，適時地采用特殊的方法，大膽地猜想結(jié)論。若能夠掌握這樣的基本思路，必定能夠以不變應(yīng)萬變，增強(qiáng)我們的解題能力。美國著名數(shù)學(xué)家喬治。波利亞有一句名言：“沒有任何一道題是可以解得十全十美的，總剩下些許工作要做，經(jīng)過充分的探討和總結(jié)，總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個解答，總能提高我們對這個解答的理解水平。”

（責(zé)任編輯王福華）