解決圓錐曲線中的最值與范圍問題

浦春玲

高考在考查圓錐曲線時常綜合其他知識進行，其中的范圍和最值問題是較為典型的代表，是高考的熱點問題，也是難點問題之一。這類問題綜合性較強，常以幾何與方程、函數、不等式等問題為載體，隱性條件較多，關系式復雜，難度較大。解決問題的關鍵是根據幾何性質構建數量關系，將幾何問題轉化為方程、函數或不等式問題。下面通過幾道最值或范圍問題的解法探討如何恰當選擇解題策略，合理轉化解題方向，希望對新高考模式下圓錐曲線的復習提供一點幫助。

一、巧設直線方程，簡化目標形式求最值

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設0為坐標原點，過右焦點F的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不在軸上），若元=+B，求四邊形AOBE的面積S的最大值。

解析：（1）由26=2/3，可知b=/3。又

點評：經過一點（xoy）的直線方程一般設為y-y。=k（x-xo）（要考慮斜率是否存在的問題），也可設為x=l（y-yo）+xo（除去與軸平行的直線），選擇哪種類型要先分析問題，把條件和目標聯系起來，如消元后需要留下縱坐標y，則設第二種類型較好。引入合適的參數是簡化計算的重要訣竅。解題時，要從分析問題的條件或結論的表達形式、內部結構的特征出發，注意從整體結構入手確定參數（參變量）。本題利用平行四邊形的性質將四邊形的面積轉化為三角形的面積求解。同學們還要學會巧設直線方程，使用韋達定理，利用基本不等式、函數的單調性求解函數最值。

二、抓住曲線定義，列出弦長式子求最值例2（2020年浙江模擬）如圖2，已知拋物線的標準方程為y=2pxc（p》0），其中0為坐標原點，拋物線的焦點坐標為F（1，0），A為拋物線上任意一點（原點除外），直線AB過焦點F交拋物線于B點，直線AC過點M（3，0）交拋物線于C點，連接CF并延長交拋物線于D點。

（1）若弦|AB|的長度為8，求△OAB的面積;

（2）求|AB|、|CD|的最小值。

解析：（1）因為焦點坐標為（1，0），所以2p=4，所以拋物線的標準方程為y=4x。

設直線AB的方程為x=ty+1（t為斜率的倒數），A（x，y），B（xz，y2）。

（2）因為點A在拋物線上，所以可設A（a，2a），由第（1）問可知A，B兩點的縱坐

點評：解析幾何的本質特征就是用代數方法研究幾何問題。若能引用已知的平面幾何性質，將會收到事半功倍的效果。本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的幾何關系及弦長問題。對于過拋物線焦點的弦長問題我們可以利用拋物線的定義將其轉化為到其準線的距離求解。

三、利用二元變量，轉化二次函數求最值例了（2020年浙江金華期末）已知拋物線C：y=+2，過拋物線C外的點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B。（1）若P（2，0），求兩條切線的方程;

的動點，求△PAB面積的取值范圍。

解析：（1）設過點P的切線方程為y=k（x-2），將其代人y=x+2，可得x？-kx+2k+2=0，所以0=k？-8k-8=0，解得k=4士2/6。

所以所求的兩條切線的方程分別為y=（4+2/6）（x-2）和y=（4-26）（x-2）。

（2）設P（m，n），A（x，y），B（xg，yg），對y=x+2求導得y'=2x，則切線PA的方程為y-yi=2x（xc-x），又y1=x+2，則y=2xcx-y+4。同理，切線PB的方程為y=2x2x-y2+4。

又因為PA和PB都過點P（m，n），則（n=2xm-y+4，所以直線AB的方程為n=2x2m-y2+4，

n=2mx-y+4，即y=2mx-n+4。

（y=2mx-n+4，消去y整理得xc？聯立y=x*+2，

-2mx+n-2=0，所以0=4m2-4（n-2）=4（m'-n+2）》0，由韋達定理得+x=2m，xxz=n-2，所以|AB|=/1+4m，lx-xl=2i44m.m-n+2。

點評：對于圓錐曲線中的最值問題，既要“以形助數”，啟發思維，培養敏捷性，也要“以數助形”，精確刻畫，培養嚴密性，使抽象思維和形象思維互相結合，相互滲透。本題考查拋物線的方程與幾何性質、切線方程、韋達定理、三角形的面積公式等。在求面積的取值范圍時，恰當運用消元思想把二元問題轉化為一元問題，使運算得到簡化，從而解決問題。

四、通過線段之比，轉換坐標關系求最值

例4（2020屆浙江紹興模擬）如圖4，已知橢圓

上頂點和下頂點，且|BC|《4，T（t，2）為橢圓M外的動點，且T到橢圓M上的點的最近距離為1。

（1）求橢圓M的標準方程;

（2）當t≠0時，設直線TB，TC分別與橢圓M交于E，F兩點，若△TBC的面積是TEF的面積的k倍，求k的最大值。

解析：（1）由于T（0，2）到橢圓上的點的最近距離為2-b=1，所以b=1。

（2）直線TB的方程為y=-x+1，聯立

所以k的最大值為。。

點評：將未知向已知轉化，是一種重要的思想方法。通過變換，把不熟悉的、復雜的問題轉化成熟悉的、簡單的問題，把不規范的問題轉化成規范的甚至模式化的問題。本題是以圓錐曲線與動直線為載體的三角形面積問題，涉及圓錐曲線的標準方程及幾何性質、函數、不等式等基礎知識，通過分析幾何圖形特征，選擇恰當的方法表示三角形面積。當遇到線段長度的關系時，通常轉化為坐標間的關系，簡化運算。

圓錐曲線中的最值與范圍問題是高中常見的問題類型，其解題的關鍵是聯立方程，合理構建模型。概括來說，先根據題設條件，恰當選擇某個與目標密切相關的自變量，并確定目標函數的解析式，在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件等前提下，應用函數的單調性、基本不等式、求導等方法進行計算，從而達到求解圓錐曲線中的最值與范圍問題的目的。

（責任編輯王福華）