直線與圓錐曲線的綜合問題的易錯(cuò)點(diǎn)分析

鐘國城

以直線和圓錐曲線為背景的綜合問題是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，此類問題常與函數(shù)、方程、不等式及向量等知識(shí)交匯，難度較大。大部分同學(xué)在解決此類問題時(shí)普遍存在兩個(gè)方面的困難：一是計(jì)算量較大;二是有許多易錯(cuò)的地方而不小心掉人陷阱。對(duì)于第一個(gè)困難，只要做題時(shí)養(yǎng)成踏實(shí)計(jì)算、“步步為營”的習(xí)慣，并在此基礎(chǔ)上掌握一些解題技巧，就可以克服;對(duì)于第二個(gè)困難，大家在做題時(shí)感覺防不勝防，一不小心又出錯(cuò)了，為了更好地幫助大家克服這個(gè)困難，本文對(duì)此類問題中的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了剖析、歸納與總結(jié)，以期對(duì)大家的備考能有所幫助。

易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略“直線的斜率不存在”的情形

例/（2021屆河南省鄭州市名校高三聯(lián)考節(jié)選）已知橢圓方程為。+y'，-1。設(shè)直線l與圓x+y=2相切，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA，OB分別與圓x+y'=2交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)△AOB，OCOD

S＼-的取值范圍。

的面積分別為SS.求，

剖析：上述解法在假設(shè)直線l的方程為y=kx+m時(shí)，未考慮斜率不存在的情況，解題過程不完整，因此在引入直線方程時(shí)，需對(duì)直線的形態(tài)進(jìn)行分析，對(duì)直線斜率是否存在作必要的說明。

正解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，同錯(cuò)解，S}的取值范圍為（2.，3/27求得s當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=土2。由對(duì)稱性，不妨設(shè)x=2，此時(shí)A（/2，2），B（2，-2），C（1，1），

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略對(duì)判別式的驗(yàn)證

例2（百萬聯(lián)考2021屆高三模擬改編）已知橢圓

設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，原點(diǎn)O到直線DF的距離為，過原點(diǎn)和軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點(diǎn)，且|G1+1印|=4。

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線l過點(diǎn)P（2，1），與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且滿足OP=4PA.PB，求直線l的方程。

錯(cuò)解：（1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十3=1。（過程略）

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓E相切，不符合題意。

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y-1=k（x-2）。

剖析：本題第（2）問中的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，即聯(lián)立直線l與橢圓方程后判別式必須大于0，這是韋達(dá)定理成立的前提。但在求解過程中，一直沒有對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證，因此解題過程不嚴(yán)謹(jǐn)，有可能產(chǎn)生不符合要求的解。

正解：（1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為0S

（2）前面的過程同錯(cuò)解，得到k一土2。因?yàn)橹本€l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，所以對(duì)應(yīng)方程①的△》0，即64k"（2k一1）*-4（4k*+3）（16k8-16k-8》0，即6k+

即y=2。

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0

例3（2021屆河南省焦作市高三模擬節(jié)選）已知點(diǎn)P（4，4）在拋物線C：y=2px（p》0）上，直線l：y=kx+2與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍。

錯(cuò)解：由拋物線C：y'=2p.x過點(diǎn)P（4，4），得p=2，所以拋物線C的方程為y'=4x。

由|y=kx+2，得kx+（4k-4）x+4=0。y'=4x

因?yàn)橹本€l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以△=（4k-4）2-16k-16-32k>0即k《2。

因此k的取值范圍是（-，2）

剖析：上述解法忽略了使用判別式大于0的“隱含”條件k'?0，所以當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，首先要對(duì)系數(shù)進(jìn)行判斷，判別式與韋達(dá)定理的使用均建立在二次項(xiàng)系數(shù)不為0的基礎(chǔ)上。若無法確定系數(shù)的符號(hào)，則需對(duì)系數(shù)進(jìn)行分類討論。

正解：前面的過程同錯(cuò)解，得（k'≠0，解得k《2，且k≠0。故k的（16-32k>0.取值范圍是（-oo.0）U（o.臺(tái)）。

易錯(cuò)點(diǎn)4：忽略變量的取值范圍

例4（2021屆江西省鷹潭市高三模擬）已知橢圓c.+興-=1（a》b》0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)2，M為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)FMF，=60時(shí)，△FMF的面

積為/3，且.26=/3a。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓C內(nèi)的一點(diǎn)（0，l）作斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為k，kg，若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，存在實(shí)數(shù)m，使得k+kz=4mk，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

剖析：上述第（2）問的解答中，在使用l的取值范圍時(shí)，忽略了點(diǎn)（0，l）在橢圓C的內(nèi)部，未得到t的準(zhǔn)確的取值范圍，從而導(dǎo)致m的取值范圍求解錯(cuò)誤。因此，在涉及多變量求取值范圍時(shí)，一定要分析清楚變量之間的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的取值范圍。

正解：（1）略。

易錯(cuò)點(diǎn)5：誤把二級(jí)結(jié)論當(dāng)作充要條件例5（2020年陜西省安康市高三聯(lián)

考改編）設(shè)拋物線C：y'=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k》0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，AB|=8。

（1）求直線l的方程;

（2）求過點(diǎn)A，B且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。

錯(cuò)解：（1）由題意得F（1，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），k》0。

因此直線l的方程為y=x-1。

（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）。因?yàn)樗髨A經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以所求圓的圓心坐標(biāo)為（3，2），半徑為|AB|=4，故所求圓的方程為（x-3）'+（y-2）'=16。

剖析：上述第（2）問誤把拋物線中有關(guān)焦點(diǎn)弦的二級(jí)結(jié)論“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓一定與準(zhǔn)線相切”當(dāng)作充要條件用于解題，從而導(dǎo)致解題思維不嚴(yán)謹(jǐn)，解題過程不完整。通過此題，我們要明確在解決解答題時(shí)，一不能直接使用二級(jí)結(jié)論，若使用的話必須經(jīng)過嚴(yán)格的推理，二不能把結(jié)論與概念、定理混為一談，把結(jié)論當(dāng)充要條件。

正解：（1）同錯(cuò)解，得直線l的方程為y=x-1。

（2）同錯(cuò)解，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）。所以AB的垂直平分線所在直線的方程為y-2=-（x-3），即y=+5。

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（xo，y。），則

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽略橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義

例6（2021屆陜西省延安中學(xué)高三

剖析：上述第（2）問的解答中混淆了由OM_AB得出橢圓上A，M兩點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式中“離心角”之差等于，從而導(dǎo)致求解出錯(cuò)。橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義完全不同，不能簡(jiǎn)單地套用圓的參數(shù)方程的使用方法。對(duì)于此題還是用普通方程來求解比較自然。

（2）過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則|OA|=|OB|。

當(dāng)直線l的斜率存在且k?0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx，代人橢圓方程，解得=

又橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，則OM垂直平分線段AB，故直線OM的方程為y=-k。

總之，高考對(duì)直線與圓錐曲線綜合問題的考查非常全面，難度不小，突出考查同學(xué)們的運(yùn)算能力與綜合分析能力。本文通過總結(jié)直線與圓錐曲線綜合問題中的常見易錯(cuò)點(diǎn)，希望能幫助同學(xué)們?cè)谝院蟮慕忸}中避免落人誤區(qū)，提高答題的速度與準(zhǔn)確率。（責(zé)任編輯王福華）