例談圓錐曲線中的中點和對稱問題

楊金軍

解析幾何是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，直線和圓錐曲線構(gòu)成了解析幾何的核心部分。圓錐曲線中的中點弦問題、對稱問題一直是高考數(shù)學試題中的常考問題之一，這類問題常涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、方程與函數(shù)等重要的數(shù)學知識。縱觀近幾年各地的高考模擬試題和高考真題，我們會發(fā)現(xiàn)這類試題既注重對數(shù)學基礎(chǔ)知識的全面考查，又注重對數(shù)學思想和思維方法的考查，而且.試題綜合性強、題目新穎、靈活多樣，對同學們的解題能力要求比較高。解析幾何是高考數(shù)學的熱點更是難點，所以有“得解幾者得數(shù)學”之說，本文對解幾中的中點弦及對稱問題的求解策略進行探究，為同學們高考助力。

一、中點問題

直線和圓錐曲線相交弦的中點有關(guān)問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題，在高考選擇題、填空題、解答題中時有出現(xiàn)，屬于中檔偏難題型。解決這類問題的常用策略有數(shù)形結(jié)合法、消元法、點差法、公式法等，具體選用哪種方法視問題實際背景而定。

例1（2020年衢麗湖三地市教學質(zhì)量檢測）已知橢圓T：+y=1，拋物線My=2p.x的焦點為F，且動點G（-1，1）在拋物線M的準線上。

（1）當點G在橢圓T上時，求|GF|的值;（2）如圖1，過點G的直線l與橢圓T

交于P，Q兩點，與拋物線M交于A，B兩點，且G是線段PQ的中點，過點F的直線l，交拋物線M于C，D兩點，若AC//BD，求直線l，的斜率k的取值范圍。

評注：由中點坐標表示直線方程是圓錐曲線中最常見的中點弦問題，該類直線方程常用點斜式，關(guān)鍵是斜率的求解。在本題中，對于橢圓的中點弦一般采用“點差法”和“公式法”，使得計算簡便。另外，在求圓錐曲線中變量的取值范圍問題時，通常把該變量表示為另一個變量的函數(shù)解析式，利用函數(shù)思想求解，同學們不妨試試。

例2

（2020年9月全國月考試卷）如圖2，已知拋物線E：y=ax（a》0）內(nèi)有一點P（1，3），過點P的兩條直線l，l分別與拋物線E交于點A，C和B，D，且滿足AaPC，BP=xPD（a>0，1），已知線段AB的中點為M，直線AB的斜率為k。

（1）求證：點M的橫坐標為定值;

（2）如果k=2，點M的縱坐標小于3，求＼PAB的面積的最大值。

解析：（1）設(shè)CD的中點為N，由AP=aPC，BB=xB，得B=DC，而=xP附，這說明AB//DC。

又因為M，N分別是AB，DC的中點，所以M，P，N三點共線。

評注：本題第（1）問起點較高，先要根據(jù)向量共線和相似的性質(zhì)得到M，P，N三點共線，利用拋物線中點弦和中點坐標的關(guān)系式得到M=.xN，從而M，P，N三點的橫坐標相等。第（2）問借助第（1）問的結(jié)論后，三角形的面積表達式就清晰明了，以|PM|為底，橫向距離|.xx-xg|為高，利用韋達定理得到面積S關(guān)于點M的縱坐標l的關(guān)系式。在求解面積的最大值時，方法一利用導數(shù)求解;方法二利用基本不等式求解，這兩種方法都是求解最值問題的常用方法。

二、對稱問題

圓錐曲線中的對稱問題主要分為中心對稱和軸對稱兩種情況，其中中心對稱是關(guān)于點對稱，對于這類題型只需應(yīng)用兩點的中點坐標公式就可以解決;而軸對稱是關(guān)于線對稱，解決這類問題，要善于尋找?guī)缀侮P(guān)系，利用化歸思想，把對稱問題轉(zhuǎn)化為中點問題、斜率問題及直線位置關(guān)系問題，從而實現(xiàn)“從陌

生向熟悉”“從復(fù)雜向簡單”的遷移。

例3（2020年全國模擬）已知橢圓

評注：兩點關(guān)于直線對稱的兩個關(guān)注點：①兩點的連線與直線垂直;②兩點連線的中點一定落在直線上，所以在解題的過程中要緊緊抓住“垂直”和“中點”，通過中點坐標公式和斜率公式，將這兩個關(guān)鍵的幾何條件代數(shù)化，進而用代數(shù)的方法研究幾何問題，體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)。解答第（2）問的關(guān)鍵是如何應(yīng)用對稱關(guān)系表示出變量m的解析式，通過垂直得到斜率關(guān)系，中點是聯(lián)結(jié)點，用點Q的坐標表示m，最后利用橢圓上的點的坐標范圍求得m的取值范圍。

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）如圖4，若直線PA，PB關(guān)于直線PF對稱，求證：直線AB的斜率為定值。

解析：（1）設(shè)橢圓的左焦點為F，則F（-2，0）。由橢圓的定義得2a=|PF1+|PF|=32+2=42，所以a=2/2，6=a2-c=2，所以橢圓C的標準方程。-1。

評注：對于直線關(guān)于直線的對稱問題，要認真審題，透過表象看本質(zhì)。在第（2）問中，直線PA，PB關(guān)于直線PF對稱，而直線PF平行y軸，那么隱含的本質(zhì)問題就是直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)。找到這個關(guān)鍵的隱含條件，整個問題就可迎刃而解。

方法總結(jié)：點關(guān)于直線的對稱問題是點

關(guān)于點的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：①兩點連線與已知直線垂直;②兩點連線的中點在已知直線上。直線關(guān)于直線對稱問題，包含兩種：①兩直線平行;②兩直線相交。在解答題中通常是相交的關(guān)系，則需要我們?nèi)ビ^察直線的位置關(guān)系，一般都是轉(zhuǎn)化為斜率的關(guān)系式。

總之，在圓錐曲線的中點問題和對稱問題中，都滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想，如何把幾何條件準確、合理地轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達式是整個解題的關(guān)鍵。

（責任編輯王福華）