學往深處：基于運算律的小學數學深度學習

摘要：深度學習是熱門的研究話題，具備問題情境性、探索空間性、高階思維性和積極情感性四大特征，有助于降低小學數學運算律的理解難度，推進多元表征學習，促進數學深度理解。運算律教學過程中，首先在導入中建構知識體系，鼓勵學生提出猜想，其次在探究中培養推理能力，啟發學生進行說理;最后在反思中引領回顧總結，拓展學生數學認知。

關鍵詞：深度學習;數學核心素養;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）06B-0067-05

“深度學習”的概念起源于人工神經網絡的研究。學習科學視域中的深度學習更強調學習者對知識的深層加工、深度理解及長期保持，學習者要善于自主建構、遷移應用并在真實情景中解決復雜問題。深度學習落實到小學數學的課堂教學中，應該具有以下特點：一是基于問題情境，學生能夠經歷提出假設并逐步驗證的過程;二是有探索空間，為學生創設一個探索和學習真實發生的時空;三是有高階思維，學習的過程是知識的深度加工的過程;四是有積極情感伴隨，在數學逐步走向深入的同時，學生能夠體會到滿足感和成就感。

“乘法分配律”是一種乘法運算規律，涉及兩種不同級的運算，因為溝通了乘法與加、減法之間的聯系，學生理解起來有一定的難度。從深度學習的視角出發，本課采用了小組合作學習的模式，鼓勵學生用不同方式表征乘法分配律模型背后的算理，實現對知識的深度加工。而學生在經歷發現乘法分配律，用圖形、文字、符號語言描述所發現的規律，最后運用規律聯想拓展認知的結構化學習過程中，他們的數學抽象能力、推理能力都能得到很好的發展，進而實現數學核心素養的發展。

一、在導入中建構知識體系，鼓勵學生提出猜想

數學知識本身是有內在結構的，學生的認知結構也是遵循一定的規律建構的。對學生來說某一節課學習的是單個知識點，但是對教師來說則必須要跳出一節課的單個知識點的桎梏，從知識結構的角度去整體地、全面地看待這個知識點在整個單元，乃至整個數學知識體系中的地位和意義，在導入中建構知識體系，并適時鼓勵學生提出猜想，這樣才能培養學生整體的思維能力和數學眼光。

（一）基于數學知識內在的結構提出合理的猜想

從教材內容的編排來看，乘法分配律是運算律單元教學的最后一個運算規律，也可以看作乘法和加法運算之間的一種勾連。乘法分配律與其他運算律的不同之處就在于，它是兩種不同級的運算之間的規律，其復雜之處在于此，變式多樣的原因也在于此。

因此，教師從縱向的運算律知識結構入手，通過引導學生回憶已經學過的加法和乘法的運算律，并利用課件出示結構圖（如圖1），幫助學生梳理已經學過的運算律，明確這些已有的知識都是只適用于一種運算的規律。

接著，教師提出問題：加法和乘法之間會有什么運算規律呢？引導學生產生猜想：有沒有適用于兩種運算的規律呢？有了猜想，再想辦法研究、驗證，符合數學活動探究的規律。

像這樣從結構導入還能讓學生從一開始就明確乘法分配律與其他運算律的不同，凸顯了區別，防患于未然。

（二）基于學生已有的知識經驗提出合理的猜想

學生是學習的主體，已有的知識經驗會直接影響到他們對新知的學習。早在三年級學習兩、三位數的乘法時，教材已經滲透了乘法分配律的思想（如圖2、圖3）。

“例題3”是結合具體情景引導學生理解兩位數乘兩位數的算理：24×12可以看成是24×10+24×2，即“12個24相加”可以先分別算出“10個24相加的和”及“2個24相加的和”，再把兩個和合起來。

教師教學用書中針對“復習”的第10題后兩組練習提出了具體的教學建議：學生可以“結合乘法的意義對蘊含其中的運算規律有所體會”，即34×21可以看成是“20個34與1個34的和就是21個34相加”，13×29可以看成是“從30個13里去掉1個13，就是29個13相加” [1] 。

三年級的學生可能不知道這種運算規律的具體名稱，但他們會形成這樣一個模糊而感性的概念：當兩個數相乘時，可以把其中一個數拆分以后分別去乘另一個數。因此，當教師提出了14×3+6×3這樣的算式時，學生自然會產生兩種不同的算法：先乘后加或先加后乘。

14×3+6×3 ? ? ? ? ? ?14×3+6×3

=42+18 ? ? ? ? ? ? ?=（14+6）×3

=60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=20×3

=60

前者符合混合運算的運算順序，后者可能只是某些學生的數學直覺。教師捕捉到學生的這種“直覺”，并在接下來的探究中把它用數學的方法解釋清楚、表達出來，進而提煉為數學規律與方法，這樣既順應了學生已有的知識經驗，又激發了學生探究的興趣。

二、在探究中培養推理能力，啟發學生進行說理

數學的發展史從某種意義上來說是依靠推理來完成的，推理能力既是數學核心素養之一，也是人的思維方式之一。一般來說，推理可以分為合情推理和演繹推理兩大類，合情推理是由特殊到一般，演繹推理是由一般到特殊。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“在解決問題的過程中，這兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。”[2]

在小學生的數學學習中，合情推理占了主導地位，這是由小學生的思維特點和學習內容所決定的。合情推理更多地要依靠直觀想象和感性經驗，小學生的思維特點是形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，“這種抽象邏輯思維，在很大程度上仍然與感性經驗相聯系，仍然具有很大成分的具體形象性”[3]。但這并不意味著演繹推理不重要，而是提醒教師在教學中要重視演繹推理的逐步滲透和過渡，使合情推理與演繹推理的綜合使用成為學生有意識的自覺行為。

曹培英教授說過：“啟發學生說理，是培養推理能力初級教學階段最主要的手段與基本途徑。”[4]教師如果有意識地啟發學生說理，把學生的想法呈現出來，通過對比，引導學生理解其內涵，體會到不同表征方式的特征及適用范圍，不僅可以豐富學生的合情推理，還可以引進演繹推理，因為“說理”就是學生演繹的依據。這樣就能幫助學生逐步養成根據不同的情況選擇合適的推理方式的思維習慣和能力，體現出深度學習在培養學生推理能力方面的意義和價值。

在“乘法分配律”一課中，教師首先呈現“14×3+6×3=（14+6）×3”這一等式，提出問題：“兩個不同的式子，計算結果卻相等，你知道其中的道理嗎？把你的想法表達出來。”學生獨立思考后，基于個體的學習經驗和能力，就會出現不同的表達方式，從舉例、畫圖、計算說理等多個角度來進行說理。

一是結合情景說理。史寧中教授曾經說過，任何運算都是在講故事。在學生的思維世界里，與生活情景相結合的具體實例是他們理解抽象的數學概念生動且有效的載體。教師在教學中可以設置情景：明明每天做14朵花，小紅每天做6朵花，兩人一起做了3天，一共做了多少朵花？學生會主動地運用情景和數量關系賦予乘法分配律實際意義，進而推理出等式成立。

二是基于畫圖說理。如圖4，圖中圓的總個數，既可以看成是兩部分合起來的14×3+6×3，也可以看成每行有（14+6）個圓，共3行，用算式表示為（14+6）×3。

畫圖是幾何直觀的表征形式，點子圖、圓圈圖、長方形圖都可以用以形象地表達乘法分配律的幾何意義。

三是通過計算說理。通過計算14×3+6×3=60，（14+6）×3=60，得出因為兩個算式的計算結果都是60，所以等式成立的結論。或結合乘法的意義，14×3表示14個3相加，6×3表示6個3相加，合起來一共有20個3相加。

乘法意義直指乘法分配律的核心，它可以涵蓋所有情況，從本質上完成了對乘法分配律的數學表征：只要符合乘法分配律這樣的結構特征和數字特征的兩個式子，都可以用“幾個幾和幾個幾相加”的意義來解釋為什么兩個不同的式子計算結果是相同的，更具有普適性。

不同的表征方式體現著學生不同的思維方式，從大量計算現象中猜想、歸納出乘法分配律，發展的是學生的合情推理能力;有目標的說理表達滲透了演繹推理的證明思想。兩種思想的融會貫通，可以打通不同方法之間的壁壘，讓學生體會到不同推理方式在發展數學思維上的價值所在。

三、在反思中引領回顧總結，拓展學生數學認知

建構主義學習理論認為“學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的”。乘法分配律從建構運算律的知識結構開始學習，最后還是要回到結構中去，不僅是知識結構，還有數學學習方法、數學思維方式的不斷溝通與聯系，才能使數學學習逐步走向深度。

（一）回顧知識運用，感受新舊知識的聯系

學生對于運用“兩數之和（差）乘一個數等于這兩個數先分別乘同一個數再求和（差）”這一運算規律進行計算是有經驗的，只不過在本節課學習之前并不知道這就叫“乘法分配律”。所以，教師在引導學生學習新知的同時，還可以促使學生感悟新知識和原有經驗之間的關系，適當引導學生回憶：“其實以前我們在學習其他數學知識的時候就用到過乘法分配律了，誰還有印象？”然后出示兩、三位數的乘法筆算過程和長方形周長的兩種計算方式。

學生發現，原來在很早前就已經接觸過乘法分配律了。學生“回過頭看一看”的過程，既有效地溝通了新舊知識之間的聯系，使原本散亂的知識點逐漸變得清晰且具有結構性，又能使原本抽象的運算律的內涵變得豐富、生動起來：它不僅是一個計算的規律，還能夠解釋算理，成為靈活計算的依據，有著廣泛的實際應用價值。

（二）提煉學習方法，形成自主學習的能力

新授結束后，教師通過問題“想一想，我們是怎么研究這一運算規律的？”引導學生梳理出數學知識的研究方法：舉例觀察、比較發現、推理驗證、歸納總結。學生及時對自己在探究過程中獲得的基本活動經驗進行總結和提煉，使原本模糊的、直覺的經驗上升為清晰的、理性的數學思想方法。梳理研究思路是為了實現方法的遷移：如果以后遇到需要探究規律的問題，我們也可以用這樣的思路進行研究。這就為學生形成自主學習的能力奠定基礎。

（三）回歸內容體系，完成規律認知的拓展

回歸最初的猜想“加法和乘法之間會有怎樣的運算規律”，教師通過比較乘法分配律和其他運算律的不同之處，一方面可以檢測學生對于乘法分配律的掌握情況，呼應本節課的開始環節;另一方面也是對于乘法分配律結構模型的再一次鞏固和深化，通過比較乘法分配律和其他運算律的不同，完善運算律的知識結構體系。

教師提出問題“乘法分配律還可以怎樣變化？”，讓基本的數學模型再次“生長”，激發學生深入探索乘法分配律模型適用的范圍，幫助學生進一步拓展對乘法分配律的認識，也為他們將來靈活運用乘法分配律分析和解決各種問題做了知識的儲備，奠定了堅實的基礎。

教師最后布置了一項作業：用今天學到的驗證方法想辦法說明（a-b）×c=a×c-b×c甚至（a+b+c…）×d=a×d+b×d+c×d+…×d一定成立。這樣就能進一步達成認知的拓展抽象，學生能夠在新一輪的說理過程中知其然并知其所以然，從而完成對乘法分配律的完整認知，不僅體會到了知識的來龍去脈，而且領悟了知識背后的數學思想，發展了抽象和推理能力。

總之，把當前要學習的數學知識放進知識體系中，讓學生在探究的過程中充分體驗，在此基礎上進行知識結構的提升，訓練數學語言的表達，能充分發揮學生學的積極性。學厚數學知識，練深數學思維，投入對數學的情感，就能在深度學習中進一步落實數學核心素養的培養。

參考文獻：

[1]南京東方數學教育科學研究所.義務教育教科書·數學教師教學用書（三年級下冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：46.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：7.

[3]朱智賢.兒童心理學[M].北京：人民教育出版社，1981：344.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017：140.

責任編輯：石萍

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“促進深度學習的課程整合設計與實施研究”（B-b/2016/02/61）的階段性成果。

收稿日期：2021-04-12

作者簡介：孟初薇，太倉市實驗小學（江蘇太倉，215400），研究方向為小學數學教育。