都是“經驗”惹的禍

韓冬青

[摘? 要] 為提高教學效率、學習效率，老師和學生都希望把題目歸類，舉一反三，避免無謂的重復，這當然無可厚非，絕大多數情況下確實提高了教學效率和學習效率. 但有時我們歸納得不夠完整，不夠完善，或者不夠嚴謹，甚至會出現錯誤. 文章針對不太完整、不太準確或不太嚴謹的歸納舉了幾個例子，如“SSA”問題、借助平移求面積問題、線段旋轉掃過的面積問題. 經驗會讓我們受益匪淺，也會讓我們固步不前，甚至會讓我們犯經驗主義錯誤.

[關鍵詞] “SSA”;旋轉;平移;轉化;經驗

古語說“經驗大于學問”，可見經驗之重要. 當然，經驗至少可以分為兩類，一類是成功的經驗，另一類是失敗的經驗. 成功的經驗會讓我們少走很多彎路，失敗的經驗則會提醒我們避開那條失敗的路，總之無論是成功的經驗，還是失敗的經驗，都會讓我們受益匪淺. 下面，筆者就數學上常見的幾個問題談談自己的看法.

“SSA”問題

很多學生都知道“SSA”是一個假命題，但對其本質了解得并不清楚，看到“兩邊及其中一邊的對角對應相等”就認為兩個三角形不全等;很多教師知道“SSA”雖然是一個假命題，但在特殊條件下也能成立，卻忽視了“在特殊的圖形關系中，滿足‘SSA的兩個圖形也能全等”這一事實. 教材上為什么給出了那樣的反例？反例是不是要具備特殊的條件？“SSA”有沒有成立的可能？在什么情況下成立？在什么情況下不成立？筆者通過查閱資料和自己的思考，找出了“SSA”成立和不成立的根本原因.

在三角形全等的證明方法中，“SSS”“SAS”“ASA”等都是借助尺規作圖來進行探究的，只要作出來的三角形與原三角形能夠完全重合，便得到了“SSS”“SAS”“ASA”證明全等的基本事實，所以“SSA”是否成立也可以借助尺規作圖來看作出的三角形是不是和原三角形全等. “兩組邊及其中較大邊的對角對應相等的兩個三角形全等. ”“如果兩個三角形滿足最大的角對應相等，那么無論是銳角三角形還是鈍角三角形，‘SSA能說明兩個三角形全等. 當‘SSA中角的對邊大于或等于鄰邊時，‘SSA能證明兩個三角形全等. ”現筆者對上面的命題進行再次探究.

現在對圖1（α<90°）進行分類討論：

（1）若b>a，我們用尺規作圖，作出滿足上述條件的△DEF，我們發現所作的△DEF是唯一的（如圖2），所以此時△DEF與△CBA全等.

（2）若b=a，△ABC是等腰三角形，我們不需要通過尺規作圖，便可根據“SAS”或“ASA”或“AAS”得到這樣的兩個等腰三角形全等.

（3）若b=asinα，即AB⊥AC，此時△ABC是直角三角形，我們容易得到通過尺規作圖作出符合條件的直角三角形唯一（如圖3），所以兩三角形全等.

（4）若asinα

這里，我們不需要再討論已知角為直角或鈍角的情況，因為已知角為直角或者鈍角時，我們都能得到它的對邊比鄰邊長，此時作出的三角形是唯一的，它們和已知三角形一定全等.

綜上可知，在三角形全等的判定中，“SSA”能否證明兩個三角形全等，與已知角的對邊和已知鄰邊的數量關系有關：當已知角的對邊不小于已知鄰邊，或已知角的對邊等于已知鄰邊與已知角的正弦值之積時，“SSA”能判定兩個三角形全等，這和已知角的大小無關. 當已知角為直角或鈍角時，已知角的對邊總是大于已知角的鄰邊，所以“SSA”一定能判定兩個三角形全等，即使已知角為銳角，“SSA”能判定兩個三角形全等的可能性依舊很大，甚至比“SSA”不能判定兩個三角形全等的可能性還要大. 因此筆者想提醒老師和學生，對于可以舉反例的命題，我們還要看到此命題正確的可能性有多大，反例的可能性又有多大，而不僅僅是舉個反例而已.

借助平移求面積問題

有下面一道數學題：分別求出圖6、圖7、圖8空白部分的面積.

對于圖6，所求面積S=（6-2）×（10-2）=32;對于圖7，所求面積S=6×10-6×2-10×2+2×2=32;對于圖8，所求面積S=6×10-6×2-10×2+ × =31.

通過上面的計算我們會發現，圖7中空白部分的面積和圖6中空白部分的面積是一樣的，也就是說圖7中空白部分的面積可以轉化為圖6中空白部分的面積來計算，但是圖8中空白部分的面積卻和圖6中空白部分的面積不相等，也就是說圖8中空白部分的面積無法轉化為圖6中空白部分的面積來計算. 圖8不能轉化為圖6的根本原因是什么呢？根本原因是兩個陰影重合部分（矩形）的面積不相等. 那是不是所有類似圖8的圖形都不能轉化為圖6來計算呢？是不是所有類似圖8的空白部分的面積都比圖6空白部分的面積小呢？下面我們逐一探究.

（1）請用含a，b，x的式子表示圖9中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通過平移將圖9轉化為圖10，從而得S=（a-x）b=ab-bx.

（2）請用含a，b，x的式子表示圖11中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通過平移以及同底等高的平行四邊形與矩形的面積相等將圖11轉化為圖12，從而得S=（a-x）b =ab-bx.

（3）請用含a，b，x的式子表示圖13中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通過平移將圖13轉化為圖14，從而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（4）請用含a，b，x的式子表示圖15中空白部分的面積S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通過平移以及同底等高的平行四邊形與矩形的面積相等將圖15轉化為圖16，從而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（5）請用含a，b，x的式子表示圖17中空白部分的面積S.

答案：S=ab-ax-bx+S .

問題？搖 圖17中空白部分的面積能否轉化為圖18中空白部分的面積？

根據前面的經驗，我們發現圖17中兩個平行四邊形（陰影部分）的面積和等于圖18中兩個大矩形（陰影部分）的面積和，所以圖17中空白部分的面積應該和圖18中空白部分的面積相等. 那么事實又是怎樣的呢？我們不難算出圖18中空白部分的面積S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2，但圖17中空白部分的面積又該如何表示呢？

由圖19易證重合部分是平行四邊形，根據平行四邊形的面積計算公式，可得（α+β≠90°）S = （此處需借助三角函數知識完成）. 當 =1時，如α=90°或β=90°時，S =x2，此時圖17中空白部分的面積等于圖18中空白部分的面積，可以把圖17轉化為圖18來解決;當 >1時，如α=60°，β=60°時，S >x2，此時圖17中空白部分的面積不等于圖18中空白部分的面積，不可以把圖17轉化為圖18來解決;當 <1時，如α=30°，β=120°時，S

綜上可知，遇到圖17這樣的問題時，我們可以這樣做：

①先算出圖17中兩個大平行四邊形（陰影部分）的面積，再用整個圖形的面積減去兩個大平行四邊形的面積和，所得的差加上兩個大平行四邊形（陰影部分）重合部分的面積，從而求得空白部分的面積，即（圖17中）S空白=S整個矩形-S陰影大平行四邊形1-S陰影大平行四邊形2+S兩陰影重合部分.

②如果想將圖17中的空白部分轉化成矩形來計算，務必謹慎，一定要看其是否具備轉化條件. 不能認為所有這種類型的問題都可以轉化為圖18來計算.

另外，筆者還有一個猜想：如果α，β均為銳角，或α，β均為鈍角，有S > S ;如果α為銳角且β為鈍角，或α為鈍角且β為銳角，有S

一條線段繞一個點旋轉掃過

的面積問題

這里只探究旋轉中心不在已知線段所在直線上時，旋轉過程中掃過的圖形面積問題.

問題？搖 如圖20，已知線段AB繞點O順時針旋轉α°（α°<180°），即線段AB旋轉至線段CD所在的位置，求線段AB在旋轉過程中掃過的面積S.

常見的解決辦法：S=S +S -（S +S ）=S -S? .

那么，是不是所有類似這樣的問題都可以這樣解決呢？能用這種方法解決的問題有沒有一些隱含條件呢？

不知大家是否注意到，圖20中的∠OAB是鈍角（OB>OA），如果∠OBA是鈍角（OA>OB），那么上述問題的結果就會變成S=S -S . 如果∠OAB（或∠OBA）是直角或者是銳角，結論是否會發生變化呢？我們來逐一研究.

（1）如果∠OAB=90°，如圖21，此時S=S +S -（S +S ）=S -S .這與∠OAB為鈍角時的求解方法相同;如果∠OBA=90°，則S=S -S .

（2）若∠OAB和∠OBA都是銳角，且∠OAB>∠OBA 時，如圖22，（∠OAB<∠OBA類似）解決方法是否還和上面的方法一樣呢？我們發現，這種情況不再和上述兩種情況一樣了，那么出現這種現象的原因是什么呢？

在這種情況下，你會發現線段AB掃過的圖形是圖22中的陰影部分，那是因為，還有一條更短的線段OC，即△OAB的邊AB上的高，點C在線段AB旋轉的過程中的運動軌跡是一個更小的圓的一部分，所以線段AB在旋轉過程中掃過的面積S應該這樣計算：

S=S -S +S =S -S +S -S .

（3）若∠OAB和∠OBA都是銳角，且∠OAB=∠OBA ，即OA=OB時，如圖23，此時S=S -S +S =S -S +S -S .

綜上可知，一條線段繞一個點旋轉（點與線段不在同一條直線上）一定角度（<180°），旋轉過程中線段掃過的圖形面積與兩個角的大小有關，這兩個角為這條線段的兩個端點與旋轉中心所連線段同這條線段所形成的兩個夾角. 于是這個問題可分為兩大類：

第一類，當這兩個夾角中有一個角為鈍角或直角時，這條線段在旋轉過程中掃過圖形的面積就是兩個扇形面積之差（大扇形-小扇形）;

第二類，當這兩個夾角均為銳角時，就不再是兩個扇形的面積之差了.

當然對于第二類問題，很多同學理解起來會感到比較吃力，因此絕大多數考試都會考查第一種情況，但是作為教師，最好能留意到這種情況，在總結此類問題時，不要一刀切，即不要簡單地總結為兩個扇形的面積之差.

總結

筆者首先對“SSA”何時成立和何時不成立分別進行了細致的分類，找出了“SSA”成立和不成立的源頭：與已知角的對邊和鄰邊的大小關系有關，與已知三角形的形狀沒有直接的關系，與已知角的大小也沒有必然的關系;其次，對于利用平移求面積問題，要注意在什么情況下可以通過平移對圖形的面積進行轉化，什么情況下不能通過平移解決問題，即不是所有這類問題都可以通過平移來解決;最后，求一條線段繞一個點（點和線段不在同一條直線上）旋轉一定角度（暫時先探究旋轉角<180°）掃過的面積時，不能一刀切地總結為兩個扇形面積之差，其實結論和這條線段的兩個端點與旋轉中心所連線段同這條線段形成的兩個夾角的大小有關，要分情況而定.

筆者寫這篇文章的目的之一，是希望今后我們在總結某類數學問題的求解方法時，不能以偏概全，草草地總結，應嚴謹，以免給學生的學習帶來困擾或阻礙（雖然表面上看起來是捷徑）. 所以我們一定不能犯經驗主義錯誤. 經驗本無錯，總結需謹慎.

本文仍有很多不足之處，敬請大家批評指正. 在此，特別感謝筆者所在學校數學組的同事在日常教研活動中注意到以上幾個問題，讓筆者有機會接觸這樣的問題，感謝數學組的王瑞同事，感謝阜陽四中的李得意老師前期參與線段繞點旋轉求面積的畫圖協作，感謝阜陽市數學教研員、阜陽市教育科學研究所副所長王志剛的督促，使此文成形.