立足數學本質 凸顯數學價值

李靜

摘? ?要：坐標系的建立在數學發展史上有著開創性意義，用代數方式研究圖形的運動和變化，將數與形完美地結合在一起。小學數學“位置”教學是平面直角、極坐標系內容的初步滲透，這部分內容是培養學生數學抽象、直觀想象、模型思想等數學素養的很好素材。教師應立足數學本質，設計數學活動，引導學生經歷坐標系模型的抽象過程，感受其價值，進而發展學生數學素養。

關鍵詞：小學數學;坐標系;數學抽象;直觀想象;模型思想

中圖分類號：G623.5? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2021）16-0056-05

平面直角（極）坐標系的初步認識是21世紀小學數學課程改革的新增內容，是“圖形與位置”課程內容的組成部分。各版本小學數學教材這部分內容的編排都創設了諸如教室座位、海上船只的位置等現實情境。教學時，教師們也多基于各種生活情境，引導學生建立規則（參照系）后，用數表示位置。在生活化的情境中進行學習雖然貼近學生的認知，但是如果囿于現實情境，就“位置”講“位置”也會淡化坐標系的“數學味”。那么，如何立足坐標系的本質，感悟“位置”教學內容的數學價值，引發學生的數學思考呢？下面就從數學史的發展，課程內的安排和教學實施幾個方面進行剖析。

一、圖形的量化研究——從數學發展史看坐標系產生的意義

在相當長的數學發展史中，算數一直是幾何的附庸。開創圖形代數研究歷史的是十七世紀法國數學家笛卡爾和費馬，他們提出的坐標系模型將數與圖形完美的結合在一起，開啟了解析幾何的現代數學研究。笛卡爾更多的精力放在了哲學方面，他在《方法論》中闡述了這樣的觀點：至于古代人的幾何和近代人的代數，都是只研究非常抽象、看起來毫無用處的題材，前者始終局限于考察圖形，直到把想象力累得疲憊不堪后才運用理解力;后者則一味地用規則和數字來約束，使人感覺晦澀枯燥、頭昏腦脹，卻得不到心靈的學問。正因為如此，我們才要尋找另一種方法，包含這些學問的長處，而沒有他們的短處。

笛卡爾在《方法論》的附錄《幾何學》中實踐的想法就是解析幾何的方法。解析幾何的基本方法是引進“坐標”，即對一個幾何對象附上或標上數，從而完全刻畫了這個對象。我們知道，研究物體的運動是需要參照系的，從這個意義上說，刻畫圖形的運動軌跡也必須借助參照系。解析幾何的核心思想是建立一個參照系，借助參照系通過數量分析的方法研究幾何圖形及其運動變化。平面直角坐標刻畫平面上任意一點的方法：在平面上做一對互相垂直的線，作為每一個點所參照的x軸和y軸，把這兩條直線看成是有方向的數軸并且用同樣的單位來度量;另外，用一條射線和一個角度也可以作為參照系，這就是極坐標系，牛頓和伯努利最早使用了極坐標系。同樣是描述平面上點的位置，直角坐標系建立的是橫縱坐標的方形網格，極坐標系建立的是旋轉角的邊與距離為半徑的同心圓的網格。平面坐標系包括;平面直角坐標系、平面斜角坐標系、仿射坐標系、極坐標系等。利用坐標系不僅能推導出幾何圖形的代數表達式，還能夠幫助我們利用幾何直觀來研究代數問題。

二、感悟坐標系思想——小學數學“位置”課程內容安排

小學數學課程分兩部分來教學坐標系的初步認識，分別是平面直角坐標系和極坐標系的初步認識。基于小學生的年齡特點和認識水平，兩部分內容在各版本教材中均創設了學生熟悉的生活情境。平面直角坐標系的初步認識一般都基于教室的座位、操場上的隊列或電影院的座位等場景，在統一的規則下，用橫、縱兩個坐標參數，確定人（或物）的位置。極坐標系在生活中一般應用于導航，各版本教材也多采用公園場館位置或海上船只位置等情境，用相對于參照點的距離（極徑）和相對于某方向的旋轉角度（極角）來確定位置。

雖然在現實情境中教學坐標系的內容，但是教學“確定位置”的目標并不止于會用數對等表示某個具體位置，更重要的是讓學生體會這種“表示”的價值。《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課標》）中給出了數對確定位置的實施建議：小青坐在教室的第3行第4列，請用數對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規則下，小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示？需要先在方格紙上標明正整數刻度，希望學生能夠把握數對與方格紙上點的對應關系，并且知道不同數對之間可以進行比較。這個過程有利于學生將來直觀理解直角坐標系。教學用數對在方格紙上表示點的位置要引導學生經歷空間結構化、抽象化的過程，有效地溝通初中階段的直角坐標系內容，感知坐標系的表示方法及思想。那么，在教學中如何就這些內容更好的體現“坐標系”蘊含的數學本質和價值，發展學生的數學素養呢？下面結合“用數對確定位置”一課的教學實踐談一談。

三、凸顯數學本質——小學數學“用數對確定位置”教學實踐

（一）擺脫生活情境的干擾，感悟數學規定的“合理性”

在生活中，人們用行列描述位置時并沒有統一規律，往往因為現實情境不同而呈現多種結果。筆者曾多次在不同場合執教“用數對確定位置”一課。在情境引入環節筆者讓學生描述自己在教室的位置。多數情況學生都會用“第幾列，第幾位”等語言描述，也就是先確定縱列，再確定橫行來描述位置。但是有一次，幾個學生無一例外的都表述為“第幾排（或行），第幾個”，也就是先確定在第幾橫行再確定在第幾縱列。同樣是描述位置，這個班的同學為什么會與其他班級情況不同？上完課筆者靜下心來觀察教室座位擺放才恍然大悟：這節課是在一個會議室上的，座位擺放類似于電影院的座椅排列方式，學生在確定位置時先找到在第幾排（行），再確定在第幾個（列）。而學生平時上課的教室桌椅都是按列擺放的。

在方格紙上用數對確定位置時，學生常出現的問題是習慣于先確定行再確定列（先確定縱坐標，再確定橫坐標），這是學生閱讀習慣“干擾”數學學習的結果。其實，我們并不用過分糾結數對的順序在生活中的合理性，數對表示位置應關注的本質不在兩個數誰先誰后的問題，而是一定要用兩個數的信息，才能確定一個人的位置，即二維平面上點的位置要用兩個參數來唯一的確定。因此在教學時筆者引導學生思考（圖1）：

同學們對自己在教室的位置的描述有什么共同點？

曹培英老師說“當我們覺得數學的規定與學生的認知有沖突時，十有八九是我們沒有真正理解數學。”數對表示的順序有其數學的結構性和發展性。利用數軸（數軸是一維空間的參照系）可以確定一維空間中一個點的位置，在二維空間中需要再取一個維度的參數才能確定點的位置。故而，由數軸發展為平面直角坐標系，便有了先確定橫坐標（列），再確定縱坐標（行）的規定。教學時教師可以設置這樣的教學環節，引導學生感悟這種數學規定的“合理性”：

師：一年級的時候我們就曾經學習過用數表示位置。當同學排成一行時，我們可以用1，2，3，4……這樣的一個數表示一個同學的位置（圖2）。

師：當同學們排成幾行時，我們就不能用一個數確定一個人的位置了，因為一個數對應了這樣的一列同學。這時，我們要用同學所在列的信息，和行的信息共同確定一個人的位置（圖3）。

在此基礎上，三維空間需要再增加z軸上的坐標才能確定點的位置。教師可以引導學生觀察生活進行思考：“同學們，你們去過菜鳥驛站取快件嗎？你有沒有注意過，我們的取件碼是三個數。為什么菜鳥驛站的取件碼需要三個數呢？”

（二）經歷描述位置不確定的過程，體會參照系的價值

生活中位置的描述因觀察視角的不同而具有相對性，因而要實現位置表示的唯一確定，一定要建立確定的參照系。用數對表示位置即建立數對與點之間一一對應的關系，前提也是建立唯一確定的參照系。教學中，教師要引導學生經歷由在不同參照系描述位置到確定的參照系描述位置的過程，感受參照系的價值，掌握參照系的規則。

師：剛剛我們對自己在教室中位置的描述都用到了兩個數，在數學上我們能不能用這樣的兩個數來表示位置呢？為了研究的方便我們請來了明明和他的同學。（圖4）明明在這個班的位置可以用這樣的一對數表示（4，2）。猜一猜哪個是明明？

學生在白板上勾畫出明明的位置，并說明自己是怎樣判斷的（可以畫出4個）。

師：這個班有4個明明！（生笑）你們找錯了吧。是你們找錯了還是我沒說清楚啊？

師：我要說清楚什么條件你們就能準確的找到明明？（哪個數表示行，哪個數表示列，行和列按怎樣的方向數）

以上的教學活動讓學生經歷了從不同的規則下描述位置不確定的“尷尬”，進而體會到要描述大家可交流的位置信息，就要建立唯一確定的坐標系。即確定原點和正方向及單位長度（由于小學階段只涉及正整數，所以坐標系只限于第一象限，并且也不用考慮單位）。筆者在教學時設計了一個數學活動，讓學生通過推理掌握規則，發展推理能力。

師：這個同學的位置可以用數對（2，2）表示（圖5），通過這個數對你能找到明明（4，2）的位置并說出寫數對的規則嗎？

（三） 經歷由座位圖到坐標系的抽象過程，體會模型思想

數學是對客觀現象抽象概括后形成的科學語言和工具，因此數學教學不能只停留在生活場景中，而是要將這些生活現象進一步抽象概括生成數學結構，并解釋生活。教學中，在用數對描述教室中的位置后，教師還要借助信息技術手段，引導學生經歷坐標系抽象、建構的過程：將列和行對應橫縱坐標，將學生座位抽象成點。形成坐標系模型后，再引導學生繼續思考，還有哪些生活場景可以用此模型解釋。

師：如果把圖3中的同學變成一個個的點，你還能用數對表示這些點的位置嗎（圖6）？用數對表示點A、B、C的位置，D點和A、B、C組成一個長方形，D點的位置用哪個數對表示？

師：這一個個點可能是坐在教室的同學，還可能是中藥鋪中的一個個藥箱（圖7），還可能是公園中一個個的場館（圖8），還可能是幾何圖形中的點（圖9）。你想想，這一個個點還可能是什么……

建立模型思想是學生體會和理解數學與外部世界的聯系，而且也是實現上述目的的基本途徑。教師要設計數學活動，引導學生經歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的建構數學模型的過程。

（四）用數對描述圖形的運動變化，體會數形結合的思想

坐標系不僅限于表示點的位置，更本質的在于描述幾何對象的性質和運動，尤其是描述函數圖像。囿于小學生的知識儲備和思維水平，教學中不宜過多滲透函數知識。但是，就位置講位置未免又將富含“數學味”的內容教成了“白開水”，錯失了感受解析幾何數形結合思想精髓的良機。因此，教師可以設計一些適于學生年齡特點的有趣的數學活動，引導學生感悟坐標系在表示圖形運動和性質上的優勢和特點，感悟解析幾何數與形完美結合的妙處。

師：請位置為（3，1）（3，2）……（3，6）的同學站起來。我叫起的同學組成了什么圖形？

師：誰能像我這樣用數對叫起幾個同學組成一個幾何圖形？

在此基礎上，教師還可以引入含有字母的數對，讓學生想象圖形。如：想象（3，x）（x，x）等組成的圖形。還可以在抽象的坐標系設計一些幾何圖形的位置及變化的練習題目。

如圖（圖10），三角形ABC為直角三角形，則C點的位置用數對表示為（? ? ? ? ）。

以上數學活動可以讓固定的點的位置“動起來”，學生在頭腦中將圖形與數之間進行互相轉換，發展直觀想象能力，感悟解析幾何的本質。

總之，教師要深入挖掘蘊含于“坐標系”內容的數學本質，并基于學生的認知水平進行教學，引導學生在數學活動過程中發展數學素養，體會數學學習的價值。

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