對稱性在高中數(shù)學解題中的應用

孫林

[摘? ?要]利用對稱性解題是一種重要的解題策略.高中數(shù)學引入了諸多實踐案例驗證對稱性對提高解題速度的作用，教師應鼓勵學生掌握對稱性解題思路.

[關(guān)鍵詞]對稱性;高中數(shù)學;解題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0023-02

利用對稱性解題，不僅能快速梳理解題思路，還可增強學生的解題能力.

一、對稱美的表現(xiàn)

（一）楊輝三角的對稱美

1? ?1

1? ?2? ?1

1? ?3? ?3? ?1

1? ?4? ?6? ?4? ?1

1? ?5? ?10? 10? ?5? 1

1? ?6? ?15? 20? 15? 6? ?1

…………

（二）公式的對稱美

很多數(shù)學公式中的字母具有對稱關(guān)系.例如完全平方公式、立方和公式：

[a+b2=a2+2ab+b2]，

[a3+b3=a+ba2-ab+b2].

在公式中，交換字母[a]和[b]，公式本身沒有發(fā)生變化.

（三）圖形的對稱美

對稱的幾何圖形有很多，比如平面中的等腰三角形、等腰梯形、圓、橢圓等，它們有些是軸對稱圖形，有些是中心對稱圖形.在空間中，球就是一個高度對稱的幾何體，還有正多面體，如圓臺、圓錐等.

二、對稱性在高中數(shù)學中的應用

（一）對稱性在幾何中的應用

如果我們能將球、圓、雙曲線、橢圓、拋物線等的直觀對稱性應用到待解決的問題中去，就可以把陌生的、困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、容易的問題，從而實現(xiàn)化難為易.

1.解決平面幾何問題

[例1]如圖1，A、B兩點是雙曲線[y=kx（k<0）]和直線[y=kx（k<0）]相互交匯的點，過A點，在y軸上作一條垂直線AC，并設(shè)交點為C，求[△ABC]的面積.

解：畫出反比例函數(shù)圖像，得到以原點為中心對稱曲線，再畫直線[y=kx]，使之過原點并與雙曲線相交，得到A、B兩點.基于反比例函數(shù)的對稱性，A、B兩點必然對稱，故得到[OA=OB]，此時[S△AOC=S△BOC].

假設(shè)A的坐標是（a，b），則直線[AC=a] ，[OC=b]，

則[S△AOC= AC×OC÷2=ab2]，所以[S△ABC=ab].

求解該題時，若只關(guān)注交點，求解過程便會變得復雜.若能從雙曲線的中心對稱性出發(fā)尋找突破口，答案便顯而易見了.

2.解決交點坐標問題

[例 2]取反比例函數(shù)[y=bx（b≠0）（ab>0）]與正比例函數(shù)[y=ax（a≠0）]，畫出其函數(shù)圖像.設(shè)交匯點為A、B，其中A點的坐標是（[6]，-2），求B點坐標值.

分析：求B點坐標時，不少學生都會選擇將A點坐標（[6]，-2）直接代入正反函數(shù)解析式，得到a、b值，再創(chuàng)建方程組計算B點坐標值，但這種方法需進行大量的計算.若根據(jù)函數(shù)對稱性，則B點坐標值可較快得出.

解：在坐標軸上畫出正比例函數(shù)[y=ax]圖像、反比例函數(shù)[y=bx]圖像，得到兩圖像均具有原點對稱特征，故而其交匯點A、B亦是原點對稱.由此得B點坐標值為（-[6]，2）.

3.解決最值問題

[例3]已知M（3，5），在y軸取點Q，再在直線[l]：[x-2y+2=0]上取點P，三點連線形成[△MPQ]，求該三角形的最小周長.

分析：先按題意作圖，找到點M，以直線l為中線，找到對稱點[M1].同理，以y軸為中線，找到M的對稱點[M2]，連線[M1M2]，與直線l交匯于P點，與y軸交匯于Q點.根據(jù)軸對稱特性，結(jié)合平面幾何形成條件可知此時[△MPQ]周長處于最小值.

解：如圖2，以直線l為中線，找到[M（3， 5）]的對稱點[M1（5， 1）].同理，以y軸為中線，找到對稱點[M2（-3， 5）].連接M1M2，得到x+2y-7=0.

令[x=0]，直線 M1M2恰好和y軸交匯于點[Q0， 72 ].

聯(lián)立方程組[x+2y-7=0，x-2y+2=0，]得到P坐標[52， 94 ].

點[P52， 94]、[Q0， 72]即為所求.

4.解決參數(shù)范圍問題

從圖像對稱性切入，找到輔助變數(shù)，即參數(shù)，再將待求解或者待證明的關(guān)系式轉(zhuǎn)變成參數(shù)關(guān)系式，計算各數(shù)，去除參數(shù)得解.

[例4]如果拋物線[y=ax2-1]和直線[x+y=0]相互交匯的點恰好對稱，求解實數(shù)[a]的取值范圍.

解：關(guān)于直線對稱，則得到該點的對稱點[A（-y0，] [-x0） ].由對稱性可知，該點亦位于[y=ax2-1].

則[y0=ax02-1， ①-x0=a（-y0）2-1， ②]一定存在兩組解，

①-②得

[y0+x0=a（x02-y02）]? 一定有兩個相異的解，

∵[y0+x0≠0]，

∴[a（x0-y0）=1]有解，

從而有[a[x0-（ax02-1）]=1]有兩個不等的實數(shù)解，

即[a2x02-ax0-a+1=0]有兩個不等的實數(shù)解，

∴[Δ=（-a）2-4a2（-a+1）>0]，

∵ [a≠0]，

∴ [a>34].

運用對稱性來分析，避免了復雜的分析，從而使解題的思路更清晰，同時也簡化了解題步驟，提高解題速度.

（二）對稱在基本不等式中的運用

[例5]（1）若[x， y>0]，且[x+y=1]，則[x+1xy+1y]的最小值為? ? ? ? ? ? .

（2）已知正數(shù)[a， b， c]滿足[a+b+c=1]，則[2a+1+2b+1+2c+1]的最大值為? ? ? ? ? ? .

分析：第（1）小題，如果直接用基本不等式，得到

[x+1xy+1y≥2x?1x?2y?1y=4].

答案是錯誤的.細心的學生會發(fā)現(xiàn)不等式成立的條件是[x=y=1].顯然與已知條件[x+y=1]矛盾.那本題應該如何解答呢？

解：（1）利用基本不等式、對勾函數(shù)解題.

[x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+y2+x2xy=xy+1xy+（x+y）2-2xyxy=xy+2xy-2.]

又[∵xy≤x+y22=14]，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，當[xy=14]時，

[x+1xy+1y=xy+1xy-2≥14+214-2=254].

此處，用到基本不等式，當且僅當[x=y=12]時，等號成立.即當[x=y=12]時，[x+1xy+1y]有最小值[254].但是，如果一道填空題就花費大量的時間像做解答題一樣來解，得不償失.考慮到本題中交換[x]，[y]兩個字母，題目并沒有任何變化，從而它們是對稱的，故當[x=y=12]時，[x+1xy+1y]有最小值[254].

第（2）小題，同樣，當[a=b=c=13]時，[2a+1+2b+1+2c+1]有最大值[33].

（三）對稱在概率中的運用

[例6]某企業(yè)放假3天，由員工甲、乙、丙輪流值班，各值班1天.甲值班時間早于乙的概率為? ? ? ? ? ? .

解析：此題為古典概型.求解前，可對員工甲、乙、丙進行排序，得到等可能的6種排序.其中，甲值班時間早于乙的排序有3種，所以得到概率為[36=12].從甲和乙的事件地位來看，可知甲在乙前、乙在甲前的概率一致，所以就值班排序整體而言，兩者情形的概率均是[12].

（責任編輯 黃桂堅）