關注結構建立 促進思維生長

卞航萍

【摘? ?要】復習不是簡單的重復學習，總復習更需要關注學生知識結構的建立，促進學生思維的生長。為此，教師需要對小學階段相關內容的教材進行整體梳理，對學生的學情進行細致分析，進而有針對性地進行教學設計。圍繞“立體圖形體積”總復習，對教材進行重新組合，先幫助學生整體溝通直柱體體積之間的關系，再集中呈現圖形的運動變化過程，以使學生形成知識結構，促進學生思維發展。

【關鍵詞】立體圖形體積;復習;溝通;圖形變化

復習不是簡單的重復學習，總復習更需要關注學生知識結構的建立，促進學生思維的生長?！傲Ⅲw圖形的體積”是小學幾何教學中的重要內容，圍繞這一內容進行總復習需要在梳理教材、分析學情的基礎上，有針對性地展開。

一、教材梳理

統觀教材（見圖1），“空間與圖形”的相關知識點被有層次、有梯度地分配到各個學段。整體來講，教材編寫遵循由簡單到復雜、先整體再細化的基本原則。

學生需要先整體認識各類圖形，能夠分辨各種圖形的樣子;然后逐步學習從特征的角度認識圖形;接著理解點、線、面、體經過“運動變化”，可以產生豐富的圖形變換;理解體體交于面、面面交于線、線線交于點，由此形成多姿多彩的世界，等等。對各學段相關內容進行梳理如下。

通過梳理，教師很容易理解教材編寫的邏輯序。但學生的學習是散點式進行的，對于多數學生來講，他們很難自發地將這些點狀的知識聯結起來，形成知識網。因此，總復習階段需要做的最重要的事情不是將學過的知識進行簡單的復習，而是要從聯系的角度幫助學生進行知識梳理，搭建知識結構框架，讓學生能夠將散點式的知識點結成網，連成片。

二、學情分析

學生經過六年的學習，具有了將所學知識進行溝通聯系的能力，能夠深入理解圖形與圖形，圖形內部各組成要素之間的關系。但實際教學中發現，很多學生的理解停留在形式化階段，主要表現在以下兩個方面。

（一）對計算公式形式化運用，沒有真正理解

通過對學生問題解決過程的分析，可以了解學生對知識的理解程度。以“求圖中長方體的體積”（如圖2）這道題為例，對127名學生的解答情況進行了數據梳理（如表1）。

從表1呈現的數據中可以看出，只有不到一半的學生采用了“底面積乘高”的方法直接求出該立方體的體積。有20.47%的學生采用了更加“復雜”的方法。因為長方體的體積公式是“長×寬×高”，而題目給的數據中只有底面的“長和寬”，因此需要根據給出的一個側面長方形的面積求出高，再根據公式進行解答。這是典型的“公式化”表現。表1中顯示有22.05%的學生犯了“典型錯誤1”，出錯的原因也是源于體積公式的束縛，未正確辨別24cm2是長方體右側長方形的面積，這說明學生對直柱體體積通用公式為什么是“底面積×高”并沒有深刻理解。

（二）對問題解決淺表性思考，缺少深入分析

通過分析學生問題解決的過程，可以部分看到學生思考的痕跡，了解學生的思維水平。同樣以兩道相關題目為例。

題1：高為5cm的圓柱，被橫切成兩個小圓柱后，表面積增加了20cm2，原來圓柱的體積是（? ? ）cm3。

題2：（見圖3）一個圓柱被截去5cm，圓柱的表面積減少了31.4cm2。原來圓柱的體積是（? ? ?）cm3。

測試中發現，127名學生中，能夠明確找到解題關鍵并順利解決問題的，題1有83人，占總人數的65.35%，題2有57人，占總人數的44.88%。通過對學生的錯例進行分析，發現題1產生錯誤的原因主要是學生沒有理解“表面積增加了20cm2”指的就是兩個底面積;題2產生錯誤的原因則是學生沒有理解“圓柱的表面積減少了31.4cm2 ”指的就是減少了高為5cm的那段圓柱的側面積。這兩道題的難度并不大，但學生解決問題時停留在淺表性思考上，對題目缺少深入分析。

以上分析提醒教師，學生在立體幾何學習過程中積累的活動經驗不足，空間觀念薄弱，在解決問題的過程中更多的是單純機械地套用公式。這種憑借套用公式解決問題的思維方式會對他們今后的數學學習產生嚴重的負面影響。

因此，教師需要思考如何在六年級的總復習時引導學生深入理解立體圖形體積的概念，拓展概念外延，提升學生的空間觀念，培養他們舉一反三的能力，并圍繞此展開教學實踐。

三、教學實踐

在審視學情、教材與課堂的基礎上，筆者整合設計了“立體圖形復習與整理”（共2課時）的教學架構并進行了教學嘗試。

（一）設計思考

1.尊重認知思維

學生在之前的數學學習過程中積累了大量的立體圖形學習與練習的經驗，教學中練習的“量”應減少，“趣”應提高。教師可從“一張長方形紙”入手，借用一個核心問題，勾連起立體圖形，以此作為學生復習的思維起點。

2.立足知識結構

立足長方體、正方體、圓柱、圓錐這四個基本立體圖形知識的關聯度，將學習內容進行重組、調整（見表2），讓學生在“圓柱”的承接上，能多角度、多維度地進行深入復習。

（二）課堂教學

【課時1】整體溝通直柱體體積之間的關系

布魯納認為“學習者在一定的問題情境中，經歷對學習材料的親身體驗和發展過程，才是對學習者最有價值的東西”。課時1的教學圍繞“長方體、正方體和圓柱的再復習”，著眼于平面與立體的密切關系，挖掘知識的深度，通過“蜂巢”這一研究媒介，設計“導學單”，目的在于溝通直柱體體積之間的關系。

環節一：呈現核心問題，引導探秘“體積”

（1）計算感知：圖形的側面積相同，體積不同。

①教師引領學生復習正方體、長方體、圓柱的體積計算方法。

②通過核心問題“計算這些圖形的體積，有什么相同之處”，引導學生主動將知識進行溝通，進而發現：正方體、長方體、圓柱體積的計算方法，可以統一為V=S底h。

（2）類比推理：計算新圖形的體積，探究直柱體體積計算方式。

①教師引導：正方體、長方體、圓柱體積的計算方法都可以用底面積乘高計算，那么猜猜看，三角形體、六邊形體、愛心形體（學生創造的叫法）等立體圖形的體積怎么算呢？為什么這么算？

②學生分組交流、探索，溝通，發現正方體、長方體、圓柱與三角形體、六邊形體、愛心形體等圖形的特征聯系，揭示“直柱體”定義及體積計算方法。

③請學生分組創造新的直柱體圖形，并計算它們的體積。

（3）小結：計算直柱體體積時，如果底面積相同，高也相同，體積的大小一定相同。

環節二：拓展應用，計算蜂巢容積

（1）教師用課件介紹蜂巢結構（如圖4）。

（2）學生合作計算蜂巢容積。

古語有云“學起于思，思起于疑”。學生不缺乏提問的啟動力，只是缺乏正確的引導和空間的給予。課時1中，一句“計算這些圖形的體積，有什么相同之處”，在課堂上瞬間泛起漣漪。在后繼學習中，學生有問自創立體圖形的體積是怎么計算的，有找體積最大的為何物的，也有找體積大小與什么因素有直接關系的。給學生提問的空間，有助于他們主動地從聯系的角度思考相關知識?！安虏驴?，三角形體、六邊形體、愛心形體（學生創造的叫法）等立體圖形的體積怎么算呢？為什么這么算？”該過程旨在讓學生通過猜想、驗證、體會、思辨、推理等活動，來體會V=Sh這個適用于所有直柱體體積計算的公式。這個過程無形地運用了類比推理，既鞏固了圖形特征，又培養了學生的空間觀念。

【課時2】集中呈現圖形運動變化的過程

認知科學告訴我們，知識只有在聯系中才顯示出意義;學習必須將問題定位在真實問題中，將點狀知識聯結起來。因此課時2的設計在求聯不求全上下功夫，用卷、轉、疊（平移）聯結2D到3D的動態變化過程，用切、削、熔對3D圖形進行改造。簡單的素材通過6個動詞的演繹，力求達到知識遷移、模型建立的目標。

環節一：結合運動變化，理解圖形關系

（1）教師引導學生將一張長方形紙卷成一個立體圖形，提問：“你們用的紙都是同樣大小的，卷出的圖形之間有什么相同和不同之處嗎？

學生發現：它們的側面積相同，但表面積和體積卻不一定相同。教師引導學生思考原因，促進學生對表面積和體積概念的理解。

（2）教師為學生提供同樣大小的長方形和三角形紙各一張，并引導學生思考：如果將紙張進行旋轉，旋轉后將成為什么圖形？怎樣旋轉體積最大？

學生通過想象與操作會得出，長方體旋轉后可能成為不同的圓柱，也可能成為由兩個圓錐組成的組合體;三角形旋轉后可能成為圓錐體。在此基礎上，學生計算與比較得到的圖形體積。

（3）教師引導學生想象將長方形、三角形等圖形進行平移的過程，并提問：“通過平移的過程，你有什么發現？結合上節課的學習你想說些什么？”讓學生進一步從平面圖形平移運動形成直柱體圖形的角度理解直柱體體積公式之間的關系。

環節二：通過切圓柱的過程促進溝通理解

（1）利用課件呈現一個圓柱體，引導學生想象切圓柱體的過程：如果將圓柱體橫著切，切一刀增加2個圓形底面;如果豎著切，切一刀增加2個長方形;如果斜著切，切一刀也會增加2個長方形，切的角度不同，得到的長方形大小也不相同。學生進而通過對比溝通，發現將圓柱體切一刀以后，圓柱體的體積保持不變，表面積增加了。

（2）利用課件呈現一個圓柱體，引導學生想象削圓柱體的過程：在圓柱體內削出一個最大的圓錐，這個圓錐和原來圓柱體的體積之間有什么關系？通過對比溝通，發現關系。

在課時2的教學中要注意，如果教師在人教版六年級下冊第三單元《圓柱與圓錐》的“整理與復習”中就已經做得很充分了，那么總復習階段，只需要學生使用“思維導圖”將碎片知識連成體系即可。

“立體圖形”的復習，雖具有其知識的特殊性，但對于其他內容的復習課，甚至是不同的課型，都具有共性。立足學生，深讀教材，對有限的素材以真問題為統領，進行重組與調整，再配以精選習題組，課堂的推進效果可能會更好?！白寣W生源源不斷地獲得思維的增量”這一教育追求，才可能實現。

（浙江省安吉縣高禹小學? ?313309）