函數圖形搭臺 代數推理唱戲

趙凡

5【摘要】銳角三角函數知識是初中數學學習的重要內容，它對學生的函數知識和代數知識都有很高的要求.學生只有學會用函數知識建構圖形，科學運用代數知識推理，才能夠靈活掌握知識，提高數學成績.學生通過對銳角三角函數的觀察、推理、想象，能更好地進行歸納和猜想，體會數學知識，提高學習能力.教師要引導學生在銳角三角函數學習中深化函數思想，重視圖形分析，把握知識本質，提高思維能力.本文主要以“銳角三角函數”為例探究了函數圖形和代數推理相結合的方式，促進學生學會數學建模，理解知識.

【關鍵詞】初中數學;函數;代數;銳角三角函數

課程標準指出，在數學教學中，教師要深化函數思想，通過數形結合的方式引導學生主動思考和探究，促進學生理解知識.學生積極探索各種數量關系，分析數學本質，了解知識的來龍去脈可以建構知識框架，強化數形結合思想，在體驗中理解知識.在學習“銳角三角函數”時，教師要引導學生主動探究銳角與數值之間的對應關系，學會建構圖形，重視分析圖形特點，通過觀察和體驗的方式進行邏輯分析和推理判斷，實現對知識的理解和掌握.通過函數圖形和代數推理相結合的方式，學生會搭建知識模型，提高探究能力.

一、搭建函數圖形

（一）主動搭建圖形，理解函數概念

在傳統的“銳角三角函數”教學中，教師往往采用平鋪直敘的教學方法，讓學生反復朗讀，背誦相關概念和公式，從而促進學生進行知識探究.這種教學方法并沒有使學生進行思維發散和圖形建構，他們只是消極地接受知識，背誦已經形成的函數概念和函數公式.這種單一、呆板的教學方式不利于學生理解知識.教師要帶領學生通過動手操作和實踐的方式繪制三角形，探究三角函數概念形成的過程，使學生在分析和推理中理解知識.教師可以組織學生繪制直角三角形，并帶領學生通過探究圖形的方式解釋三角函數概念產生的思維過程，使學生在動手搭建和繪圖中理解函數概念，在對圖形的觀察和分析中理解概念內涵，深化認識.繪圖時，教師可以讓學生先繪制一個30°的∠A，在角的邊上任意取一點B，做點B的垂線，與另一條邊交于點C，這樣就形成了一個Rt△ABC.有了圖形作為推理和猜測的平臺，學生的思維會變得更加形象，他們對知識的理解也會更客觀.

（二）重視直角三角形知識的探究

銳角三角函數知識的學習需要以直角三角形知識為基礎，學生只有了解了直角三角形知識，才能夠更好地理解銳角三角函數.通過對直角三角形的觀察，學生會更好地體會三角形的邊角關系，在觀察中感受知識，在分析中理解知識，體會數形結合思想.在對直角三角形的分析中，學生可以體會到直角三角形除直角外的五個元素之間的關系，認識三邊之間存在的勾股定理關系，體會除直角外的另外兩個角之和為90°.通過動手繪制直角三角形，學生會對這些關系和元素形成更深刻的理解和認識.學生在觀察中會看到，在直角三角形中，當角確定時，邊的比值也就確定了;反過來，如果邊的比值確定了，那么角的大小也確定了.在圖形的幫助下，學生會運用數形結合思想理解概念，進行推理論證，簡化計算過程，學會科學運算.學生在畫圖分析中會結合具體的直角三角形進行分析判斷，感知角與邊的關系，理解函數知識.

（三）結合實際生活情境

融入生活的數學知識更容易讓學生理解.教師要促進學生融入生活情境，產生直觀體驗和感悟.教師要鼓勵學生在數學學習中利用生活情境來感悟和分析，從生活情境中發現問題，進行數學推理.生活中的現象更加直觀、具體，有利于學生主動想象和聯想，從而在實踐中分析和理解知識.例如，在本課的學習中，教師可以為學生創設如下生活情境：為了滿足線上學習的需要，住在1樓的小明家和住在2樓的小剛家都需要重新安裝網線.在網線安裝過程中，工作人員在一樓搭起了兩個梯子，直接將網線通到小明和小剛家的窗戶.請判斷一下哪個梯子更陡，如何用數據做出更準確的判斷？生活情境會讓學生用數學眼光觀察世界，從而主動猜想和思考，學會從數學角度分析原因.結合生活情境，學生會認識到判斷哪個梯子更陡時，也就是分析梯子與地面的夾角哪個更大.學生會將生活中的具體情境抽象成幾何圖形，把探究的問題簡化.學生在思考中會認識到，角度的大小與樓層的高度和梯子與墻面之間的水平距離的比值有關，比值越大，梯子越陡.通過數形結合的方式，學生可以靈活轉化知識，既拓展了思維空間，又有利于理解知識.

二、運用代數推理

（一）推理圖形范圍內的三角函數值

在數學知識的探究過程中，教師要充分調動學生的主動性，引導學生通過動手實踐和體驗理解知識，促進學生在動手中學會分析，并通過主動感知的方式理解知識.在實踐中，學生的思維會快速運轉，積極進行推理判斷.銳角三角函數知識需要學生通過推理和分析來獲得，例如，在課堂伊始，教師可以鼓勵學生畫一個∠A為30°的直角三角形和一個∠A為50°的直角三角形，三角形邊的長度不限制.畫好圖后，教師可以鼓勵學生量出三角形三條邊的長度，每一名學生應該都是不一樣的.之后，教師組織學生進行計算，分別用直角邊a、b來比斜邊c.當學生計算出結果后，教師可以組織學生相互比較他們的數值.學生會發現，他們繪制的直角三角形的邊長是不同的，但是得到的比值是一樣的.有了這個動手繪畫和計算的過程，學生就大膽猜想，改變∠A大小時，相應的三個比值應該也是改變的.這樣，學生就會對∠A為50°的直角三角形進行測量和計算，得出具體的數據.通過動手繪畫和計算，學生學會了推理和判斷，在邏輯思考中掌握了三角函數正弦、余弦、正切的計算方法，并從感性認識上升為理性認識，提高了對知識的理解能力.學生通過推理和計算形成了客觀性理解，激發了探究知識的主動性，發揮了潛能.

（二）推理真實情境中的三角函數值

教師以真實情境中的數學知識帶領學生進行推理、分析會激發學生的探究欲望，促進學生認識到數學知識在生活中的實用性，從而主動分析和思考，參與推理判斷過程.教師要引導學生觀察真實情境中的數學，并通過推理的方式進行邏輯運算，拓展思維.例如，教師可以引入問題：意大利比薩斜塔的塔頂中心點偏離垂直中心2.1米，1972年發生地震，這座高54.5米的斜塔在大幅度搖擺后中心點偏離中心線5.2米.如果要你根據這些信息，用塔身中心線與垂直中心線所成的角為θ描述斜塔的傾斜程度，該如何表示？在探究中，學生會融入真實的情境，主動質疑，積極思考，產生探究欲望和主動性.學生會通過推理的方式把真實情境中的問題轉化為數學知識，利用銳角三角函數知識解決問題.學生會在大腦中畫出一個直角三角形，使中心線成為一條直角邊，偏離的5.2米成為另一條直角邊，而傾斜的塔身為斜邊.這樣就會把問題通過三角函數的方式表示出來.在推理中，學生會計算出相關的數值，運用數學計算的方式推理三角函數值.教師通過這種方式，可以提高學生對知識的靈活應用能力.