體悟知識(shí)生成，助推學(xué)生深度學(xué)習(xí)y=ax2 的圖像和性質(zhì)”為例
——以“二次函數(shù)

江蘇師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳慶來(lái)

基于深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)，教師應(yīng)該在理解教材、了解學(xué)生的基礎(chǔ)上合理設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)體悟數(shù)學(xué)知識(shí)的生成。在“二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)一次函數(shù)的歷程，引導(dǎo)學(xué)生類比探究二次函數(shù)，通過(guò)描點(diǎn)、列表、描線不斷進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)。

一、復(fù)習(xí)回顧，引入新知

學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生接受和理解新知的基礎(chǔ)。初中階段的函數(shù)模塊主要分為一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)三部分。因此，通過(guò)回顧類比學(xué)習(xí)一次函數(shù)所獲得的知識(shí)、方法、技能和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠促進(jìn)學(xué)生明晰二次函數(shù)的學(xué)習(xí)歷程，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)搭好“腳手架”和“指南針”。

問(wèn)題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，你認(rèn)為二次函數(shù)接下來(lái)要研究什么？研究的一般步驟和方法是怎樣的？

展示一次函數(shù)研究過(guò)程：概念→圖像→性質(zhì)→應(yīng)用。

問(wèn)題2：如何研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像呢？談?wù)勀銈兊目捶ā?/p>

問(wèn)題3：一次函數(shù)y=2x+3 的圖像如何平移可以得到y(tǒng)=2（x+2）+3 或者y=2x+5 的圖像呢？

類比一次函數(shù)y=kx+b的學(xué)習(xí)，部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該先學(xué)習(xí)函數(shù)y=ax2+bx，理由是一次函數(shù)中是先學(xué)習(xí)函數(shù)y=kx的圖像和性質(zhì)；還有部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該先學(xué)習(xí)函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)，之后再通過(guò)平移變換再學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax2+c的圖像和性質(zhì)。

二、合作交流，理解新知

學(xué)習(xí)本節(jié)課的畫(huà)二次函數(shù)y=ax2的圖像前，很多學(xué)生認(rèn)為畫(huà)函數(shù)圖像僅需要列表、描點(diǎn)、連線，而對(duì)于如何列表、表格中自變量x及函數(shù)值y的取值與圖像和解析式之間的關(guān)系沒(méi)有深入地思考，不能做到從數(shù)到形的理解，這樣的認(rèn)知能力會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在描點(diǎn)后直接用線段連接所描出的點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)中，我們通過(guò)讓學(xué)生分析三種圖像的錯(cuò)誤之處，引導(dǎo)學(xué)生探究其錯(cuò)誤原因，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，由數(shù)定形，具身感悟數(shù)形結(jié)合思想。

探究1：以下三個(gè)圖像可不可能是二次函數(shù)y=x2的圖像？請(qǐng)說(shuō)明理由。

生：二次函數(shù)y=x2的y值都是非負(fù)數(shù)，因此二次函數(shù)y=x2的圖像不會(huì)經(jīng)過(guò)第三、四象限，所以圖1 不是。

圖1

生：當(dāng)y=1 時(shí)，x可以取負(fù)數(shù)，因此圖2 中的圖像不完整。

圖2

圖3

師：我們可以猜想一下二次函數(shù)的圖像上是否有對(duì)稱點(diǎn)呢？我們?cè)诹斜頃r(shí)需要注意什么？

生：除原點(diǎn)外，取橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，如（1，1）和（-1，1），（-2，4）和（2，4）。

學(xué)生了解畫(huà)圖像的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線，但是有的學(xué)生不知道該選取哪些點(diǎn)、選多少點(diǎn)。通過(guò)對(duì)這三個(gè)圖像的思考、交流活動(dòng)，學(xué)生可以初步了解二次函數(shù)在列表時(shí)如何取值，能結(jié)合表達(dá)式的特征對(duì)圖像進(jìn)行初步的分析，同時(shí)對(duì)學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=x2的圖像與性質(zhì)充滿了期待。

例1：畫(huà)出下列二次函數(shù)的圖像。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

通過(guò)幾何畫(huà)板展示畫(huà)圖的過(guò)程，能讓學(xué)生直觀地觀察出圖像特征，整體感悟二次函數(shù)性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從表格、表達(dá)式、圖像三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，深入研究二次函數(shù)y=x2的圖像和性質(zhì)。

三、操作思考，應(yīng)用新知

夸美紐斯在《大教學(xué)論》中指出：“假如我們掌握了任何學(xué)科的要點(diǎn)，次要的細(xì)節(jié)便容易知道了。”在課堂中理解和落實(shí)核心概念是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)始終把握的一條主線。學(xué)生明晰了研究二次函數(shù)y=x2的數(shù)與形之間的關(guān)系，利用新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題，對(duì)于理解新知、內(nèi)化新知都是非常必要的，因此我們讓學(xué)生完成以下練習(xí)。

練習(xí)1：用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=-x2的圖像，并思考函數(shù)y=x2的圖像與函數(shù)y=-x2的圖像有什么共同特征？

練習(xí)2：在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列函數(shù)的圖像。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考這位同學(xué)的觀點(diǎn)，并舉例驗(yàn)證是否正確。

師：結(jié)合函數(shù)圖像，你能說(shuō)出函數(shù)值y與x之間的變化規(guī)律嗎？

二次函數(shù)y=ax2的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸是y軸。

當(dāng)a>0 時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；

當(dāng)a<0 時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)。

生：當(dāng)a>0 時(shí)，有最小值y=0，當(dāng)x<0 時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小；當(dāng)x>0 時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大。當(dāng)a<0 時(shí)，有最大值y=0，當(dāng)x<0 時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大；當(dāng)x>0 時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小。

先引導(dǎo)觀察圖像特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)性質(zhì)，再根據(jù)表達(dá)式適當(dāng)驗(yàn)證，做到會(huì)看、會(huì)想、會(huì)用，真正提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

四、鞏固練習(xí)，應(yīng)用新知

通過(guò)三道精選練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生借助二次函數(shù)圖像去觀察，進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的魅力，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

1.函數(shù)y=3x2具有的性質(zhì)是（ ）。

A. 圖像在第一、三象限

B.y隨x的增大而增大

C. 圖像的對(duì)稱軸是y軸

D. 無(wú)論x取何值，y總是正的

2.若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是二次函數(shù)y=-2x2圖像上的兩點(diǎn)，且x1＞x2＞0，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ）。

A.y1＞y2B.y1＜y2

C.y1≥y2D.y1≤y2

3.如右圖，四個(gè)二次函數(shù)的圖像分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=ax2，y=bx2，y=cx2，y=dx2，則a，b，c，d之 間 的大小關(guān)系為_(kāi)。

在本節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)、能力去探究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，通過(guò)想一想、畫(huà)一畫(huà)、看一看、說(shuō)一說(shuō)、練一練等活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，知其所以然，注重知識(shí)的生成過(guò)程，使學(xué)生在領(lǐng)悟二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。