體悟知識生成，助推學生深度學習y=ax2 的圖像和性質”為例
——以“二次函數

江蘇師范大學附屬實驗學校 陳慶來

基于深度學習的課堂教學，教師應該在理解教材、了解學生的基礎上合理設置教學內容，讓學生通過數學活動體悟數學知識的生成。在“二次函數y=ax2的圖像和性質”的學習中，可以通過創設合適的問題情境，引導學生回顧學習一次函數的歷程，引導學生類比探究二次函數，通過描點、列表、描線不斷進行深度學習，領悟二次函數y=ax2的圖像和性質。

一、復習回顧，引入新知

學生已有的知識和學習經驗是學生接受和理解新知的基礎。初中階段的函數模塊主要分為一次函數、反比例函數和二次函數三部分。因此，通過回顧類比學習一次函數所獲得的知識、方法、技能和活動經驗，能夠促進學生明晰二次函數的學習歷程，為本節課的學習搭好“腳手架”和“指南針”。

問題1：上節課我們學習了二次函數的概念，類比一次函數的學習過程，你認為二次函數接下來要研究什么？研究的一般步驟和方法是怎樣的？

展示一次函數研究過程：概念→圖像→性質→應用。

問題2：如何研究二次函數y=ax2+bx+c的圖像呢？談談你們的看法。

問題3：一次函數y=2x+3 的圖像如何平移可以得到y=2（x+2）+3 或者y=2x+5 的圖像呢？

類比一次函數y=kx+b的學習，部分學生認為應該先學習函數y=ax2+bx，理由是一次函數中是先學習函數y=kx的圖像和性質；還有部分學生認為應該先學習函數y=ax2的圖像和性質，之后再通過平移變換再學習二次函數y=ax2+c的圖像和性質。

二、合作交流，理解新知

學習本節課的畫二次函數y=ax2的圖像前，很多學生認為畫函數圖像僅需要列表、描點、連線，而對于如何列表、表格中自變量x及函數值y的取值與圖像和解析式之間的關系沒有深入地思考，不能做到從數到形的理解，這樣的認知能力會導致學生在描點后直接用線段連接所描出的點。本節課的教學中，我們通過讓學生分析三種圖像的錯誤之處，引導學生探究其錯誤原因，經歷數學知識的產生和發展過程，由數定形，具身感悟數形結合思想。

探究1：以下三個圖像可不可能是二次函數y=x2的圖像？請說明理由。

生：二次函數y=x2的y值都是非負數，因此二次函數y=x2的圖像不會經過第三、四象限，所以圖1 不是。

圖1

生：當y=1 時，x可以取負數，因此圖2 中的圖像不完整。

圖2

圖3

師：我們可以猜想一下二次函數的圖像上是否有對稱點呢？我們在列表時需要注意什么？

生：除原點外，取橫坐標互為相反數的點，如（1，1）和（-1，1），（-2，4）和（2，4）。

學生了解畫圖像的一般步驟：列表、描點、連線，但是有的學生不知道該選取哪些點、選多少點。通過對這三個圖像的思考、交流活動，學生可以初步了解二次函數在列表時如何取值，能結合表達式的特征對圖像進行初步的分析，同時對學習二次函數y=x2的圖像與性質充滿了期待。

例1：畫出下列二次函數的圖像。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

通過幾何畫板展示畫圖的過程，能讓學生直觀地觀察出圖像特征，整體感悟二次函數性質，引導學生從表格、表達式、圖像三個方面來進行深度學習，深入研究二次函數y=x2的圖像和性質。

三、操作思考，應用新知

夸美紐斯在《大教學論》中指出：“假如我們掌握了任何學科的要點，次要的細節便容易知道了。”在課堂中理解和落實核心概念是數學教學中應當始終把握的一條主線。學生明晰了研究二次函數y=x2的數與形之間的關系，利用新的學習經驗去解決問題，對于理解新知、內化新知都是非常必要的，因此我們讓學生完成以下練習。

練習1：用描點法畫二次函數y=-x2的圖像，并思考函數y=x2的圖像與函數y=-x2的圖像有什么共同特征？

練習2：在平面直角坐標系中，畫出下列函數的圖像。

師：請同學們思考這位同學的觀點，并舉例驗證是否正確。

師：結合函數圖像，你能說出函數值y與x之間的變化規律嗎？

二次函數y=ax2的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點在原點、對稱軸是y軸。

當a>0 時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；

當a<0 時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點。

生：當a>0 時，有最小值y=0，當x<0 時，函數y隨x的增大而減小；當x>0 時，函數y隨x的增大而增大。當a<0 時，有最大值y=0，當x<0 時，函數y隨x的增大而增大；當x>0 時，函數y隨x的增大而減小。

先引導觀察圖像特點，數形結合探究函數性質，再根據表達式適當驗證，做到會看、會想、會用，真正提高分析問題、解決問題的能力。

四、鞏固練習，應用新知

通過三道精選練習，引導學生借助二次函數圖像去觀察，進一步領悟數形結合的魅力，讓學生在問題解決中學會綜合運用所學知識，進一步提升分析問題、解決問題的能力。

1.函數y=3x2具有的性質是（ ）。

A. 圖像在第一、三象限

B.y隨x的增大而增大

C. 圖像的對稱軸是y軸

D. 無論x取何值，y總是正的

2.若點M（x1，y1），N（x2，y2）是二次函數y=-2x2圖像上的兩點，且x1＞x2＞0，則y1與y2的大小關系是（ ）。

A.y1＞y2B.y1＜y2

C.y1≥y2D.y1≤y2

3.如右圖，四個二次函數的圖像分別對應的函數表達式是y=ax2，y=bx2，y=cx2，y=dx2，則a，b，c，d之 間 的大小關系為_。

在本節課中，引導學生利用學習一次函數、反比例函數的圖像和性質的經驗、能力去探究二次函數的圖像與性質，通過想一想、畫一畫、看一看、說一說、練一練等活動，充分調動學生的學習積極性，知其所以然，注重知識的生成過程，使學生在領悟二次函數的圖像和性質的同時，進一步提升了數學學習能力。