基于小概率原理和兩類錯誤概率的思政教學研究①

溫利民 郭旭瑩 章溢

摘要：小概率原理是假設檢驗的基本思想，同時也是指導人們生活的一種準則。在假設檢驗的課程教學中，不僅有必要讓學生盡快掌握小概率原理的統計思想，而且應融入思政教學，提高學生的思政水平。本文從假設檢驗的小概率原理的統計思想出發，研究了假設檢驗的步驟和檢驗方法，并分析了假設檢驗的兩類錯誤及其關系。最后，利用小概率原理和控制兩類錯誤概率的思想給出了課程思政教學中應注意的問題和教學策略。

關鍵詞：小概率原理;假設檢驗;兩類錯誤;課程思政

1 引言

中國人民教育家、思想家陶行知先生曾說過[1]：“道德是做人的根本。根本一壞，縱然你有一些學問和本領，也無甚用處。并且，沒有道德的人，學問和本領愈大，就能為非作惡愈大”。隨著時代潮流的變化，現當代教育在關注學科教學的同時，也更加重視對學生思想道德方面的培養。這主要表現在教學模式的改革，教師的教學不再是單一的知識傳授，而更應該將學科知識與思想道德認識緊密結合起來，將馬克思主義的思想、觀點和作風融入課堂教學，提高學生的思想政治水平。毛澤東同志曾說過：“文化思想陣地我們不去占領敵人就會占領。”可見，思想政治教育的重要性。2014年，習近平總書記在第二十三次全國高等學校黨的建設工作會議上強調，“辦好中國特色社會主義大學，要堅持立德樹人，把培育和踐行社會主義核心價值觀融入教書育人全過程。”在新課程的改革中，要注重各個學科中思想政治教育觀點的深入挖掘，讓傳統的教學內容與現代的德育理念相結合，促進各類課程與思想理論課同向同行，努力達成全員、全程、全方位育人的目標[2]。繼這會議之后，課程思政在全國的推行又向前邁進了一大步。

假設檢驗是統計學中一種被廣泛應用于各個領域的極其重要的推斷統計方法。假設檢驗的統計思想來源于小概率原理：小概率事件在一次試驗中是幾乎不會發生的。什么是小概率事件？小概率事件一定不發生嗎？如何用小概率原理進行假設檢驗？假設檢驗會犯錯誤嗎？如果盡可能減少犯錯誤的概率？帶著這些問題，我們將通過例子來分析假設檢驗的統計思想，以及探討如何在假設檢驗的課程中融入馬克思主義的辯證唯物主義思想進行課程思政教學。

2 小概率原理及其映射的思政理念

2.1 小概率與大概率的矛盾體

“久旱逢甘霖”、“水滴石穿”等生活中的成語，都是典型的小概率事件。小概率原理是以小概率事件為基礎的統計思想，在數理統計中又被稱作實際推斷原理，它具體指“一個概率很小的事件在一次試驗中幾乎不發生”[3]。但是需要注意的是，即使這個小概率事件發生的可能性已經小到可以完全忽略不計，卻不能否認它的意義。因為，當試驗次數足夠大的時候，它的發生又將成為必然事件。下面將對此進行理論推導[4]：

上述公式的推導說明，盡管某個事件發生的概率很小，然而，當次數多了以后該事件至少發生一次的概率將變成大概率事件。因此，在人們的生產生活中，也要不能忽略小概率事件。因為“量變將引起質變”、“常在河邊走，哪有不濕鞋”，這些都是小概率事件在生活中的生動刻畫[5-8]。

2.2 小概率原理在假設檢驗中的應用

小概率原理在統計學中的應用非常廣泛，它是假設檢驗的基本原理。根據小概率原理，在一次試驗中小概率事件是不可能發生的，如果發生則應該將其視為不合理現象或者反常現象，進而有理由判定假設不成立，，可以通過小概率反證法推出事件真實的結論[9]。因此，基于小概率原理進行假設檢驗的步驟如下。首先，根據實際問題的需要和試驗的目的提出原假設H0與備擇假設H1;其次，對給定的小概率α，尋找檢驗統計量T（X1，…，Xn） 并構造拒絕域W，使得P（T∈W|H0）=α;第三，將樣本觀測值代入后得到的統計量的表達式，得到統計量的觀測值T（x1，…，xn），若T（x1，…，xn）落入了拒絕域，則說明小概率事件發生了，根據小概率原理，認為假設錯誤，因此做出拒絕原假設H0的判斷;反之，如果觀測值T（x1，…，xn）沒有落入拒絕域，則做出接受H0的判斷。

下面以一個例子說明假設檢驗的小概率思想以及假設檢驗的步驟和檢驗過程。

例1：某廠商生產了一批彈簧，假設彈簧的拉力服從正態分布N（μ，0.42）。該廠的負責人說他們廠生產的彈簧拉力至少為5千克力。為了驗證負責人保證的彈簧拉力的質量，現從該廠生產的彈簧中抽取9根彈簧，測試結果為平均拉力為4.78千克力。現在的問題是：是否相信該廠的負責人對彈簧的質量保證。

因此落入了拒絕域，說明一次試驗中小概率事件發生了，因而拒絕原假設H0，認為該廠生產的彈簧的拉力并沒有達到5千克力的標準。

在上述例子中，由于樣本X1，…，Xn是隨機變量，因而U=U（X1，…，Xn）也是隨機變量，因此U的取值具有隨機性。然而，當抽樣次數足夠多的情況下，統計量U的分布為標準正態分布。在原假設H0成立時，統計量U的值在0附近，而U落入構造的拒絕域W中的概率非常小（最多為α），當觀測值T（x1，…，xn）確實落入了拒絕域時，說明小概率事件在一次實驗中確實發生了，因而做出了拒絕原假設H0的判斷。從上面的分析中可以看出，當在原假設H0確實是正確的時候，統計量T（X1，…，Xn）有可能落入拒絕域（雖然概率很小，不超過α），這時我們做出拒絕H0的判斷，因而犯了第一類錯誤。這種錯誤稱為拒真錯誤。

假設檢驗的小概率原理利用了反證法的思想，認為在一次試驗中，小概率事件不會發生。然而，在現實生活中，有些事件的概率雖然小，但也有可能發生。因而，在做假設檢驗的拒絕原假設的判斷時，有可能會犯第一類錯誤。小概率原理告訴我們，犯錯并不可怕，可怕的是犯了錯誤后不知悔改。馬克思主義告訴我們，實踐是檢驗真理的唯一標準。人們在實踐過程中，可能容易犯一兩次錯誤，但從犯錯中總結教訓，找到錯誤的原因，加以改正，最終才能發現真理，社會才能不斷進步。如果因為怕犯錯而停步不前，就沒有真理的發現，也就沒有人類的進步。

3 假設檢驗的兩類錯誤與思政理念的融合

3.1 假設檢驗的兩類錯誤分析

假設檢驗有兩類錯誤，其中第I類錯誤也被稱為棄真錯誤，指在假設檢驗中，當原假設H0為真時，樣本統計量（X1，X2，…，Xn）因為樣本的隨機性落入拒絕域W而判定它拒絕原假設。犯第Ⅰ類錯誤的概率也是小概率事件發生的概率，是假設檢驗中顯著性水平α的值，用公式表示為：

從表2數據來看，α越來越小，對應的β就越來越大，二者確實存在此消彼長的關系。因此，當樣本容量不變的情況下，要降低犯第二類錯誤的概率β，則必然導致犯第一類錯誤的概率α值的上升;反之，要降低犯第一類錯誤的概率值α，又會導致犯第二類錯誤的概率β值的上升。

假設檢驗的兩類錯誤又構成了一對新的矛盾。根據馬克思主義關于解決矛盾的論證，在解決矛盾的過程中，需要分清主要矛盾和次要矛盾。抓住主要矛盾，就能抓住事物的中心，找到解決矛盾的方法。在假設檢驗的過程中，需要平衡兩類錯誤的的概率，找到主要矛盾，兼顧次要矛盾，才能合理解決問題。例如，在控制犯第一類錯誤小于或等于α的條件下，尋找拒絕域W*，使得犯第二類錯誤的概率盡可能小。稱為最優檢驗問題。在教學過程中，適當引導學生思考對矛盾的認識，展開對矛盾的思考和討論。在人生的不同階段，都會有不同的矛盾，要認真抓好每一個階段的主要矛盾，處理好生活中的每一次矛盾，成為對社會有用的人才。

3.2 兩類錯誤概率的控制

根據前面的分析可知，當樣本容量n一定時，α和β呈反向變化。如果要使得α和β同時減小，則只有可能n是變化的。

根據標準正態分布概率表和正態分布的對稱性可以推算得到：

顯然，當公式右邊增加的時候，導致Zα+Zβ增大，由于Zα和Zβ分別是α和β的減函數，因此當n增大時，可以使得α和β同時減小。

如果希望控制犯兩類錯誤的概率，則需要增加樣本容量，增加樣本的信息，也就是多動手、多做實驗。再次驗證了馬克思主義中實踐是檢驗真理的唯一標準這一大觀點。只要實驗次數足夠多，犯錯誤的概率將不斷減少，實驗的結果也將更趨于理想化，也就能最終獲得成功。

4 假設檢驗映射的思政教育理念

教學不只在于知識的普及，更在于道德素質、政治文化思想的培養。根據假設檢驗中小概率原理和兩類錯誤的概率分析，教師在教學過程中可以融入思政理念和觀點，讓學生學會運用辯證唯物主義的觀點、方法分析問題和解決問題。在實際生活中，要有所為，有所不為。在碰到困難的時候，要敢于擔當，勇于克服困難，不怕犯錯。因為小概率原理告訴我們，有些錯誤需要避免，有些錯誤則無法避免。另一方面，當生活中遇到矛盾的時候，要分清主要矛盾和次要矛盾，有所取舍。就像假設檢驗中的兩類錯誤，當兩者無法兼顧的時候，可以考慮只控制犯第一類錯誤的顯著性檢驗，也可以控制第一類錯誤的概率在一定范圍內，尋找犯第二類錯誤的概率最小的最優檢驗。

參考文獻：

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1.江西師范大學數學與統計學院 南昌 330022

2.江西師范大學財政金融學院