借助數學文化 滲透“化曲為直”數學思想

盧志明 鄧冰

摘要：“圓的周長”是以長方形、正方形周長知識為認知基礎的，是前面學習“圓的認識”的深化，是后面學習“圓的面積”等知識的基礎，引導學生猜測圓的周長與直徑的倍數數量關系，學生根據對測量圓周長活動過程的理解，通過小組合作、測量、計算等操作活動，表明了“化曲為直”思想在數學教學中有不可忽視的作用。本文探討了如何在“圓周的周長”教學的各個環節滲透數形結合思想，旨在為小學數學文化教學提供一些新的視角。

關鍵詞：“化曲為直”思想;圓周的周長;教學設計

圓的周長與直徑之比是個與圓的大小無關的一個常數，人們稱之為圓周率。巴比倫人最早發現了圓周率。古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數粒數與方形對比的方法取得數值。用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值是中國傳統數學文化代表之一，在教學中，為了讓學生更深層次地 領悟知識、感悟數形結合的思想，教師可以借助數學文化把數形結合思想融入各個教學環節中。

一、在教學滲透數形結合思想的“圓周的周長”教學設計

（一）教材分析

“圓周的周長”是人教版數學教材六年級上冊的內容，學生已經初步掌握探究周長與直徑的關系，加強動手操作，培養學生自主探索能力，讓學生動手操作，通過畫一畫、剪一剪、圍一圍等多種方式求圓的周長。即通過測量不同大小的圓的周長和直徑，計算出周長和直徑的比值，發現比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結出圓的周長計算公式。教師可以結合六年級學生具有較強的好奇心和求知欲的特點，在教學中分層、分階段地滲透數形結合的思想。教師可以借助數學文化載體，對定義的由來、探索證明方法、應用過程中滲透數形結合思想進行設計，由正方形周長的概念類比推出圓周長的概念，較好地促進了知識的遷移。為圓的周長的測量用了幾種不同的方法，共同之處是化曲為直，有意識地滲透了化歸思想。

（二）教學目標

（1）知道圓的周長和圓周率的含義，理解并掌握圓的周長計算公式，能正確計算圓的周長。

（2）培養學生的小組合作學習的能力和動手實踐、觀察、比較和概括的能力，發展空間觀念，感受到數學中的美。

（3）介紹祖沖之在圓周率方面的成就，滲透愛國思想和數學文化。

（三）教學重點、難點

教學重點：探索圓的周長的推導過程。 教學難點：運用數形結合的思想圓周率和計算圓的周長。

（四）教學過程

【第一環節】實踐操作，提出猜想，導入課題

1. 小組合作，感知數與形之間的奧秘課前準備

出示長方形，正方形，提問：長方形，正方形的周長在哪？動手指一指。

師：那什么叫做圖形的周長？

生：封閉圖形一周的長度，叫做圖形的周長。

2. 出示圓，提問：圓的周長在哪？動手指一指。

師：那什么叫圓的周長？

生回答后師小結：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長

繼續提問：它們之間到底有什么的關系呢？

數學文化教育：我國古代有一位偉大的數學家和文學家祖沖之就發現了圓的周長與它的直徑之間的關系，這個發現是在1500年前。今天我們各位同學也當一回科學家，進行一次研究，來發現圓周長與直徑之間到底有什么關系。

（2）、動手實驗：（四人一組，合作完成）（一組測一個）

a、取出圓形紙板，量出圓形紙板的直徑。

b、用繩子繞圓形紙板一周，繞圓一周的繩子長度，就是這個圓形的周長，然后測出繩子長度。

思考：你發現了什么規律？ 預設：學生發現規律較困難時，觀察表中數據，說一說你有什么發現？（四人一組，共同討論，）

小組匯報：同一個圓，它的周長是它的直徑的3倍多一些。

【第二環節】探索新知，驗證定理，證明結論

1. 借助祖沖之的圓周率數學文化，再現發現定理的過程教師出示PPT展示任務：（1）讓學生拿出課前準備的圓形教具;（2）讓學生分組進行拼圖，并鼓勵學生在操作過程中大膽嘗試各種拼法。

2.學生自主探究測量圓的周長

師：有什么方法可以測量你手中小圓片的周長的？想一想？ 學生匯報，教師指正。

A：用一根繩子，繞圓一周，去掉多余部分，再拉直量出它的長度，這就是圓的周長。

B：在圓上做一個記號，讓這個記號在直尺上滾動一周，滾動的距離就是圓的周長。

師：用這兩種方法可以測量手中圓的周長，那現在老師想知道學校圓形跑道的周長還以用滾動法嗎？（不可以）用繩測法方便嗎？（不方便）接下來我們就來尋找一種更簡便的方法。

2、 探究圓周長的計算公式

（1） 課件出示（四個不同直徑的同心圓）

師：圓的周長和什么有關呢？請你仔細觀察，說說你的發現。

多名學生回答后師：圓的周長和它的直徑有關，直徑越大，這個圓的周長就越大。

（2） 探究圓的周長和直徑的數量關系

師：圓的周長與它的直徑存在什么樣的數量關系呢？請同學們拿出課前準備的3個小圓，進行測量，要求小組合作。（板書：圓的周長÷直徑）

學生小組合作進行測量，計算，教師巡視并參與其中。學生匯報數據，完成表格

師：仔細觀察這個表格，你有什么發現？

生：我發現圓的周長是直徑的3倍多一點。

生：我發現圓的周長是直徑的4倍少一些。

（3） 介紹圓周率，及祖沖之。

（4）推導公式

用字母π表示。

板書： =π ?或 ?圓周長：它的直徑=π

（①讓學生讀一讀（Pài）寫一寫。②了解π的值。

A、π是一個無限不循環小數，π=3.1415926535..........

B、在實際應用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.

（5）公式推導：

師：圓的周長÷直徑=圓周率。那圓的周長等于什么？

生：圓的周長=直徑×圓周率

師：用字母C表示圓的周長，則有 C=πd或C=2πr.

師：要計算圓的周長，需知道什么？（圓的直徑或半徑）

練習：（不計算得數，直接報算式）

3.自主探索，總結圓的周長÷直徑=圓周率的方法教師通過課件展示問題：對教材中的的周長計算公式，還有什么方法呢？由此拓展學生的思維解決實際問題：

教學例1 （關于圓的周長的計算公式的應用有多種情況：已知圓的半徑或直徑求圓的周長，或者已知圓的周長求圓的半徑或直徑。例1教學知道直徑求周長的情況。）

圓形花壇的直徑是20米，它的周長是多少？小自行車車輪直徑是50厘米，它繞花壇一周要多少周？

學生獨立完成，反饋。

第1個問題：已知直徑求周長 ? ? C=πd=3.14×20=62.8（米）

第2個問題：先求小自行車車輪轉動一周的長度，再求需要多少圈。

50cm=0.5m，0.5×3.14=1.57（m） 62.8÷1.57=40（周）

說明：?、解題時可以不寫計算公式

?、π取兩位小數3.14，計算中不必使用≈ ，直接用 = 號。

【第三環節】鞏固新知，拓展延伸，學以致用 為了更好地幫助學生鞏固知識、提升能力，教師可以設計一系列問題與拓展練習。

1、 完成課本64頁做一做。

2、完成練習十五第1題。

3、補充作業。判斷題：

（1）圓的周長剛好是直徑的3.14倍。

（2）大圓的圓周率大，小圓的圓周率就小。

（3）π是兩位小數。

（4）圓的周長等于它的半徑的2π倍。

（5）求周長，直徑是唯一條件。

【第四環節】歸納小結，總結思想，作業布置。歸納小結，總結思想 師生共同歸納總結，不僅從知識的結構進行梳理，還概括了本節課數形結合思想的運用過程。學生在總結反思過程中感受到數形結合思想貫穿于本節課的始終。

本節課我們認識了圓的周長，并且通過實驗知道，圓有大小，但每一個圓周長與它的直徑的比的比值都相等，并且是一個固定的數，這個數叫圓周率，用π表示。從而找到了計算圓周長的公式，周長=直徑 × π或半徑×2×π。

二、教學設計做進一步思考：

（一）在教學過程中有效利用現代信息技術滲透數形結合思想

《圓的周長》是在學生學習了正方形周長的基礎上進行教學的。由復習老知識引入課題，目的是激發學生的探究積極性，然后我讓學生自己推導出圓的周長公式，讓學生以小組為單位進行操作：用“化曲為直”的繞線法測量圓的周長，并做好相應記錄，填好表，為下一步探究奠定基礎，接下來讓學生猜一猜、想一想圓的周長與直徑有什么關系，進而找到圓的周長與直徑的關系，推出圓周率，得出圓的周長公式。最后讓學生把得出的圓的周長公式應用到練習中。

（二）在問題解決過程中展現“化曲為直”的數學思想方法

教師應在解決數學問題過程中，展現“化曲為直”的數學思想的關鍵——學生提出質疑測量、學生通過小組合作的形式驗證猜想，在理解了圓的周長與直徑的關系及圓周率的基礎上，推導出圓的周長的計算公式，再回到課前情境中，使學生在掌握新知識的基礎上，解決實際問題，培養學生的應用意識。

（三）在教學反思過程中總結數形結合思想方法

關于反思的認識，在本節的教學中，我發現情境導入吸引了學生的注意，并對新知識產生了濃厚的興趣，由于前面“正方形周長及圓的認識”知識的成功鋪墊，因此本節課學生通過動手操作、自主探究、合作交流‘展示等活動，理解了“化曲為直”的數學思想方法。在推導公式過程中，因為親自經歷了小組內探討圓的周長與直徑的關系的過程，所以學生能較為容易地推導出圓的周長計算公式。

教學反思主要體現在四個方面：一是挖掘教材中蘊含的數形結合的“化曲為直”思想;二是在教學活動的各環節滲透各種數學文化數的滲透過程伴隨知識的生長過程;三是分析例題設計習題練習，讓學生時刻受到這種方法的熏陶，從而逐步形成數形結合的意識。在教學的各個環節，教師應始終遵循反思滲透 的原則，以便有效地滲透數形結合思想。

綜上所述，在“《圓的周長》”的教學過程中滲透數形結合思想方法，教師應遵循學生的思維發展特點，運用現代信息技術動態地展現“形”，在解決問題的過程中靈活運用“數”與“形”的關系，反思數形結合思想的內在價值，從而提升學生解決數學問題的能力，我對課堂的掌控和把握能力還需提高，雖然對教材進行了較為深入的分析，但還沒有做到不徹底，小組合作要求不到位。在今后的教學工作中，我將彌補以上不足之處，提高個人的理論修養，使自己的教學趨于完美。

（此成果是：廣州市教育規劃十三五課題“基于小學‘數學文化’高年段課例教學策略研究”成果之一，課題編號：201912067）

（廣州市番禺區北片教育指導中心 ?廣東廣州 ?511430;廣州市番禺區大石富麗小學 ?廣東廣州 ?511430）