以“問題串”為導向的初中數學探究性學習教學策略

李珍

摘 要：問題是推動數學思維的源動力，也是數學探究活動的核心所在.以“問題串”為導向的初中數學探究性學習，需要教師恰當“指路”與適時“控度”，才能讓探究活動“形散而神不散”，讓學生在問題串的驅動下層層遞進、深入探究、批判建構，使學生的邏輯思維、空間思維和創新思維得到全面發展;邏輯推理能力、分析類比能力、歸納綜合能力和遷移應用能力得到全面提升.

關鍵詞：初中數學;問題串;探究性學習;指路;控度

問題串能否在學生的探究學習中發揮應有的作用，關鍵在于教師的恰當指路與適時控度，才能讓整個探究學習過程“形散而神不散”，有效達成教學目標.下面，以蘇教版八年級數學上冊《探索三角形全等的條件1》的探究活動為例，談談如何以問題串為導向引導學生進行探究學習，教師在學生的探究活動中如何適時指路與調控學生的探究學習.

一、明確探究主題，確定探究方向

《探索三角形全等的條件》是蘇教版八年級數學上冊第一章第三節，本小節的教學內容需要八課時完成;《探索三角形全等的條件1》是第一課時，按照教學大綱要求，本課時的學習主題確定為“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.”

讓學生掌握全等三角形及相關知識，既是為學生以后學好等腰三角形、四邊形和圓等幾何知識打好基礎，也是為學生以后研究軸對稱、旋轉等全等變換知識做好良好鋪墊.第一課時《探索三角形全等的條件1》的探究活動，是本節學習內容的重要基礎，其成功與否不僅影響學生后續的探究學習是否順利，也直接影響學生對本章的概念認知與知識建構是否正確.為此，筆者根據探究主題制定了如下教學目標：

1.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.

2.掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等.

3.利用操作、探索、合作、交流等活動，經歷探索三角形全等條件的過程.

4.會利用基本事實“邊角邊”定理判別兩個三角形是否全等.

這四個教學目標分別從學習方式、思維向度、概念建構、實踐運用等方面進行設定，目的是讓學生的數學思維、知識技能、思想方法得到全面培養與提升.

二、創設問題情境，發現待解問題

1.學生已有知識基礎

全等三角形的性質：經過翻轉、平移后，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，并且兩個三角形的三條邊及三個角都對應相等.

2.創設情境，尋找規律

已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的邊與角：

（1）AB=DE;（2）BC=EF;（3）CA=FD;

（4）∠A=∠D;（5）∠B=∠E;（6）∠C=∠F.

3.觀察思考，發現問題

（1）滿足三條邊、三個角分別相等這六個條件，可以保證△ABC ≌△ DEF嗎？

（2）如果只滿足六個條件中的一部分條件，還能保證△ABC ≌△ DEF嗎？

三、提出問題假設，分層深入探究

通過引導學生觀察、分析兩個全等三角形的特點發現了新的問題：“在三角形六要素中，判定兩個三角形是否全等需滿足幾個條件？”為此，筆者向學生提出了三種假設（問題串一），拉開了探究學習序幕.

問題1：當兩個三角形的1對邊或角相等時，它們全等嗎？

問題2：當兩個三角形的2對邊或角分別相等時，它們全等嗎？

問題3：當兩個三角形有3對邊或角分別相等時，它們全等嗎？

【探究活動1】驗證滿足一個條件的兩個三角形是否全等？

（1）只有一條邊對應相等時，兩個三角形是否全等？

（2）讓學生畫出邊長是3cm、4cm、5cm（如左圖）的任意兩個三角形并剪下來，看是否完全重合.

【在學生實驗探究的過程中，教師巡回觀察學生的操作情況，對操作方法不當或偏離探究主題的學生適時指導糾正.】

（3）只有一個角對應相等時，兩個三角形是否全等？

讓學生畫出一個角是45°、30°、90°的任意兩個三角形并剪下來，看是否完全重合.

（4）交流討論，得出結論

讓學生對兩次實驗的結果進行分析對比，學生發現：只有一條邊對應相等或只有一個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

【探究活動2】驗證滿足兩個條件的兩個三角形是否全等？

問題1：有兩條邊對應相等的兩個三角形是否全等？

問題2：有一邊和一角對應相等的兩個三角形是否全等？

問題3：有兩角對應相等的兩個三角形是否全等？

（1）畫、剪、比：兩個三角形的兩邊分別為4cm、6cm驗證有兩條邊對應相等的兩個三角形是否全等.

（2）畫、剪、比：兩個三角形的一條邊為4cm，一個內角為30°，驗證有一邊和一角對應相等的兩個三角形是否全等.

（3）畫、剪、比：兩個三角形的兩個內角分別是30°、45°.驗證有兩角對應相等的兩個三角形是否全等.

當兩個三角形有兩個角相等時，根據三角形的內角和為180度，則第三角確定相等，但兩個三角形是否全等呢？學生通過“畫、剪、比”發現：當三內角對應相等時，兩個三角形不一定全等.

通過上面三個小實驗分別驗證滿足兩個條件時（兩邊相等、一邊一角相等、兩角相等）兩個三角形是否全等.筆者發現學生在實驗過程中有時出現了兩個三角形全等的情況，于是讓學生再多畫幾種符合條件的不同形狀的三角形進行驗證，盡可能讓實驗對象更有普遍性，使實驗結果更加準確.

（4）探究交流，得出結論

讓學生分組交流、討論上面三個小實驗的結果，看每個人得到的實驗結論是否相同.學生交流討論后發現：①兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等;②一條邊一個角對應相等的兩個三角形不一定全等;③兩個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

“探究活動1”與“探究活動2”證明：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫的三角形一定全等.

【探究活動3】驗證滿足三個條件的兩個三角形是否全等？

問題1：有三個角對應相等的兩個三角形是否全等？

問題2：有三條邊對應相等的兩個三角形是否全等？

問題3：有兩邊和一角對應相等的兩個三角形是否全等？

問題4：有兩角和一邊對應相等的兩個三角形是否全等？

學生按照上面的實驗操作方法，分組實驗論證：

（1）畫、剪、比：兩個三角形的三個內角分別為45°、55°、80°驗證有三個角對應相等的兩個三角形是否全等.

（2）畫、剪、比：兩個三角形的三條邊分別為4cm、5cm、7cm驗證有三條邊對應相等的兩個三角形是否全等.（3）畫、剪、比：兩個三角形的兩條邊分別為4cm、6cm：①兩邊夾角為45°;②一邊的對角為45°驗證有兩邊和一角對應相等的兩個三角形是否全等.

（4）畫、剪、比：兩個三角形的兩個角分別為30°、60°：①兩角夾邊為7cm;②一角的對邊為7cm驗證有兩角和一邊對應相等的兩個三角形是否全等.

四、引導分析類比，歸納概括定理

讓學生對上面四個實驗結果進行分析類比后發現：有三條邊對應相等的兩個三角形全等;有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等.

在實驗結論的基礎上，筆者再引導學生歸納、概括出三角形全等的定理1：根據三角形的穩定性原理，只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了;只要三角形的兩條邊及其夾角確定了，這個三角形的形狀和大小可以完全確定.由此推出三角形“邊角邊定理”：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（簡稱“邊角邊”或“SAS”）.

五、遷移應用定理，建構公式模型

例1 已知：AB=AD，∠BAC=∠DAC.（如右圖）

求證：△ABC ≌△ADC.

【環節一：分析】

（1）要證明△ABC≌△ADC，已具備了哪些條件？

（2）還缺什么條件？

（3）獲得所缺條件的依據是什么？

【環節二：證明】

證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD（已知），∠BAC=∠DAC（已知），AC=AC（公共邊），所以△ABC ≌△ADC（SAS）.

【環節三：變式拓展】

問題1：DC=BC嗎？

問題2：CA平分∠DCB嗎？

問題3：例1包含哪一種圖形變換？

參考文獻：

[1]王瑩.以問題為導向構建探究性數學教學[J].生活教育，2016（20）：69-70.

[2]鄭木森.以問題為導向下的開放式初中數學教學探究[J].2014（32）：148-149.

[3]徐亮.對數學探究活動中教師“指路”與“控度”的思考[J].數學教學通訊（初等教育），2013（25）：10-11.

[責任編輯：李 璟]