“轉化”和“數形結合”思想在解題中的運用

柯建麗 王玉娟

【內容摘要】本文首先概括數學思想在當今社會和數學教學中所處的地位，然后 結合自己的教學實踐，從三方面論述了“轉化” 和“數形結合”思想在解題中的運用，最后，強調在教學中培養學生運用“轉化”和“數形結合”思想的意義。

【關鍵詞】轉化 數形結合 解題

信息社會越來越多地要求人們自覺地運用數學思想來提出問題、分析問題、解決問題和評價問題，數學知識是數學思想方法的載體，數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，九年義務教育數學新大綱明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公里、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。”這是加強數學素質教育的一個列舉，它要求教師在向學生展示獲取知識、技能及解決問題的思維過程中，力求向他們滲透一些重要的數學思想方法，掌握數學最本質的屬性，因此在教學中我有意識地把各種數學思想，如轉化思想、數形結合思想、整體思想、類比思想、方程思想、分類思想等，運用于解答數學問題中去，從而培養學生的思維品質，提高學生的數學素質。下面是我在教學實踐中，培養學生如何運用轉化思想和數形結合的思想解題。

一、轉化（化歸）思想的運用

化歸思想即轉化思想，是一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想方法，也就是尋找問題的等價形式，溝通已知與未知的聯系，它是數學中最基本的思想方法之一，也是幾何證明中思路探尋的主要手段，如綜合問題向單一問題的轉化，抽象問題向具體問題的轉化，正面問題向反面問題的轉化，復雜問題向簡單問題的轉化，幾何問題向代數問題的轉化等。轉化的目的是使問題的條件集中、明朗，從而使問題得到解決，所以“轉化”是問題的手段，在教學中培養學生和訓練學生的轉化思維，對于優化學生的思維品質，提高學生思維的靈活性和獨創性，形成學生的辨證意識是極其重要的。

1.樹立轉化思想

在教學中，我首先向學生介紹什么是轉化思想，并運用生活中實例或典故，如通過測量影高而確定塔高、曹沖稱象、根據竿的不同影長來確定季節和時令等加以解釋，既可給學生以直觀形象的感覺，又使學生感受轉化思想并非數學專有，在現實生活中也有廣闊的背景。

轉化思想的培養可分為三個層次，即：初期、中期、后期，就以“方程”的教學為例，初期即滲透孕育期，向學生介紹方程是由于社會發展的需要，人類的進步而產生的，在方程教學中期即領悟形成期，著重引導學生把握解一元一次方程的實質就是將原方程轉化為“X=a”的目標形式，從而認識到轉化思想在方程中的重要決策和導向作用。在方程教學后期，即應用發展期，通過將實際問題轉化成數學問題，再轉化為方程問題來解決，進一步提高學生對轉化思想的認識。通過教學中的不斷培養，使學生明確“轉化”的真諦，久而久之學生就能逐步運用轉化思想解某些題。

2.運用轉化思想解題

在中學數學中，應用轉化思想解題到處可見，如初中代數中，解二元一次方程組是通過加減消元或代入消元法，將二元一次方程組轉化為一元一次方程，解高次方程是通過分解因式降次，將高次方程轉化為一元一次或一元二次方程，解分式方程是通過去分母或換元法，將分式方程轉化為整式方程，解無理方程是通過兩邊平方或換元法，將無理方程轉化為有理方程等;在幾何解題中，引導學生把復雜問題轉化為簡單問題，把未知問題轉化為已知問題，如通常將證明線段或角相等轉化為證明三角形全等，將證明等積式或比例式轉化為證明三角形相似，將正多邊形的有關計算轉化為解直角三角形，經過圖形變換將不在同一個三角形中的線段或角轉化成同一個三角形中的線段或角，通過作對角線，將平行四邊形、矩形、菱形轉化為三角形，通過作一腰或對角線的平行線，將梯形轉化為一個平行四邊形和一個三角形，作兩條高線，將梯形轉化為矩形和兩個直角三角形，或延長兩腰，將梯形轉化為一個三角形，通過補割，將不規則的平面圖形轉化為三角形或特殊的四邊形等。

例1、草原上兩個居民點A、B在河流a的同旁，一汽車從A出發到B，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點加水，可使行駛的路程最短？

首先引導學生認真閱讀題目，在讀懂題目后，讓學生思考：上述問題是個什么問題？應轉化為什么？如何轉化？轉化后變成什么問題？經過認真分析得出，本題是個實際問題，應轉化為數學問題，再引導學生轉化為幾何作圖問題如下。

已知：線段a和它同側的兩點A、B

求作：點C，使C在直線a上，并且AC+BC最小

運用轉化思想解題，總能把特殊化為一般，未知化為已知，復雜化為簡單，實際問題化為數學問題，在解題中，既培養了學生的轉化意識，又提高了學生的思維能力。

3.注意轉化的等價性

在解決數學問題時，轉化不僅是必要的，而且是必須的，但是轉化應注意條件的變化，即等價性的問題，轉化分為“等價轉化”和“非等價轉化”，等價轉化不會影響問題的解決，問題在非等價轉化上，其中“非等價轉化”應有相應的補救措施：把多余的去掉，把漏掉的補上，解決這一問題的關鍵是對轉化過程的“非等價性”持以足夠的重視，如解分式方程、無理方程會出現增根，其根本原因是在去分母時，兩邊都乘以最簡公分母或在兩邊平方時，將未知數的范圍擴大，也就是轉化不等價所致，只有通過驗根來補救，從而產生了不適合原方程根的情況，即增根。

二、數形結合思想的運用

數形結合思想就是通過在數與形之間建立對應關系，把數量關系轉化為圖形性質，或者把圖形性質轉化為數量關系，從而使幾何問題能用代數方法來研究，使代數和幾何模型具有鮮明的直觀性，即通過形中尋數，數中尋形的途徑，使問題易解。數學家華羅庚曾指出“數缺形時少直覺，形少數是難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”就是對數形結合思想重要性的高度評價。讓學生了解這種思想，可以提高學生的學習興趣，激發學生的學習熱情。

1.樹立數形結合思想

數形結合思想的培養，首先可運用生活中直觀形象的實例向學生加以解釋，如高樓大廈的建筑、房屋的裝修、各種車輛的制造與設計圖紙的數形結合，使學生感受到數形結合的思想在現實生活中比比皆是。

在數軸的教學中，讓學生體會到數軸上的點與實數是一一對應的，即利用數軸把抽象的數與形象的數軸結合起來，使每一個數變得生動、直觀，如數軸可把任意數絕對值的代數定義與幾何意義緊密結合，即把絕對值的代數定義用幾何來解釋，并從直觀的幾何圖形中抽象出數量關系。函數及其圖象一章是初中代數的重點與難點，內容較多，且較為復雜，在平面直角坐標系的教學中，讓學生體會到平面直角坐標系上的點與有序實數對是一一對應的，通過坐標系這座橋梁，把抽象的有序實數對與坐標平面上的點聯系起來，即可使幾何問題轉化為代數問題，又可使代數問題轉化為幾何問題。通過教學中的不斷培養，使學生能逐步運用數形結合思想解題。

2.運用數形結合思想解題

大量的幾何問題的解決離不開代數運算，而代數學科中很多概念、性質、公式、公里、定理都有其幾何背景，一些代數問題可借助于幾何方法解決，如課本勾股定理的證明，是通過做8個全等的直角三角形和三個邊長分別為直角三角形三邊長的正方形，把它們拼成兩個一樣的正方形，通過計算面積相等，從而得證。利用代數方法解幾何題的也很多，如幾何教科書中對定理“如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似”的證明就是用代數的方法給出的，這一方法比較直觀自然。還有不少問題通過數形結合的方法，使解題過程簡單易解，如可由坐標系中的圖象求函數的解析式，而由函數的解析式可畫出函數的圖象，通過二次函數y=ax2+bx+c的圖象，可求出一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根和一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集，可以判斷a、b、c及判別式△的符號，而又a、b、c及△的符號可以畫出二次函數在直角坐標系的大致圖象。

例2、二次函數有最小值-8，當x≤-1時，y隨x的增大而減小，且-3

由題意結合二次函數的圖象可知，函數的頂點坐標是（-1，-8），而-3

例3、中考題，實數a、b在數軸上對應的位置如圖所示，下列說法正確的是：

（A）a、b互為相反數

（B）b的倒數大于0

（C）b的絕對值大于0

（D）b大于a

本題從數軸觀察可知b<-1，即得 │b│ >0，所以本題答案是（C）。此題只要分析圖形后，可立即得出答案，使學生贏得較多的時間，達到簡潔、迅速的目的。 數形結合思想是數學學科基本而又重要的思想，培養學生運用數形結合思想解題，能充分發揮形象思維的優勢，以數思形，數形結合，既可開辟解題捷徑，又有利用多層次多角度展開思維品質的訓練，提高學生分析問題和解決問題的能力。

3.注意數形結合的圖形

利用數形結合思想解題，所作圖形只是草圖，由于受作圖習慣的影響，已知條件的局限，可能會出現作圖誤差過大，而不能準確地反映圖形的形狀、大小和位置關系，這樣會左右解題思路，導致出錯或無法解出。

例4、等腰三角形的底角等于15度，腰長為2a，求腰上的高。

此題通過分析可知，該等腰三角形是一個鈍角三角形，腰上的高在其延長線上，若按習慣畫成銳角等腰三角形，作出腰上的高，則很難解出。

總之，培養科學的研究方法和思維方法，是素質教育的重要內容，在幾何教學中，要使學生會用歸納、演繹和類比進行推理，培養學生的邏輯思維能力;在代數教學中，不僅要求學生會根據法則、公式、性質正確地計算，還要重視推理，培養學生的聯想、想象、逆向思維，通過數學解題，培養學生數形結合、轉化等數學思想和方法，尤其在初四復習階段，要重視代數與幾何綜合題的講解與訓練，引導學生運用“轉化”和“數形結合”思想解題，可開發他們的智力，培養他們的能力，也是提高學生數學素質的良好途徑。

【參考文獻】

[1]張曉駿. 數學教學中注意對學生“轉化思想”的培養 [J]蘇州教育學院學報.1998（2）47-48

（作者單位：淄博市臨淄區雪宮中學）