數形結合思想在小學數學中的應用

朱嘉松 劉燕萍

【摘要】本文以面積解題為例，論述在小學數學教學中運用數形結合思想解決數學問題的策略，用面積解題幫助學生理解運算定律、解平均數、求租船問題、進行數的計算等，有效地解決數學問題。

【關鍵詞】數形結合 面積解題 小學數學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）25-0095-02

數學家華羅庚說：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”在小學數學教學中，數與形是數學研究的兩個重要方面，數形結合既是一種常用的教學方法，又是重要的數學思想。針對小學生邏輯思維能力不強，面對抽象復雜的問題缺乏理解力和分析力的問題，數學課堂運用數形結合思想，可以將抽象的數學問題變得形象直觀，使繁難的數學問題簡單明了。下面，以巧用面積解題的方式讓學生在直觀理解的基礎上，充分感知抽象運算的過程，達到以簡馭繁有效解決數學問題的目的。

一、用面積解題幫助學生理解運算定律

數與形關系密切。在運算定律教學過程中，筆者運用教學圖形巧妙地把數和形結合起來，利用面積解題指導學生理解運算定律，掌握計算方法，把抽象的數學概念直觀化，把抽象的問題形象化，幫助學生理解數學概念的本質特征。如教學乘法分配律（一個數乘兩個數的和，等于這個數分別與這兩個數所得的積的和）時，部分學生在運用乘法分配律進行簡便運算時總是出錯，且不會分析錯誤的原因，對算理的理解基本處于無意識狀態。小學生思維的發展，正逐步從具體形象思維向抽象思維過渡，由于乘法分配律這一部分內容抽象性較強，學生學起來確實有難度，怎樣才能突破這一教學難點呢？傳統的教學方法是強背概念和大量練習，這樣的教學往往事倍功半。對此可以運用數形結合思想方法，以面積解題的方式幫助學生理解運算定律。

例1：下列三個長方形面積之和，等于把三個長方形拼成一個長方形的面積。（單位：厘米）

得出：21×73+21×26+21×1

=21×（73+26+1）

=21×100

=2100（平方厘米）

將三個長方形拼成一個大長方形，呈現一個直觀性和操作性較強的素材圖，使得學生更易于掌握乘法分配律。

二、用面積解題幫助學生解平均數

在總和不變的條件下，把幾個不相等的數通過移多補少，使它們完全相等，得到的數就是平均數。學生在做一般的平均數問題時，只須牢記三個數量關系式，即平均數=總數量÷總份數，總數量=平均數×總份數，總份數=總數量÷平均數。但在實際運用中遇到較復雜的平均數問題時，學生雖然懂得要“移多補少”，但不知道將移去的部分補到哪里，移補前后哪些數據發生了變化，導致做題時很茫然。對此，教師可以利用面積解題的方式幫助學生解平均數。下面以一道數學題為例談談教學實踐。

例2：一次語文測試，四年級（2）班全體同學平均分為92.5分，已知女生20人，平均每人94分，男生平均每人91.3分，求這個班男生有多少人？

在教學中，筆者利用圖“形”作為直觀工具幫助學生分析、理解問題，即通過畫圖用面積公式來求平均數問題。解題過程如下：

將平均分看作長方形的“長”，將人數看作長方形的“寬”，總分就自然可以當作長方形的“面積”。如圖所示：

用線段gh表示男生平均分數91.3分，線段bc則表示全班平均分數92.5分，線段be表示女生平均分數94分，線段ab表示女生人數20人，線段ag表示男生的人數（橫線的長短表示平均數的多少，豎線的長短表示人數的多少）。求男生人數是多少，即求線段ag長多少？由平均數的“移多補少”可知，長方形dcef的面積是女生高出全班平均分的部分，它正好補到男生低于全班平均分的那一部分，也就是長方形idkh的面積，由此可知，長方形dcef的面積等于長方形idkh的面積，這樣就能將其轉換成用長方形的面積公式來求問題。由圖形可知，男生人數ag，正是長方形idkh的寬邊。解題過程應先求出女生高出全班平均分的總分數，如下：

長方形dcef的面積=長×寬

=（94-92.5）×20

=30（分）

因為長方形dcef的面積表示女生高出總平均分的總分數，所以30的單位是“分”。這個面積與長方形idkh的面積相等：

寬ag=寬dk=長方形dcef的面積÷長hk

=30÷（92.5-91.3）

=25（人）

因為線段ag的長表示男生的人數，所以25的單位是“人”，也就是說男生有25人。列綜合算式為：

20×（94-92.5）÷（92.5-91.3）

=30÷1.2

=25（人）

答：這個班男生有25人。

對兩批學生用新老方法進行教學可知，畫圖移補面積的方法更能讓學生直觀形象地接受并掌握知識點。

三、用面積解題幫助學生求租船問題

圖形的直觀形象特點，決定了化數為形往往能達到以簡馭繁的目的。如利用面積解題策略可以幫助學生理解如何調整船只，讓學生在直觀理解的基礎上充分感知調整的過程，從而提升思維能力。

例3：全班同學去劃船。如果減少一條船，每條船正好坐9人;如果增加一條船，每條船正好坐6人。那么全班共有多少人？

在教學時，教師的解題策略側重于先假設有x條船，減少一條船，每條船坐9人與增加一條船正好坐6人的總人數相等，利用關系式列出下列方程。

方法1：設有x條船。

9×（x-1）=6×（x+1）

9x-9=6x+6

9x-6x=6+9

3x=15

x=5

全班共有9×（5-1）=36（人）

答：全班共有36人。

方法2：將每條船上的人數看作長方形的“長”，船數看作長方形的“寬”，從而將總人數自然看作長方形的“面積”。

分析：把C+B的面積看作總人數，將橫線的長短看作每條船上的人數，豎線的高矮看作船數。因為增加一條船，每條船正好坐9人，所以ab的長等于9人，而減少一條船，每條船正好坐6人，de的長等于6人，dc的長等于2條船，增加一條船和減少一條船的情況下，二者相差兩條船，可得：

面積C+B=A+C[]A=B

陰影A的面積=2×6=12（人）

陰影B的寬=12÷3=4（條）

總人數=4×9=36（人）

四、用面積解題幫助學生計算數

在小學數學教學中，有相當一部分內容是計算問題，計算教學要引導學生理解算理。數和數之間的運算本身是很抽象的，教師要引導學生通過以形助數的方法體會數形結合的直觀生動性，感受數學學習的趣味性。巧用“幾何意義”來解題時，可以觀察、尋找圖形的特點，從不同角度觀察得出所求之數。這樣很多學生就會對數學思維產生新的認識和體會，從中直觀感受到數學的“美”。

例4：兩個自然數，它們的和加上它們的積恰為34，那么這兩個數中較小的數是多少？

分析：利用長方形面積的定義，特別是巧用“1”作為兩個小長方形的寬。

a+b+a×b=34

a×1+b×1+a×b=34

如圖：

（a+1）×（b+1）=34+1=35=5×7

a+1=5，（b+1）=7，即a=4，b=6

結合以上例子，學生逐漸明白了數形結合之間的關系、利用面積解題前后的情況變化，對面積公式能夠運用自如，這樣學生在解決問題時更得心應手。

總之，利用面積解題幫助學生理解“租船問題和簡便運算、解決求平均數和數”問題，其實是借助形的幾何直觀性來闡明幾個數之間的關系，這就是數形結合思想中的“以形助數”，它有利于協調發展學生的抽象思維、形象思維，優化解決問題的方法。教師在教學中遇到難講的題目時，可以找一找數和形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決問題，從而得到一條捷徑，促使學生學得輕松愉快，更加有效地解決數學問題。

注：本文系廣西教育科學“十三五”規劃課題“美術效應在小學數學教學中的價值研究”（編號：2017C253）的研究成果。

【作者簡介】朱嘉松（1968— ），男，漢族，廣西賀州人，高級教師，賀州市平桂區黃田鎮里寧小學科技輔導員，研究方向為中小學數學教育、美術教育;劉燕萍（1970— ），女，漢族，廣西賀州人，高級教師，研究方向為中小學數學教育。

（責編 楊 春）