基于APOS理論的二次函數概念教學設計

楊靈娥 丘文斯

【摘 要】概念教學是數學教學中常用的教學方式之一，但如何開展概念教學，使學生不僅能理解概念的生成過程，還能形成對概念的抽象理解并將其運用是很多教師感到困擾的問題。本文以“二次函數”的概念教學為例，運用APOS理論進行教學設計，使學生體驗二次函數的推理過程并形成抽象理解，希望為數學概念教學提供參考和借鑒。

【關鍵詞】APOS理論;二次函數;概念教學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0033-02

美國教育家、數學家杜賓斯基基于傳統的概念教學模式和學生數學學習特點提出了APOS理論，把概念教學分為四個階段，即活動階段、程序階段、對象階段、圖式階段。教師基于APOS理論開展概念教學，能夠創新概念教學模式，把教學的重心轉移到概念生成過程中，使學生能更好地認識概念的二重屬性[1]。

因此，本文嘗試基于APOS理論進行二次函數概念教學設計，讓學生了解二次函數概念的推理過程，并能夠把二次函數抽象成對象進行理解和運用。以下是基于APOS理論的二次函數概念教學設計。

1? ?活動階段

在活動階段，教師需要創設合適的情境，為學生提供理解概念的背景，使學生通過適當的操作活動體會數學概念的背景，并理解數學概念產生的原因和意義，即在活動階段通過引導學生自主操作，使學生體會數學概念的形成過程[2]。

【教學設計】

教師引導學生回顧常量與變量、函數的概念及其表示方法，并提出三個問題，創設二次函數概念的教學情境：

問題1：正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x的關系怎樣表示？

問題2：某廣告公司要設計一個周長為20米的矩形廣告牌，設矩形廣告牌的一邊長為x米，面積為S，則S與x間的關系如何表示？

問題3：某工廠 2018年某種產品的產量為20噸，該產品產量的年平均增長率為x，設2020年該產品的產量為 y，則 y與x的關系應該怎樣表示？

學生經過思考，不難解決上述三個問題：① y=6x2;② S=x（10?x）;③ y=20（1+x）2。

教師追問學生：上述三個問題得到的結果是否能構成函數？有哪些變量？其中自變量是什么？若能構成函數，它們在結構上存在什么相同之處？

【設計意圖】

教師通過創設具體情境，使學生感受現實生活與二次函數概念間的關系，為學生理解二次函數的概念提供知識背景。學生通過分析和解決問題能夠發現，存在一種陌生的函數且自變量的最高次數為2，但學生還無法抽象出二次函數的概念。

2? ?程序階段

在程序階段，學生經歷了對概念的操作過程，可以把在這一過程中形成的經驗和材料作為思維對象，進行思考和建構，并抽象出概念。在這個階段，學生不再需要依靠提示或輔助條件學習概念，而是可以內化、抽象、反思活動階段的經驗，掌握概念的所有屬性[3]。

【教學設計】

問題1：請同學們觀察以下三個函數，從解析式看有什么共同點與不同點。① y=6x2;② S=x（10?x）=?x2+10x;③ y=20（1+x）2=20x2+40x+20。

通過觀察，學生不難發現，上述函數的解析式中未知數的最高次數都為2，且每一個解析式都存在未知數的最高次數為2的一項。不同點在于，三個解析式中，有些含有一次項和常數項，有的沒有。

隨后教師引導學生討論，在這一類函數中最重要的、不可缺少的是哪一項。學生不難發現，含有未知數的最高次數為2的一項是三個解析式中共同存在的，因此它是這一類函數中十分重要且不可缺少的一項。接著，教師引導學生回顧一次函數的概念及其一般形式，嘗試說出二次函數的一般形式及二次函數的概念。在得出二次函數的概念后，教師通過類比一次函數解析式中k≠0的要求和一次項的概念，引導學生理解二次函數解析式中a≠0的要求，以及二次項、一次項和常數項等概念。

【設計意圖】

教師設置問題引導學生思考活動階段例子的本質特征，學生通過小組討論歸納出二次函數的共同特征，并把這些共同特征與一次函數類比，形成二次函數的一般形式，并在教師的引導下抽象出二次函數的概念。在這一階段，學生通過活動階段積累的知識體驗，能夠抽象出二次函數的概念和一般形式。

3? ?對象階段

在對象階段，學生已經理解了概念的全部屬性，并能將概念抽象為一個整體進行理解和應用，即學生能夠把概念作為獨立的對象，完成相關的數學運算。在這一階段，教師需要通過設置各種類型的題目訓練學生對概念的抽象和運用能力，使學生能理解概念的對象屬性。

【教學設計】

問題1：下列函數中（x，t是自變量），哪些是二次函數？①y=+3x2;②y=x2?x3+25;③y=2x2+2x;④s=1+t+5t2。

問題2：下列函數中，哪些是二次函數？分別指出二次函數中的二次項、一次項和常數項。① y=?x2;② y=

x+;③ y=x（1?x）;④ y=（x+3）2?x2;⑤ y=3（x?1）2+3。

問題3：若正方形的邊長是4 cm，當它的邊長增加x時，面積增加 y。①寫出 y與x之間的關系式;②當邊長增加3 cm時，面積增加多少？③當面積增加48 cm2時，邊長增加多少？

問題4：某工廠計劃為一批長方體的產品表面涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5 m。①長方體的長和寬用x表示，長方體的表面積S的表達式是什么？②如果油漆每平方米所需要的費用是5元，每個長方體所需油漆費用用 y表示，那么 y的表達式是什么？

【設計意圖】

對象階段的主要目標是通過習題使學生把二次函數當作一個整體對象進行理解和運用，把對二次函數概念的理解上升為易于把握本質的抽象對象。因此，筆者在這一階段的習題設置中，不僅設置了從形式上理解二次函數的解析式，還要引導學生建立二次函數模型，使學生理解二次函數的概念，解決實際問題。

4? ?圖式階段

數學概念之間存在著許多聯系，圖式階段就是使學生建立起概念之間聯系的過程，即學生將前三個階段與原有的數學概念之間的關系整合到自己的認知結構中，形成新圖式的過程。

【教學設計】

問題1：函數 y=ax2+bx+c在何時分別是二次函數、一次函數、正比例函數？你能寫出二次函數的幾種特殊

形式？

問題2：已知關于x的函數 y=（m+4）+（n?2）x+4。①當m、n滿足什么條件是一次函數？②當m、n滿足什么條件是二次函數？

【設計意圖】

在圖式階段，學生不僅能夠形成對二次函數概念的抽象理解，實現對二次函數的實際運用，而且能將二次函數的概念與認知結構中已有的知識經驗結合起來理解，并建立起聯系，讓二次函數以一種綜合的心理圖式存在于腦海里。在這一階段，教師通過問題引導學生思考二次函數與一次函數、正比例函數等知識的聯系和區別，將二次函數的概念與這些知識結合起來，能促進學生對二次函數的概念的深刻理解。

總之，我國現行的數學概念教學模式存在重視概念應用、輕視概念推理過程的問題，APOS理論是解決這一問題的理論工具。基于APOS理論開展概念教學設計，不僅能夠充分體現概念的二重性，還可以使學生在經歷概念生成的過程中加深對概念的理解[4]。本文嘗試運用APOS理論進行概念教學設計，希望這一教學方法能對廣大教師有所啟發。

【參考文獻】

[1]喬連全.APOS：是一種建構主義理論[J].全球教育展望，2001（3）.

[2]程華.APOS理論的內涵及其對中學數學概念教學的啟示[J].教學與管理，2010（24）.

[3]張敏，李軍，孫迪.基于APOS理論下數學史融入一元二次方程概念教學設計[J].數學教學通訊，2019（35）.

[4]余小萍，李云杰.基于APOS理論的“函數的概念”教學設計[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（20）.

【作者簡介】

楊靈娥（1963～），女，漢族，山西長治人，博士，教授。研究方向：數學教育。

丘文斯（1995～），女，漢族，廣東韶關人，佛山科學技術學院與大數據學院學科教學（數學）專業2019級碩士研究生。研究方向：數學教育。