論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何模型的應(yīng)用

【摘 要】代數(shù)與幾何作為初中數(shù)學(xué)的兩大教學(xué)模塊相輔相成。代數(shù)重運(yùn)算，幾何重邏輯推理，在兩個(gè)模塊的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能力培養(yǎng)的指向不同，側(cè)重點(diǎn)也不一樣，雖然二者在初始教學(xué)階段相對獨(dú)立，但最終會(huì)相互融合。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中反映，課堂上知識(shí)聽得懂，但下手就出問題，沒有思路，找不出問題的切入點(diǎn)，難以做到與所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。對此，教師要改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，將“雙基”與數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，真正學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的作用，進(jìn)而達(dá)到提升教學(xué)效果的目的。

【關(guān)鍵詞】幾何模型;數(shù)學(xué)思想;初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0062-02

1? 幾何模型應(yīng)用的必要性

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)建模過程，發(fā)展模型思想，思其目的，就是要改變基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)的抽象性、應(yīng)試性，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)用性和研究性[1]。現(xiàn)階段，新課標(biāo)要求課堂教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與生活的聯(lián)系，與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，新的教學(xué)方式發(fā)生了很大轉(zhuǎn)變，但要實(shí)現(xiàn)質(zhì)變，仍有一定難度。學(xué)生對模型的認(rèn)識(shí)較少，想要做到掌握并靈活運(yùn)用更是難上加難，嚴(yán)重制約了學(xué)生邏輯思維能力與實(shí)踐應(yīng)用能力的提高。為此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中的應(yīng)用既是必然的，也是必要的。

2? ?幾何模型應(yīng)用的優(yōu)勢

模型式教學(xué)，相比典型問題教學(xué)架構(gòu)小，但在應(yīng)用的延展性和對知識(shí)點(diǎn)的整合方面有很大優(yōu)勢，更難得的是，它易于學(xué)生掌握，能促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思想的培養(yǎng)，讓學(xué)生從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始，逐漸養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)建模求解問題的思維和習(xí)慣。

2.1? 能最大限度整合知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)，全等與相似、平行四邊形與三角形、圖形變換與特殊平行四邊形等知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)比較自然，這部分內(nèi)容的整合學(xué)習(xí)能大幅提升學(xué)生的知識(shí)綜合運(yùn)用能力，增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問題的能力，更重要的是，學(xué)生研究問題的能力也能進(jìn)一步得到提升，對問題中遇到的模型，當(dāng)現(xiàn)有方法不能解決時(shí)，學(xué)生能嘗試發(fā)散思維，從其他角度思考模型的應(yīng)用，擴(kuò)展模型應(yīng)用范圍。這樣能讓學(xué)生從單一的知識(shí)理解與應(yīng)用，逐步上升到對問題的深入研究，在潛移默化中形成和鍛煉數(shù)學(xué)思想，歸納和拓展數(shù)學(xué)問題的解決方法。

2.2? 延展性好，便于升級改造

隨著知識(shí)的豐富，幾何模型的應(yīng)用范圍從局限的“特征”“結(jié)論”拓寬到廣域的作用，再到綜合類實(shí)際問題的求解，解決問題的類型范圍更廣，難度更大，其功能性得到較大提升。不僅如此，相同條件下，結(jié)合不同信息構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，彼此間可以形成共振，一個(gè)幾何模型的形成也會(huì)促成另一模型的構(gòu)建，為模型相關(guān)性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件，使模型互聯(lián)互通，相輔相成。如三角形一邊垂線與一角的平分線二線合一時(shí)，會(huì)觸發(fā)等腰三角形模型的形成，同時(shí)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到中線，能發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)，為三角形中位線模型的建立創(chuàng)造條件。模型間關(guān)系的建立，能為問題的解決找到新的突破口，促進(jìn)模型延展性的進(jìn)一步發(fā)展，其功能也能得到進(jìn)一步提升，而學(xué)生收獲的是思想的拓展，多維度分析問題、數(shù)學(xué)思想運(yùn)用也更加熟練，模型應(yīng)用的靈活度也更強(qiáng)。

2.3? 應(yīng)用范圍廣，研究性好

幾何模型一旦構(gòu)建，其應(yīng)用的方法大多數(shù)情況下是不變的，只是會(huì)改變模型應(yīng)用的問題環(huán)境。如關(guān)于最短路徑問題，從最初的“將軍飲馬”到平面直角坐標(biāo)系中的“求函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)”，再到特殊的平行四邊形（菱形、矩形或正方形）計(jì)算兩點(diǎn)間距離，從“兩定一動(dòng)”問題，再到“一定兩動(dòng)”和“三動(dòng)點(diǎn)”問題，研究的方法都要先確定其中“一個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)”。通過改變問題環(huán)境，兼顧考查相關(guān)知識(shí)的特性。學(xué)生在研究問題的過程中，也會(huì)潛移默化地使用數(shù)學(xué)思想，所以用好模型對提升學(xué)生的知識(shí)綜合應(yīng)用能力有很大的幫助。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生研究問題會(huì)以熟悉的幾何模型作為問題的切入點(diǎn)，如果分析物體的受阻情況，也會(huì)嘗試新的思維角度，通過順向思維、逆向思維甚至多向思維，克服思維定勢，開闊建模思路。

3? ?幾何模型的構(gòu)建

幾何模型的構(gòu)建是分層次的，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中通過實(shí)戰(zhàn)練習(xí)，類比歸納，不斷總結(jié)充實(shí)。

模型是顯性的，學(xué)生要善于發(fā)現(xiàn)，能夠從復(fù)雜的圖形環(huán)境中抽離出來，結(jié)合已知條件，圍繞模型進(jìn)行信息整合。如在矩形圖形中進(jìn)行翻折變換，能發(fā)現(xiàn)矩形對邊平行的性質(zhì)和翻折變換出現(xiàn)的角平分線相互作用，會(huì)構(gòu)建等腰三角形模型。

模型是隱性的，學(xué)生要學(xué)會(huì)構(gòu)造。學(xué)生需要整合關(guān)鍵信息，找出某一特定圖形的輔助線制圖，這有利于學(xué)生突破幾何問題中輔助線制圖的難點(diǎn)，也是提升學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力的途徑之一。如建立兩條線段中點(diǎn)，同時(shí)觀察到兩條線段存在公共端點(diǎn)，連接另外兩個(gè)端點(diǎn)，便可構(gòu)造中位線所在三角形，而如果兩條線段并沒有公共端點(diǎn)，則要通過取第三條線段中點(diǎn)構(gòu)建多條三角形中位線，以發(fā)揮橋梁紐帶的作用[2]。同一模型對不同知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用也不盡相同，既有關(guān)聯(lián)，亦有區(qū)分。如一線三垂構(gòu)建的“M”字模型，關(guān)聯(lián)三角形全等，可證“對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等”，而關(guān)聯(lián)三角形相似，則可利用對應(yīng)邊成比例計(jì)算邊長或計(jì)算拋物線上特定點(diǎn)的坐標(biāo)。這樣的模型搭建還有很多，如等腰三角形常用模型，見“底邊中點(diǎn)”，常常連接頂點(diǎn)和底邊中點(diǎn)，構(gòu)建等腰三角形中線模型，又可根據(jù)三角形的特殊性，聯(lián)系“三線合一”的性質(zhì)。如果三角形的形狀再特殊一些，是等腰直角三角形，則又可聯(lián)系“斜邊中線等于斜邊一半”的特性。不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)建模中，知識(shí)間的聯(lián)系更緊密，學(xué)生的思維能得到多維發(fā)散，知識(shí)的運(yùn)用能得到較大提升。特別在學(xué)習(xí)平行四邊形的過程中，重要的幾種幾何模型，如“角平分線+兩直線平行”，構(gòu)建等腰三角形;“一邊中點(diǎn)+兩直線平行”，構(gòu)建“8”字形全等三角形;“一邊中點(diǎn)+倍長另一線段”，構(gòu)建平行四邊形等，將成為學(xué)生解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵，久而久之，為學(xué)生解決復(fù)習(xí)問題奠定扎實(shí)的模型基礎(chǔ)。

4? ?幾何模型的應(yīng)用

4.1? 注重積累

“工欲善其事，必先利其器。”學(xué)生要想利用模型化解難題，必須建立屬于自己的“模型庫”。模型的來源主要有兩個(gè)方面，一方面，借助日常的課堂教學(xué)，通過探究、開放性問題設(shè)計(jì)和類比探索，教師可以引導(dǎo)學(xué)生由條件的特殊性發(fā)現(xiàn)模型，用切身的體驗(yàn)感受數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)模型建構(gòu)意識(shí);另一方面，也是更重要的，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)在日常生活學(xué)習(xí)中，通過典型問題自主累積幾何模型。課堂的時(shí)間有限，但模型的世界無限，教師不可能把所有數(shù)學(xué)模型都教給學(xué)生，所以，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主探究、總結(jié)歸納才是模型庫不斷充實(shí)的主要途徑，以共性條件分類匯總，建立自己的模型條件樹等都是不錯(cuò)的常用方法。

4.2? 抓好關(guān)鍵條件，培養(yǎng)“靶向”思維

模型雖好，關(guān)鍵在用。教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建幾何模型，也要讓學(xué)生明確“為什么這樣建立模型”。如圓的問題中，經(jīng)常涉及“90°圓周角”的模型構(gòu)建，教師可向?qū)W生提問：“你是怎樣想到這樣做輔助線的？”學(xué)生回答：“因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角。”學(xué)生能明確關(guān)鍵的條件在“直徑”。教師要在教學(xué)中讓學(xué)生明確建立模型的關(guān)鍵條件是什么，建立幾何模型與對應(yīng)關(guān)鍵條件的關(guān)聯(lián)，確定的條件指向確定的模型，培養(yǎng)學(xué)生的慣性思維。“靶向思維”不只存在于條件和模型上，模型和方法間、模型和問題類型間也有必然關(guān)系。如選擇和填空題，常用特殊值法。相似三角形一旦確立，必然會(huì)指向?qū)?yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等。求證相似的目的，絕大多數(shù)情況下會(huì)指向相似的性質(zhì)。筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，個(gè)別學(xué)生在面對計(jì)算兩邊比值問題時(shí)，不知道關(guān)聯(lián)相似三角形知識(shí)，這就是“靶向思維”缺乏的表現(xiàn)。所以，“靶向思維”也是分析問題、關(guān)聯(lián)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的必要能力之一，這也是教師在日常教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注、加強(qiáng)訓(xùn)練的重要

方面。

4.3? 做到靈活應(yīng)用，不受模型所限

模型雖好，但也不是萬能鑰匙。更何況，個(gè)別模型的用法具有多樣性，一道問題包含的模型數(shù)量也不唯一。無論是誰，在面對問題，選擇方法上總會(huì)受“習(xí)慣”的影響。而習(xí)慣，主要是學(xué)生的思維特點(diǎn)和熟練度的問題。舊知識(shí)比新知識(shí)上手早，意識(shí)上先入為主，思維直接，使用上也更稱手，但只有對比后才能發(fā)現(xiàn)新方法的優(yōu)勢所在。熟悉的模型應(yīng)用一旦受阻，解題思路也會(huì)受阻。因此，模型的選擇要既要學(xué)會(huì)用，也要學(xué)會(huì)活用，要跳出固有的思維局限，針對相應(yīng)的問題和條件，觀察和發(fā)現(xiàn)其他幾何模型，平時(shí)積累模型要有意識(shí)、有針對地做好區(qū)分歸類，多嘗試一題多法，多對比選擇，做到活學(xué)活用，發(fā)揮模型的優(yōu)勢，真正實(shí)現(xiàn)模型的巧用、活用。

數(shù)學(xué)是一門抽象性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，雖然教師采用生動(dòng)多樣的課堂模式激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，但仍有很多學(xué)生學(xué)得困難，學(xué)得枯燥。將數(shù)學(xué)模型引入教學(xué)，不但使看似很難的問題變得簡單，而且能提升學(xué)習(xí)的趣味性，提升學(xué)生鉆研問題的樂趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得成就感，更重要的是，它能培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和意識(shí)，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力。模型化教學(xué)方式還有很長的路要走，相信經(jīng)過教師的不斷探索和實(shí)踐，一定可以使課堂教學(xué)的效率發(fā)生質(zhì)的飛躍。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]胡烏云.試論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何體模型的應(yīng)用[J].讀與寫

（下旬刊），2018（2）.

【作者簡介】

王濤（1979～），男，漢族，山東膠州人，本科，中學(xué)一級教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。