例談高中數學建模教學

摘 要：建模是運用數學知識解決實際問題的重要步驟.學生建模能力的強弱與其數學學習成績的好壞有著緊密的聯系.授課中為使學生更加深刻的認識不同數學模型，并能靈活用于解答實際問題，應做好相關例題的講解，使其更好的掌握運用數學模型解答實際問題的思路與技巧.

關鍵詞：高中數學;建模;教學;例談

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）27-0020-02

收稿日期：2021-06-25

作者簡介：蔡于兵（1980.1-），男，江蘇省泰興人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數學模型是基于對問題本質的理解，通過概括與抽象，運用數學語言描述的一種數學結構.高中數學涉及很多的模型，其中函數模型、概率模型、數列模型在測試中的出現頻率較高.為使學生掌握并靈活應用這些模型，有必要進行針對性的講解.

一、函數模型的教學

為使學生能夠從實際的情境中抽象出對應的函數模型，應注重為學生深入的講解函數模型的建立步驟、技巧，尤其通過函數模型的求解，使其掌握函數模型的求解思路.一般情況下，構建函數模型后往往運用函數性質求出最終的結果.

例1 銷售甲、乙兩種商品獲得的利潤分別是P、Q（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）存在的關系為P=35t，Q=15t，若將a（a>0）萬元資金投入甲、乙兩種商品，其中對甲商品的投資為x（單位：萬元）.如何分配投入資金才能使得總利潤y（單位：萬元）最大？

根據題意需要構建總利潤y與x的函數模型.乙的投資為（a-x）萬元，則易得：y=35x+15（a-x）（0≤x≤a）.則令x=t，則x=t2，則y=35t+a-t25=-15（t-32）2+9+4a20（0≤t≤a）.當a≥32時，此時a≥94，當t=32，x=94時，y取得最大值.當a<32時，此時0

綜上，當0

二、概率模型的教學

建立概率模型應通過審題明確問題所述的概率類型.通過回顧對應概率類型的計算公式，構建對應的模型.當然在構建概率模型時應注重善于從問題的反面出發，以簡化解題步驟，提高解題效率.

例2 在某項體能測試中，要求每名學生必須參加且最多兩次，若第1次測試通過則不再參加第2次測試.否則將參加第2次測試.如果甲同學每次通過的概率為23，乙同學每次通過的概率為12，甲乙每次是否通過相互獨立.（1）求甲乙至少有一人通過體能測試的概率;（2）計X為甲乙兩人參加體能測試的次數和，求X的分布列和期望.

根據題意（1）甲未通過測試的概率P1=（1-23）（1-23）=19，乙未通過測試的概率P2=（1-12）（1-12）=14.則至少有一人通過測試的概率P=1-P1P2=1-19×14=3536.

（2）X=2，3，4，則X的分布列為：

X234P131216

∴E（X）=2×13+3×12+4×16=176.

三、數列模型的教學

構建數列模型時往往有明確的關鍵詞，如以后每年比上一年多（少）時則需要構建等差數列模型.如以后每年是上一年的多少倍（百分之幾）則需要構建等比數列模型.然后根據題意運用等差、等比數列的相關公式求解，完成題目的作答.

例3 甲、乙兩個企業向簽約10年的員工提供了兩種均為稅后的工資計算方式.甲公司第一年提供10萬元的年薪，而后每年上漲20%;乙公司第一年提供20萬元的年薪，而后每年上漲5%;若僅考慮收入水平，你會選擇哪個公司，并說明理由.已知1.210≈6.19，1.0510≈1.63.

分析可知甲乙兩公司提供的工資計算公式均為等比數列模型.其中甲公司工資計算方式構成以10為首項，以1.2為公比的等比數列.乙公司工資計算方式構成以20為首項，以1.05為公比的等比數列.則an=10×1.2n-1，bn=20×1.05n-1，則S1=10（1-1.2n）1-1.2=50（1.2n-1），S2=20（1-1.05n）1-1.05=400（1.05n-1），當n=10時，S1≈259.5>S2=252，因此，僅考慮收入水平去甲公司比較劃算.

再如，某個企業去年的純利潤是500萬元，由于設備老化因素影響，生產能力逐年下降，如果不能夠及時進行技術升級，預計從今年起每年純利潤較上年降低20萬元，在年初時，投入600萬元進行技術升級，在未扣除技術改造資金時，第n年的利潤是500（1+12n）萬元，今年作為第一年，n是正整數.（1）從今年起的前n年，不進行技術升級，累計純利潤是An，技術升級之后的純利潤（取出技術升級資金）是Bn，求解出An和Bn的表達式.（2）從今年起算起，經過多少年之后，技術升級后的純利潤超過沒有技術升級的純利潤.

在數列模型構建時，教師需要加強課堂引導，讓學生認真審題，分析題目意思，保證模型建構的準確性.

在利用數列模型解題時，需要讓學生思考所學習的等差和等比數列知識，全面理解題目內容，構建正確的數學模型，完成問題的分析和求解.

四、不等式模型的教學

在高中數學中，不等式是重要的基礎知識，其題目類型較為復雜多變，而且不少題目和日常生活有關.在實際的不等式解題中，需要學生構建不等式模型，利用均值不等式知識完成解題.對于高中學生來說，部分學生缺乏建模意識和能力，無法完成題目情境向數學問題的轉化，使得學生解題存在一定的難度.作為高中數學教師，應當以具體題目作為基礎，讓學生完成不等式模型構建，掌握不等式模型構建方式，提高學生不等式模型構建能力.

例4 某貨船在甲乙兩點運送貨物，貨船最大速度是35km/h，甲乙兩地之間的距離是500km.貨船每小時航行成本包括燃料以及其他費用，燃料費用和速度平方成正比，系數是0.6，其余費用是960元每小時.（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度x的函數.（2）貨船航行以多大速度，全程的運輸成本最少？

在構建不等式模型時，需要準確找到參數之間的關系，根據兩地之間的距離讓學生分析參數關系，先表示出從甲地到乙地的時間，根據貨船行駛速度可以得出時間是500/x小時，根據題意構建數學模型，y=500x·0.6x2+960·500x=480000x+300x（0

因此，通過此題目的講解，讓學生可以更加全面的了解不等式模型解題策略，僅僅正確寫出表達式是不夠的，還需要去對定義域進行分析，保證最終計算結果的準確性.在此題解答中，當y取最小值時，x的取值并不在定義域的范圍內，因此，不能夠直接使用均值不等式進行求解.在高中數學解題中，教師應當避免學生的定勢思維，引導學生靈活利用模型解題，保證解題效率和準確性.

高中數學建模教學過程中，不僅要為學生講解具體的例題，更要注重在課堂上預留一定的時間鼓勵學生反思與交流，使其把握不同數學模型特點，掌握數學建模的相關細節.同時，要求學生在課下及時開展相關的專題訓練活動，積累相關的數學建模技巧，實現數學建模水平的進一步提升.

參考文獻：

[1]王薇.淺談高中數學建模課程實施的路徑[J].高中數理化，2020（24）：25.

[2]王斌瑜.基于建模能力培養的高中數學教學探究[J].理科愛好者（教育教學），2020（06）：104-105.

[責任編輯：李 璟]