由“最多能分多少個三角形”引發(fā)的思考

張銀環(huán)

[摘 要]培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，教師要引導(dǎo)學(xué)生細心觀察、先猜想后驗證，并學(xué)會有效運用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，給學(xué)生的探究提供方法上的支持;要相信學(xué)生的能力，大膽放手，當(dāng)學(xué)生遇到難以解決的問題時，適度地“扶”，確保學(xué)生探究的有效進行;語言上對學(xué)生進行激勵和鼓勵，讓學(xué)生有自主探究的動力和信心，并將探究內(nèi)化為自覺的行動，延伸到各種學(xué)習(xí)中。

[關(guān)鍵詞]探究能力;三角形;培養(yǎng)

“最多能分多少個三角形”是蘇教版教材五年級“平面圖形的面積”單元中一個常見的數(shù)學(xué)問題。筆者曾帶領(lǐng)學(xué)生解決過這樣一道題：有一張長20厘米、寬14厘米的長方形彩紙，把它裁成底和高都是4厘米的直角三角形（不能拼接），最多能裁多少個？學(xué)生的基本做法：20÷4=5（長方形的長可以分成5個4），14÷4=3……2（厘米）（長方形的寬可以分成3個4，還多2厘米），5×3=15（個）（可以裁成15個邊長為4厘米的正方形），最后再由15×2=30（個）得出結(jié)論“能分30個這樣的三角形”。其中一個男同學(xué)若有所思地說：“老師，我覺得還可以裁出更多的三角形。”筆者笑著說：“那你先畫圖，畫好了再把裁剪的方法告訴老師，好嗎？”本是不經(jīng)意的一句話，沒想到這個男同學(xué)課后真的給筆者送來了一張裁剪示意圖（如圖1）。

看了這張示意圖，筆者特別慶幸當(dāng)時鼓勵他繼續(xù)思考，讓他迸發(fā)出如此絢爛的思維火花。為了讓筆者更明白他的意圖，他還特意解釋道：“老師，我是按實際長度畫的，邊長為6厘米的正方形里面的三角形我也用量角器測量了，其中一個角是90°，底和高也是4厘米。這樣分的話，可以裁33個，比計算的30個要多。”筆者十分佩服他的探究精神，同時也意識到教師的一句評價對學(xué)生來說是多么的重要。筆者想了想，對他說道：“老師真的很佩服你敢于質(zhì)疑、有想法就動手驗證的精神！你的這個思路完全正確，老師都沒有想到還可以這么分！”然后，筆者很認真地用勾股定理跟他解釋了他所畫的邊長為6厘米的正方形里面的直角三角形的底和高并不是4厘米，但完全可以按這個方法切分，實際上當(dāng)這個正方形的邊長接近5.7厘米時，是可以裁成4個底和高都是4厘米的直角三角形的，也就是說確實能裁33個三角形。

這件事讓筆者深思：學(xué)生的潛能究竟有多大？怎樣激發(fā)學(xué)生的探究能力？教師能為學(xué)生探究能力的培養(yǎng)做些什么？

一、滲透數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生探究能力的形成提供支持

學(xué)生會探究，離不開思想方法的支撐，離不開探究經(jīng)驗的積累。教師要教給學(xué)生多種數(shù)學(xué)思考方法，讓他們將其轉(zhuǎn)化為自己的思考方式，并形成能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多數(shù)學(xué)思想和方法可以向?qū)W生滲透。

1.觀察比較的方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，仔細觀察是一種重要的探究能力。從低年級開始，教師就要培養(yǎng)學(xué)生仔細觀察的習(xí)慣。一位教師在教學(xué)“間隔排列”時，一開始便出示兩幅圖，要求學(xué)生仔細觀察，找出不同，然后告訴學(xué)生要學(xué)會觀察、善于觀察才能學(xué)好數(shù)學(xué)。出示例題情境圖時，她一組一組出示地物體，讓學(xué)生自主觀察、進行比較，說出發(fā)現(xiàn)。學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這幾組物體的排列都是有規(guī)律的。探究間隔排列的兩種物體的數(shù)量關(guān)系時，教師同樣要求學(xué)生細心觀察，將幾組圖進行比較。最后的總結(jié)，教師特別強調(diào)學(xué)會觀察的重要性。

觀察是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所謂“磨刀不誤砍柴工”，傳授知識的同時教會學(xué)生用什么方法學(xué)是很重要的。

2.先猜想后驗證的思想

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的綜合實踐、圖形的特征、公式的推導(dǎo)等，都可以滲透先猜想后驗證的方法。例如“圓的認識”一課，在探究圓內(nèi)直徑與半徑的特征時，學(xué)生可以先思考，猜想圓的直徑和半徑的特征，再通過畫一畫、量一量、折一折等驗證自己的猜想，得出結(jié)論。

3.轉(zhuǎn)化的方法

面對復(fù)雜的問題，可將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題來解決，使難以解決的問題變得簡單。蘇教版教材中很多新知的學(xué)習(xí)和探究，都是利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。例如，“平行四邊形的面積”教學(xué)，就是將平行四邊形進行切割、平移，使之變成長方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形面積公式的。蘇教版教材五年級下冊有專門的解決問題的策略——轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法無論在數(shù)的領(lǐng)域還是形的領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，對學(xué)生以后的數(shù)學(xué)研究起著重要的作用。作為教師，要理解教材意圖，將轉(zhuǎn)化思想滲透給學(xué)生，為學(xué)生探究能力的形成和提高提供保障。

4.數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法。解決復(fù)雜的行程問題時，畫線段圖可以引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解題意，清晰地看出題中的數(shù)量關(guān)系。例如，“雞兔同籠”問題，通過簡單的示意圖就能形象地理解看似復(fù)雜的問題。例如計算“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]”，如果在一個正方形里分別表示這些分數(shù)，就能輕松得出答案1-[132=3132]。

此外，“化曲為直”“一一對應(yīng)”等數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中都有體現(xiàn)。課堂上，教師不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)探究與思考的方法，更要善于總結(jié)，鼓勵學(xué)生自覺應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想方法進行探究學(xué)習(xí)。

二、有“扶”有“放”，為學(xué)生探究能力的施展搭建平臺

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的主陣地，探究新知時，教師要給予學(xué)生充分的探究機會和時間，為學(xué)生搭建探究的平臺。學(xué)生的潛能是無限的，教師大膽地“放”，學(xué)生便能養(yǎng)成遇事主動探索、樂于探索的習(xí)慣，形成探究能力。

一位教師在教學(xué)“表面涂色的正方體”時，出色地演繹了“放”。他只是給學(xué)生提供了研究的切入點：三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體分別在正方體的什么位置（要求學(xué)生明確先干什么再干什么）。在整個探究活動中，學(xué)生自主觀察、自主操作、自主交流，就連匯報也都是學(xué)生自主完成：學(xué)生介紹發(fā)現(xiàn)了什么，其他學(xué)生補充;有疑問，學(xué)生大膽提出，疑問的解決也由學(xué)生完成。這樣的課堂，學(xué)生真正體會到了探究的樂趣，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這就是“放”的魅力。畢竟，來自學(xué)生主觀的體驗，遠比被動接受知識效果好。

對于學(xué)生自主探究時不能解決或難以解決的問題，教師應(yīng)當(dāng)適度地“扶”一下。筆者在初次教學(xué)“圓的周長”時，讓學(xué)生自主嘗試測量圓的周長，發(fā)現(xiàn)學(xué)生只想到用“繞線法”進行測量，而不知道還可以用“滾測法”，經(jīng)反思發(fā)現(xiàn)這是學(xué)生生活經(jīng)驗缺失所致。對此，筆者改進了教學(xué)設(shè)計：在導(dǎo)入環(huán)節(jié)“初識圓的周長”中，用PPT呈現(xiàn) “車輪滾一圈”的動畫情境。有了這樣有意識地“扶”，學(xué)生實際測量時自然想到了“滾測法”。

“扶”與“放”，要結(jié)合實際，學(xué)生能解決的問題，大膽地“放”;學(xué)生難以解決的問題或解決過程中遇到困難的，則選擇性地、智慧地“扶”。如何把握這個度，就要看教師的基本功了。

三、激勵性的語言，為學(xué)生探究能力的發(fā)展添加催化劑

教師的一句話，往往對學(xué)生影響至深。作為教師，應(yīng)充分相信學(xué)生的能力，鼓勵學(xué)生敢于質(zhì)疑、樂于探究，不輕易否定學(xué)生的想法，不吝嗇自己的激勵性語言，多問問“還有不同的意見嗎？” “還有不明白的地方嗎？”“能想辦法試一試嗎？”

評價學(xué)生時，要對學(xué)生在回答問題時和探究過程中的表現(xiàn)給予肯定和鼓勵。某教師在教學(xué)“多邊形的面積”時，對學(xué)生的評價就對學(xué)生探究能力的發(fā)展有著重要的意義：在展示學(xué)生把五邊形分成三個三角形的畫法時，對畫得好的學(xué)生進行評價：“你畫得很有條理，做到了有序。”當(dāng)一個學(xué)生說出“每增加一條邊，多邊形的內(nèi)角和就增加180°”時，她給出評價：“你的數(shù)感真棒！觀察真仔細！”當(dāng)有學(xué)生因畫法混亂而出錯時，她這樣鼓勵：“希望你以后畫圖時能做到有序。”

這樣的評價，既具體又有針對性，使學(xué)生知道自己好在哪里，不足在什么地方，更重要的是讓其他學(xué)生也能明白在探究時怎么做更好。輕聲細語中不但體現(xiàn)教育智慧，還對學(xué)生探究能力的培養(yǎng)和發(fā)展影響至深。

學(xué)生會探究、善探究、樂探究，往小了說，有助于他們的終身發(fā)展;往大了說，對一個國家和民族的未來影響深遠。作為教師，要教給學(xué)生探究的方法與思想，努力創(chuàng)造條件培養(yǎng)學(xué)生的探究能力使其成為一種自覺的個人能力，這就是教育的目標(biāo)和價值所在。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳志金.小學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)課堂“對話式教學(xué)”的實踐與思考[J].考試周刊，2020（75）：43-44.

[2] 王悅.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)自主探究式學(xué)習(xí)的實踐與嘗試[J].考試周刊，2020（75）：75-76.

[3] 溫明霞.小學(xué)數(shù)學(xué)教育中核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑探索[J].考試周刊，2020（9）：101-102.

（責(zé)編 黃春香）