注重概念生成，融合生物學的數學建模教學設計

劉園年 吳鐘華

摘 要：數學建模是當前教學研究的熱點，新課程標準對概念教學要求注重生成的過程.本文以“對數函數的概念”教學設計為例，將數學建模融入概念教學.以生物學問題為研究對象，注重數學建模的過程和對數函數概念的生成過程.讓學生更好的感受對數函數的實際應用和理解概念的本質.

關鍵詞：數學建模;對數函數;教學設計;生物學

一、教學內容的認識

“對數函數的概念”是新教材人教版必修第一冊第4.4節“對數函數”的第一節課，是在學習完指數函數和對數概念后進行的研究.與指數函數的抽象概括得到不同，教科書是通過演繹推理獲得對數函數的概念的.這一獲得的過程對同學們來說非常新穎，是非常重要的數學過程和體驗.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：認識對數函數，建立對數函數與指數函數的聯系;教學難點：（1）數學模型的建立（2）對數函數概念的生成

二、教學設計與實施

1. 從生物學出發構建模型

課堂開始，首先回顧4.2.1的問題2：

問題：當生物死亡后，其機體內原有的碳14含量會按確定的衰減比率（簡稱衰減率）衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？

師生回顧：

師：如果你就是考古學家，你覺得你對它的死亡時間感興趣嗎？有沒有什么辦法可以得知生物體的死亡時間？

生：感興趣，可以通過測出碳14含量來計算生物體的死亡時間.

師：是的，我們可以根據死亡時間推測該生物體生成所處的年代，如果是墓地還可根據墓地的形狀以及陪葬品，進一步確認主人的身份，推知當時的科學工藝水平等等.這對過去的歷史與科學文化的研究具有十分重要的意義.

【設計意圖】以“科學考古”為話題代入課堂學習中，激發學生的學習興趣和熱情. 從另一個角度繼續研究碳14衰減問題，讓學生在認識對數函數時也能感受到對數函數的實際背景，同時也讓學生進一步感受其中的函數模型.

師：作為考古學家的你，現在已經利用儀器，測出了死亡生物體內碳14的含量，那如何得知它死亡了多長時間呢？例如， 死亡生物體內碳14的含量為，那么死亡時間是？死亡生物體內碳14的含量為，那么死亡時間是？那么如果死亡生物體內碳14的含量為y，那么死亡時間是？

生：當y=，x=5730，當y=，，對任意.

【設計意圖】通過前兩個具體數例，幫助學生抽象概括出生物體內碳14的含量y與死亡時間x之間關系的數學模型. 體驗數學模型的建立過程.

2. 對數函數概念的生成

師：這樣我們就從原來的碳14含量y是死亡時間的函數，建立了死亡時間和碳14含量y間的一種對應關系.那么這種對應關系是函數關系嗎？

生：是

師：目前還不知道，我們需要如何去判斷呢？

學情預設：學生回答：只要判斷對于任意的一個y是否會有唯一確定的x和它對應

（在實際課堂中，學生對這一問題基本回答不上來，沒有頭序）

師：很好，大家說了一部分，判斷它是否是函數，應當從函數的概念出發.

師生活動：（共同回顧函數概念）設A、B是非空實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.

師：回到剛剛的問題，對照函數的定義，該如何判斷其是否是函數關系？

生：“任意一個數x，要有唯一的y和它對應”，“對應法則”等等，

師（引導回答）：需要驗證兩個方面①兩個非空實數集A和B ②確定的對應關系（“確定的”即是“任意一個數x，都有唯一的y和它對應”）

師（總結剛才的判斷過程）：判斷一個對應關系是否是函數關系，應當根據定義條件進行嚴格的驗證.

師生活動（共同歸納，并板書）：

師：集合A、B確實是非空實數集滿足①.那么如何判斷②確定的對應關系？

學情預設：學生：對任意一個數y∈A，看是否都有唯一的x∈B和它對應.

（在實際課堂中，大多學生的反應符合預設）

師：對的，我們可以利用函數圖象，先畫出函數的圖象，再過y軸正半軸上任一點作x軸的平行線，與該函數的圖象有且只有一個交點，這就說明，對于任意一個，通過對應關系，在上都有唯一確定的數x與它對應，所以x也是y的函數.

另一方面，由指數函數是單調的這一特點也可以進行判斷.

師：通過以上可以得知對應關系：也是函數關系，函數，y∈（0，1]刻畫了時間x隨碳14含量y的衰減而變化的規律.

【設計意圖】回顧函數概念后，學生從毫無頭序到找到思路，加強了對概念的理解和重視.在判斷的過程中對所需條件進行分析和一一驗證，也培養了學生嚴謹的研究作風. 其中利用指數函數圖像來判斷“確定的對應關系”， 可以感受圖像的直觀，讓學生感受數形結合的思想方法. 而從指數函數的單調性出發，則可以更加嚴謹的說明這一問題.

師：那么對于一般的底數a（教師板書：）和正數y，其得到的新的對應關系：x=logay是函數關系嗎？

師生（教師板書，共同回答）：由 y=ax（a>0且a≠1）可以得到x=logay（a>0且a≠1），x也是y的函數.習慣上，將寫x為自變量，寫y為因變量，即寫為y=logax，這就是今天要學習的對數函數.

一般地，函數叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是（0，﹢∞）.

【設計意圖】讓學生經歷“特殊到一般”的研究過程，體會“特殊到一般”的研究方法.

3. 對數函數概念的理解

師：回到對數函數的定義中，對數函數對它的底數有這樣的限制：，這是為什么呢？

學情預設：學生回答：因為對數函數是從指數函數中變化得來，所以也要與指數函數對底數的要求一致.

（實際課堂中，符合預設）

師：最后要說的定義域，也是通過轉換為x=ay 得到的，那你能通過這個轉化，說出對數函數的值域嗎？

生：值域為R.

師：從對數函數的定義域和值域上，我們還可以發現y=logax的值域等于y=ax的定義域，y=logax的定義域等于y=ax的值域，對數函數和指數函數有如此有趣、緊密的聯系，后面我們會繼續學習.

【設計意圖】通過理解概念，挖掘出對數函數和指數函數定義域和值域的關系，為之后反函數的講解鋪墊.

4. 例題

課本例1，例2

5.作業

校本作業

參考文獻：

[1]陳林.基于“數學建模理論”的高中生物學教學實踐研究[D].四川師范大學，2017.

[2]沈小軍，馮莉莉.數學模型在中學生物教學中的應用分析[J].讀寫寫（教教學刊），2019（01）.

[3]王穎喆.關于中學數學建模教與學的思考[J].數學通報，2020（59-11）.

基金項目：福建省教育科學“十三五”規劃2020年度教育教學改革專項課題 “基于‘數學建模理論’的高中生物新教材教學實踐研究”（課題編號Fjjgzx20-002）