帶電粒子在復合場中的運動研究

摘 要：帶電粒子在復合場中的運動是高中物理的重要知識，解決這類問題需要綜合運用力學和電磁學方面的知識，同時還需要用到一些數學知識。本文將從理論和計算機仿真模擬兩方面研究帶電粒子在復合場中的運動規律。

關鍵詞：高中物理;復合場;帶電粒子;數字教學資源;教育信息化

復合場是指重力場、電場、磁場中的兩者或三者同時存在于同一個空間。帶電粒子經過復合場時會同時受到多個力的作用，其中重力和電場力具有相似的性質，常常可以將重力和電場力等效為一個力。接下來我們將研究帶電粒子在圖1所示的復合場中的運動規律。設帶電粒子帶正電，電荷量為q，質量為m，重力不計。勻強電場的場強大小為E，方向豎直向下，勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。

一、初速度方向水平向右

當洛倫茲力與電場力平衡時，即，帶電粒子將以速度水平向右勻速直線通過復合場。若帶電粒子射入復合場時的速度v大于v0，其所受的洛倫茲力大于電場力，這時問題就會變得很復雜。我們可以將物體所受的洛倫茲力進行拆分（如圖2），一部分用于和電場力平衡，另一部分用于提供帶電粒子做勻速圓周運動的向心力。那么帶電粒子復雜的曲線運動就可看作是沿水平向右的勻速直線運動和沿逆時針方向的勻速圓周運動的合成，從而使問題得以解決。為此我們對帶電粒子的初速度v進行拆分（如圖3）。

將v分解為v0和v相，v相=v-v0，其中v0對應的洛倫茲力qv0B用于和電場力平衡，v相對應的洛倫茲力qv相B使粒子做勻速圓周運動。這樣帶電粒子一方面相對于復合場以速度v0向右做勻速直線運動，另一方面相對于圓心以速度v相為線速度做勻速圓周運動（如圖4）。粒子做勻速圓周運動的周期，相應的角速度，勻速圓周運動的半徑。設粒子在t=0時位于坐標原點O，t時刻圓心走過的位移為v0t，粒子繞圓心轉過的角度。

t時刻帶電粒子的橫、縱坐標分別為

整理以上各式，可得：

①

②

同理可以分析出，若帶電粒子射入復合場時的速度v小于時，帶電粒子受到的洛倫茲力小于電場力。將v分解為v0和v相，其中v0仍等于，方向水平向右，v相仍等于v-，但此時v相為負值，方向向左，圓周位于x軸下方。

通過上述分析，我們就能夠知道粒子的運動規律，對于某一時刻粒子的位置就可以確定下來。但是物體的運動軌跡如何？當速度變化時對粒子的運動會產生怎樣的影響？學生很難有直觀的感受。我們可以將上述理論分析過程借助數字教學資源，利用計算機進行仿真模擬。圖5展示了當帶電粒子以不同的速度射入復合場時的運動軌跡。（圖5中的數據已略去了單位，且，下文中的其他圖像也是如此）

若改變帶電粒子的電荷量或質量，通過數字教學資源進行觀察，上述圖像形狀不變，只是圖像進行縮放。

若大量粒子以不同的速度同時射入復合場中，利用數字教學資源進行觀察可得到如圖6所示的運動軌跡。

帶電粒子從O點出發后，經過一段時間后會匯聚到同一點（如圖6中的A、B、C、D點），這提示我們速度選擇器的尺寸應避開這樣的點，不然無論何種速度的帶電粒子可能都會射出速度選擇器，達不到篩選粒子速度的目的。

當帶電粒子的入射速度等于3時粒子恰好做勻速直線運動。當粒子的速度大于3時，v相為正值，圓周位于x軸上方，粒子在x軸上方運動。當粒子的速度小于3時，v相為負值，圓周位于x軸下方，粒子在x軸下方運動。

t時刻粒子的速度v（t）等于v0與v相的合成。由圖4可知：

vx（t）=v0+v相cos（ωt） vy（t）=v相sin（ωt）

即：③

④

上述推導過程也可以通過分別對方程①和②進行求導得出。利用數字教學資源即可實時觀察帶電粒子的速度隨時間的變化情況。

t時刻粒子的加速度a（t）可以看做圓心的加速度與勻速圓周運動的加速度的合成。但圓心做勻速直線運動，圓心的加速度為零，所以粒子的加速度就等于勻速圓周運動的加速度。

即：⑤

⑥

上述推導過程也可以通過分別對方程③和④進行求導得出。

二、初速度方向傾斜向上

當粒子的入射方向與x軸正方向夾角為θ斜向上方時（如圖7），我們可以將速度v分解為vx和vy。其中vx=vcosθ，vy=vsinθ，再將vx分解為v0和vx-v0，將vx-v0與vy合成為v相，其大小為v相=，方向與x軸正方向夾角為φ，，。v0為圓周做勻速直線運動的速度，v相為粒子繞圓心做勻速圓周運動的速度（如圖8），圓周運動的半徑為。設t=0時粒子位于坐標原點O。

t時刻，粒子的橫、縱坐標分別為：

以上各式聯立，可得：

⑦

⑧

借助高中物理數字教學資源進行仿真分析，當粒子的速度方向斜向右上與x軸正方向夾角為30°時的運動軌跡如圖9所示。

t時刻粒子的速度v（t）等于v0與v相的合成。由圖8可知：

vx（t）=v0+v相cos（φ+ωt） vy（t）=v相sin（φ+ωt）

即：⑨

⑩

上述推導過程也可以分別對方程⑦和⑧進行求導得出。利用數字教學資源即可實時觀察帶電粒子的速度隨時間的變化情況。

t時刻粒子的加速度a（t）可以看做圓心的加速度與勻速圓周運動的加速度的合成。但圓心做勻速直線運動，圓心的加速度為零，所以粒子的加速度就等于勻速圓周運動的加速度。

即：

上述推導過程也可以通過分別對方程⑨和⑩進行求導得出。

三、初速度方向為其他情況

（一）當帶電粒子的初速度方向豎直向上時的運動軌跡如圖10所示。

（二）當帶電粒子的初速度方向水平向左時的運動軌跡如圖11所示。

（三）當帶電粒子的初速度方向豎直向下時的運動軌跡如圖12所示。

（四）當帶電粒子的初速度方向不在xoy平面時，可將v分解為vx、vy和vz。其中Z軸垂直紙面向外。vx和vy的處理方法與前文一致，在Z軸方向上粒子不受力，粒子沿Z軸方向做勻速直線運動。通過高中物理數字教學資源進行觀察可直觀看到粒子運動的軌跡在三維空間的分布情況。

參考文獻

[1]王金聚.配速法巧解帶電粒子在復合場中的運動問題[J].中學物理教學參考，2018，47（13）：45-47.

[2]程稼夫，中學奧林匹克競賽物理講座[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2000.

作者簡介：初同喜（1983-），男，黑龍江齊齊哈爾人，本科，中學一級教師，研究方向：高中物理教學方法。

基金項目：黑龍江省教育科學規劃2020年度教研專項課題“高中物理數字教學資源開發與應用研究”（課題批準號：JYB1320116）研究成果。