結合新高考解讀高中數學新教材

潮鐘雪媛

【摘要】人教版高中數學新教材已在部分省市推行。新教材要為學生提供學習方法的指導，促進學生形成良好的學習習慣和學習思維，按照課程標準的要求，培養學生的數學關鍵能力，還需要在教學過程中加以引導。作者以人教版高中數學新教材“立體幾何初步”為例，結合2021年新高考全國I卷立體幾何來解讀新教材，對于學生高中數學關鍵能力的培養提供一點教學建議。

【關鍵詞】新教材;立體幾何;新高考;數學關鍵能力

立體幾何作為高中數學不可或缺的一部分，也是讓學生“恐懼”的內容，特別是對于空間想象能力比較弱的學生來說，即使通過直觀圖，也無法在腦海中形成立體與平面的轉換。而作為高考必考的一個重要內容，學生在立體幾何上花了很多功夫，但是，通過考試顯現出來的效果卻是比較微弱的。所以，作為教師要結合新高考解讀新教材，利用信息技術，注重學生在空間視覺的鍛煉，培養學生的數學關鍵能力，運用合理的方式來彌補學生的短板，從而更好地學習立體幾何知識。本文以人教A版數學必修二“立體幾何初步”為例，領會教材編寫者的設計意圖，從而更好地開展教學。

一、新教材分析——以立體幾何初步為例

1.知識的整體性與數學關鍵能力培養的聯系

舊教材關注知識點與基本技能的傳授已滿足不了現代社會的發展需求，知識是不斷進步的，新課標的教學不能止步于知識點的傳授，而應適應社會，引導學生學會思考，關注數學的學科思想與思維方式，培養學生的數學關鍵能力。數學關鍵能力中，立體幾何的學習主要依賴于數學抽象能力和直觀想象與化歸能力。相比舊教材，2019年人教A版新教材搭建了全新的知識架構，凸顯了知識的整體性，也打破老教材松散的知識體系;彌補了這個缺陷，梳理出一條清晰的教學主線，把舊教材中“空間幾何體”與“點、直線、平面的位置關系”兩章合并為一章，組成了新教材必修二第八章，讓內容更連貫統一，也符合學生的認知規律。

原本從研究立體幾何的數學邏輯來看，應該從點線面出發來研究其概念和基本性質，在此基礎上再研究點線面的位置關系，再由特殊關系（垂直和平行）出發研究由這些基本元素組成的幾何體，繼而研究它們的結構特征和面積體積。這種從局部到整體，這種學習的思路結構嚴謹，但卻與學生的認知規律相悖。新舊教材都認識到這一點，而新教材更加凸顯了學生認知規律。學生觀察世界，首先接觸的是具體的幾何體，因而學習立體幾何也應從幾何體的整體性入手。而對于那些與教學主線聯系不緊密的，可有可無的內容或者學生暫且掌握不了的內容，新教材進行了刪減。本章內容的主線如圖1，將現實生活中的“基本立體圖形”在平面上表示需要用到直觀圖，求幾何體的表面積體積也需要用直觀圖來表示，所以，直觀圖起到了承上啟下的作用。而三視圖在輔助學生認識立體圖形的作用甚微，為體現教學內容的整體性，對“三視圖”內容進行了刪除，在課后習題通過兩道習題考查學生的直觀想象力，但高考不作要求。這樣的安排使得第一節內容更為連貫統一。同時，對于一些存在研究價值但又干擾主線內容的進行調整。例如，在點線面的位置關系中，將公理表述為基本事實，新教材將舊教材“直線與直線的位置關系”中的公理4、等角定理放在“空間直線、平面平行中直線與直線平行”這一節，使得“點、直線、平面的位置關系”這一節更加清晰順暢。把舊教材中公理1和公理2調換順序，由不共線三點確定一個平面再到直線與直線外一點確定一個平面即從點點再到點線，探究層層深入。而對于原來舊教材中“點、直線、平面的位置關系”的習題作為3個推論放在基本事實3后，這也反映了新教材更加符合培養學生化歸能力。基本事實1、推論1、推論2和推論3都可以確定有且只有一個平面，而以上結論在研究后續的平行垂直也經常用到，總結升華。

圖1

2.注重方法引領

新教材從學生的認知規律出發，注重研究路徑的構建。直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算是認識立體圖形的基本辦法，也是學習研究立體幾何的基本路徑。所以，新教材從整體性出發的排序也是：基本立體圖形（直觀感知）—立體直觀圖（操作確認）—表面積體積（度量計算）—平行垂直關系（推理論證），有整體認知到局部學習再到整體，這對于學生研究解決立體幾何問題是很有幫助的。

首先，基本立體圖形，從現實世界中抽象出立體圖形，數學抽象能力在這里得到體現，新教材從局部出發，在內容調整上也注重學生平時學習中的總結分類。如，舊教材把表面積體積分為“柱體、錐體、臺體的表面積和體積”與“球的體積和表面積”兩類。新教材從簡單幾何體—多面體和旋轉體出發，分為“棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積”和“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積體積”兩類，首尾呼應。同時，新教材進而再通過圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積公式和體積公式探究公式與立體圖形的聯系，引導學生發現當圓臺上底面積增大變為圓柱，反之縮小變為圓錐，深入挖掘數與形的內在聯系，再精彩不過。舊教材也有對此進行探究，但沒有給出結論。新教材，提供了生活化的語言讓學生探究后，感知結論，學生在預習的過程中即能得到引導。這也是我們需要培養學生的數學直觀想象與化歸能力。對于球的體積、表面積，新舊教材在處理的過程中有明顯的不同。新教材直接給出球的表面積公式，并利用表面積類比圓周長求圓面積的方法，利用球的表面積求體積。在教學參考中也給出舊教材的方法即利用祖暅原理從體積再推回表面積。簡化學生學習立體幾何的壓力，教師可根據學情安排學習內容，同時也突出了教材表達的數學極限思想。體積計算又與前面學習錐體體積串聯，更加完整統一。

學習幾何體從按照數學模型—數學圖形—文字描述—符號語言探究路徑展開，學生可以舉一反三，學習過程也可以得到知識概念的鞏固。

細節上，新教材把“公理”改為“基本事實”體現了數學的嚴謹性。

3.學科關鍵能力培養的體現

新舊教材的變化還體現在選修的內容安排上。新教材將舊教材中關于空間角、空間距離的概念從原來的選修2-1中與空間向量結合，提前放到新教材必修二中的“空間直線、平面的垂直”，與立體幾何初步合為一章。雖說缺少了以向量作為工具來解決空間角的問題對于有些題目而言，難度還是有的，但從培養學生數學抽象能力、直觀想象與化歸能力而言，卻是更勝一籌的。空間角概念的確立離不開垂直，只有當學生對概念理解透徹，才能在空間中形成對空間角的直觀圖形，強化空間角的由來及其與垂直的關系與利用圖形進行數學思考與想象的意識。再從高二數學選修中利用向量工具形成數與形的緊密聯系，避免造成學生對于空間角的理解只停留在利用向量工具解題的層面上。從形到數，簡化問題，再由數到形發現形新的規律和特點，使得學生的數學猜想與邏輯推理能力得到鞏固。

二、新高考對于學生關鍵能力的考查

今年是山東實行新高考的第二年，是廣東實行新高考的第一年。這兩年新高考試題與新教材內容的融合對于我們的教學具有較強的參考價值。

1.真題再現

（1）試題問題分析

2020年新高考全國1卷第20題以四棱錐為載體，底面為正方形，一條側棱和底面垂直，是學生非常熟悉的幾何體。第（1）問考查線面垂直，但是該條直線卻是圖形沒有出現的平面PAD與平面PBC的交線，找出這條交線是解決本題的關鍵點。第二問在需要依賴這條交線的動點Q，構造平面QCD，要找到定直線PB與動平面QCD所成角，并求出該角的正弦值。

2021年新高考全國卷1卷的第（1）問則考查線線垂直，利用面面垂直的性質證明。第（2）問則是求體積由二面角轉化為所求三棱錐的高，在這里也是其命題的創新點。該題運用向量法或幾何法都可以解決，幾何法難度稍大但相較以往的立體幾何大題還是比較簡單的，特別是對比學生在此之前參加的八省聯考數學卷中的立體幾何大題。在題目設置上，我們都感受到了新高考數學試題明顯的“反常規”“反套路”、創新之中求穩的特點。通過創新的設問，增加了題目的靈活度，注重考查學生的探究意識和創新意識，但也注重學生的學習基礎，也體現了新高考新教材的理念。

（2）試題關鍵能力考查分析

2020年新高考1卷考查空間想象力、運算求解能力和邏輯思維能力，學生需要從題目給出的圖形中延伸到兩個平面的交線，需要學生在腦海中有兩個平面的直觀圖的概念、發現，并尋找線面垂直的條件，進而把圖形語言轉化為符號語言。靈活選擇向量或者幾何法解決空間角的問題，這也需要學生有扎實的數學邏輯思維能力。

2021年新高考1卷考查學生的邏輯推理能力、直觀想象能力、運算求解能力。學生在此題目中尋找線線垂直的條件，需要對“直線與平面垂直”的各個判定定理與性質具有清晰的邏輯判斷。第二小問則需要靈活地選擇幾何法或者向量中求出體積。這里都需要一定的運算能力。若能從幾何法入手解決，則對學生關于空間角與垂直與體積的關系的空間想象力要求是比較高的，若用空間向量解決，則對學生的數學運算求解能力也有一定的要求。

2.結合新高考，立體幾何中學生需要突破的數學關鍵能力

相比八省聯考，新高考全國卷本著“新中求穩”的節奏出題，從高考題可看出，一定量的練習確實對于考試頗有益處。但八省聯考的立體幾何大題也是一個啟示，學生要能適應新變化，則更能在學習當中拔得頭籌。高考在立體幾何中考查學生的關鍵能力主要在于數學抽象能力、直觀想象與化歸能力、運算能力、邏輯推理能力。其中，直觀想象與化歸能力是學生所需要突破的難點。

三、教學建議

領會新教材的編寫設計意圖，我們應注重數學模型對于解題的應用，從模型入手認識立體模型。此處，教師若能通過信息技術來幫助學生認識，在腦海中形成立體圖形的認識是很重要的。注重教學情境的創設，將教學引向概念本質的學習，從概念探究路徑的教學，引導鼓勵學生在解決問題時要注重探究方法與分析問題，而解決問題有多種途徑，也應能靈活應用。同時，在表達過程中如何有條理地表達自己的思維過程，也是教師在教學過程所要注重引導的，即符號語言，自然語言與圖形語言的轉換。

參考文獻：

[1]朱立明.高中生數學關鍵能力研究的追溯與前瞻[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2019.