數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從三個(gè)方面培育學(xué)生思維的深刻性

孔德宇

【關(guān)鍵詞】思維的深刻性;概念教學(xué);知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);數(shù)學(xué)素材選用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）71-0069-02

思維的深刻性是指思維活動(dòng)的深度、 廣度和難度，以及思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平。培育思維的深刻性對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、形成數(shù)學(xué)思維具有至關(guān)重要的作用，也是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑。因此，一線(xiàn)教師應(yīng)當(dāng)將培育學(xué)生思維的深刻性滲透于日常教學(xué)活動(dòng)中，讓數(shù)學(xué)教育為學(xué)生的終身發(fā)展奠定重要基礎(chǔ)。

一、重視概念教學(xué)，為思維深刻性的培育提供土壤

概念是數(shù)學(xué)的基石，數(shù)學(xué)思考的本質(zhì)是建立在數(shù)學(xué)概念上的思考，學(xué)生對(duì)概念的理解直接影響到其對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)。因此，教師要讓學(xué)生在接觸每一個(gè)概念伊始，便感受到數(shù)學(xué)思考的魅力，使概念教學(xué)成為培育思維深刻性的土壤。筆者以蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)“11.2 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課為例，探索“反比例函數(shù)的圖象”這一概念生成過(guò)程中“由數(shù)想形”的方法，談?wù)勅绾巫屗季S的深刻性在概念教學(xué)中得到發(fā)展。

“由數(shù)想形”就是通過(guò)分析反比例函數(shù)表達(dá)式，判斷函數(shù)圖象的特征。其本質(zhì)是將函數(shù)表達(dá)式中x、y的取值與坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)，滿(mǎn)足關(guān)系式的x、y的值（數(shù)）即對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的坐標(biāo)（形）。據(jù)此，我們可以依據(jù)x、y取值的特點(diǎn)來(lái)判斷函數(shù)圖象的特征。課堂上，教師可以以函數(shù)y = [6x]為例，進(jìn)行“由數(shù)想形”的概念教學(xué)。根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生明確該函數(shù)表達(dá)式中x的取值不能為零，說(shuō)明函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為零。由此，學(xué)生可以得出該函數(shù)圖象與y軸沒(méi)有交點(diǎn)的結(jié)論，同理可得出該函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)的結(jié)論。

教學(xué)時(shí)教師要注重學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生參與到思考和解題的過(guò)程中，從而一步一步、有淺及深地明確概念的含義，培育學(xué)生思維的深刻性。本例中“由數(shù)想形”的過(guò)程能幫助學(xué)生理解函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深其對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的理解。這就為學(xué)生后續(xù)研究新的函數(shù)的圖象及其特征提供了思路和參考，幫助學(xué)生建立起關(guān)于函數(shù)及其圖象的整體概念和解題思路。

二、重視構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為思維深刻性的發(fā)展提供信息支撐

數(shù)學(xué)中思維的深刻性就是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定理等，借助邏輯推理的方式，獲得接近問(wèn)題本質(zhì)的結(jié)論。在這個(gè)過(guò)程中，主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)影響著邏輯推理的深度。因此，要發(fā)展學(xué)生思維的深刻性，需要重視構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生在面對(duì)新的問(wèn)題時(shí)能夠從已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中迅速提取與之相關(guān)的信息。下面，筆者以一道常見(jiàn)的數(shù)學(xué)題為例，談?wù)勚R(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建及其對(duì)發(fā)展思維深刻性的重要作用。

如圖1，已知一次函數(shù)y=2x+4的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，6），并與y軸相交于點(diǎn)B。若將該一次函數(shù)圖象繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線(xiàn)CD，求直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式。

考慮到旋轉(zhuǎn)角是45°的特殊性，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形所學(xué)知識(shí)，構(gòu)造等腰直角三角形來(lái)解決問(wèn)題。在學(xué)生根據(jù)三角形性質(zhì)得出本題答案后，教師可以進(jìn)一步提問(wèn)：若直線(xiàn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30°或60°，可以求出旋轉(zhuǎn)后的直線(xiàn)解析式嗎？引導(dǎo)學(xué)生沿著這一路徑思考，最終可以發(fā)現(xiàn)：若將直線(xiàn)繞直線(xiàn)上（或直線(xiàn)外）的確定一點(diǎn)（已知坐標(biāo)）旋轉(zhuǎn)任意角度α（0°<α<180°），只需要知道這個(gè)角的某一三角函數(shù)值，便可求出旋轉(zhuǎn)后直線(xiàn)的解析式。通過(guò)分析歸納，使直線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題一般化，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)提供更高階、立體的知識(shí)網(wǎng)。

該環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從特定的例題中歸納出解題的一般方法和思路，將特定情境下的問(wèn)題推廣到一般情境，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的思維深刻性的培養(yǎng)。所以，教師在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)時(shí)應(yīng)注重知識(shí)辨析，強(qiáng)化知識(shí)網(wǎng)中知識(shí)點(diǎn)之間的橫縱聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性的同時(shí)，為其深度思考提供必要的信息庫(kù)。

三、選擇恰當(dāng)素材，讓思維的深刻性自然生長(zhǎng)

在實(shí)際教學(xué)中，為了達(dá)到某種特定的教學(xué)效果，教師常根據(jù)實(shí)際需要編制合適的練習(xí)。為培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，在學(xué)生掌握勾股定理后，筆者編制如下問(wèn)題：

如圖2，在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位），線(xiàn)段AB經(jīng)過(guò)平移運(yùn)動(dòng)到A'B'的位置，給出下列說(shuō)法：

①沿網(wǎng)格線(xiàn)平移，點(diǎn)A到點(diǎn)A'的最短路徑長(zhǎng)為5;②在網(wǎng)格中任意平移，點(diǎn)B到點(diǎn)B'的最短路徑長(zhǎng)為[13];③在AB平移到A'B'的過(guò)程中，線(xiàn)段AB掃過(guò)的最小面積為8。

其中完全正確的有? ? 。（填序號(hào)）

本題的本質(zhì)是線(xiàn)段平移問(wèn)題，常見(jiàn)的解題思路都是將圖形沿網(wǎng)格線(xiàn)平移，這就導(dǎo)致學(xué)生形成思維定勢(shì)，認(rèn)為網(wǎng)格背景中的平移只能沿網(wǎng)格線(xiàn)進(jìn)行。因此，筆者在學(xué)生學(xué)完勾股定理后設(shè)計(jì)了這一問(wèn)題，將點(diǎn)移動(dòng)的路徑設(shè)置為“網(wǎng)格中任意平移”，抓住與固有思維之間的矛盾，引起認(rèn)知沖突，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到只要“確定一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平移方向與距離”即可完成題目。

其實(shí)教學(xué)中，教師還會(huì)遇到其他具體的問(wèn)題，譬如針對(duì)幾何推理能力較弱的學(xué)生，可以選擇切入口寬、方法多、綜合性強(qiáng)的素材，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行深度分析;若學(xué)生對(duì)某一個(gè)或一類(lèi)問(wèn)題存在思維盲點(diǎn)時(shí)，可以選擇相近的有梯度的素材形成題組或小專(zhuān)題，促使學(xué)生打破思維定式，學(xué)會(huì)舉一反三。

（作者單位：江蘇省江陰市青陽(yáng)初級(jí)中學(xué)）