“射線和直線”教學中由學生的質疑引發的思考

李柱俊

【摘 要】在線概念的學習中，學生對點的感知是單一的、不完整的，他們只是將線段“兩個頭”抽象為端點，不曾感知線是由無數個點構成的。這種認知的局限會給學生后續學習射線和直線帶來諸多困惑。雖然教材沒有編排對點的專門學習，但作為圖形概念抽象的產物，點的學習是不可回避的。學生只有明確了端點、線上的點的含義，才能實現對射線、直線的真正理解。

【關鍵詞】端點 線上的點 線概念 小學數學

一、質疑：直線是怎么來的

射線和直線因生活中本無原型，作為抽象的數學知識，對于小學生來說，無疑在認識上是有難度的，這部分內容的教學對于教師來說也不失為一大挑戰。筆者近日聆聽了“射線、直線和角”一課，對教學片段中學生的質疑產生了一點思考。

教學時，教師借助激光燈展開教學，把激光燈照射到墻面上，會在墻面上留下一個光點，教師引導學生認識到從激光燈的發光點到墻面上留下的光點，這中間的光線可以看成是線段，并在此基礎上引出射線、直線。以下是由射線引出直線教學環節中的師生對話：

師：瞧，這是一條射線，仔細觀察（動態演示），這條射線有什么變化嗎？這還是射線嗎？（如圖1）

生：不是，沒有端點。

師：不符合射線的特點。像這樣的線，數學上把它稱為直線，通過你的觀察，你能說說直線又有怎樣的特征嗎？

生1：直的，無限長，沒有端點。

生2：我有個疑問，沒有端點的話，直線是怎么來的？

師：針對這個問題，誰來談談你的看法？

生3：我覺得直線應該是由一點出發，向兩端無限延伸。

師：你們同意他的說法嗎？

生（齊）：同意。

（聽得出這里大多學生是被同意）

師：你們可以想象一下直線的形成過程。

……

二、反思：端點引發的誤解

我們常聽到這樣的口號——讀懂學生，讀懂教材，讀懂課程。為什么把“讀懂學生”放在“讀懂教材”和“讀懂課程”之前？說明“讀懂學生”是基礎，是關鍵。只有讀懂學生，才能夠了解學生的學習現狀，才可能生成動態、生動的課堂?；趯@一觀點的認同，對上述案例中出現的學生質疑，我們有必要追因索果，真正實現由“讀到”走向“讀懂”。

1.學習材料對概念的認知產生負遷移

教師在教學射線時，利用激光燈這一素材，引導學生想象在能源充足且無遮擋的情況下，由激光燈射出的直的光線，可以看作是一條射線，進而抽象出數學上的射線。然后，通過把數學化的射線另一端無限延長，就得到了一條直線。學生在沒有脫離射線的具體實例的情況下，很容易產生沒有激光燈的發光點，如何會產生出一條直線的光線的困惑。生2所說的“端點”有可能指的就是激光燈的發光點。

2.對端點和線上的點的含義理解不清

“沒有端點的話，直線是怎么來的”，乍看起來，生2的質疑和教師的問題是不同的指向。教師的問題指向的是直線的構建要素，而學生的質疑指向的是直線是如何得到的，一個指向“是什么”，一個指向“為什么”。但聯系生3的回答：“直線應該是由一點出發，向兩端無限延伸?！惫P者認為，生2的疑問也暴露出學生對端點和線上的點含義理解上的不清。為何端點會惹出這個“禍”，我們有必要先來弄清何謂“端點”？端，從字面上來理解指的是（東西的）頭。對于“端點”我們可以這樣解釋：“空間中一點沿著一定方向和它相反方向運動所形成的圖形是直線。直線上任意兩點間的部分叫作線段，這兩點叫作線段的端點。”在學生的數學學習中，第一次認識端點，就是在認識線段的時候。用手捏住一條線并拉直，兩手間的一段可以看成線段，捏住的兩頭畫下來可以用點表示，這兩個點在線段中叫作端點。教學時，教師讓學生指認捏住的線段時，也是引導學生運用“從一頭開始到另一頭結束”的句式來描述的，那么出發的地方和結束的地方就是端點，端點表示起點和終點。端點是學生認識的第一個點。學生在初次學習端點時也只是將“兩個頭”抽象為兩個端點，并沒有展開點動成線的學習，學生也不曾感知線是由無數個點組成的。也就是說，學生對點的感知是單一的、不完整的，易形成認知的局限——線段上有兩個點，叫作端點，其他地方是沒有點的。生2的質疑也證實了他們對點認識的局限。當然，不容置疑的是學生對點的認識也是有水平差異的，生3的回答就證實了這一點。所以說，表面上看是“端點”惹的“禍”，實則是學生對點的認識不夠造成的。學生對點的認識沒有形成足夠的經驗，拉長了后面學習的跨度，增加了后面學習的難度。由于多數教材中沒有編排對點的專門學習，相對于線，學生很少有機會接觸到點。那么在教學中，教師該在何時引領學生對點的認識？又應引領學生對點達成何種程度的認識呢？

三、教學建議：實現數學名詞的教學價值

教師首先要弄清楚學生對點的感知和經驗的積累應該在何時發生？逆向倒推學生的學習過程，筆者發現在二年級初步認識線段時，學生認識到“拉緊的一段線，可以看作一條線段”，這是借助生活原型加以描述，屬于靜態的概念表現形式，這時的概念呈現形式不便于認識點動成線。而到四年級上冊學習“射線和直線”時，在認識射線之前，首先是回顧對線段的認識，此時對線段的認識應該比二年級時要更深一層，材料的呈現應該加強動態化處理：將線段置于動態的概念過程中，賦予端點“起點”“終點”的含義。這里對線段的認識從靜態可視的材料走向動態想象的材料，豐富了對線段概念的內容認知，實現了對線段概念分階段教學的學習進階。這一階段的學習中，學生感知到線段上不僅有端點還有許多其他的點，而端點表示的是開始和結束的位置，然后借由線段發生、推理出射線。在射線的學習過程中，學生對點的認識是最適切的時機，也是認識最豐富的時候。在這一階段對于點的認識應該要形成三點數學活動經驗：（1）線上有許多點;（2）端點、線上的點含義不同;（3）線段中的一個端點延伸后變換為射線上的點。在圖2中，左邊的點表示起點，右邊的點表示經過的地方，這個時候原本線段右邊的點已經演變成射線上的點了，所以畫射線的時候也無須畫出右邊的這一點。應該說，學生只有明確了端點、射線上的點的含義，才能真正理解射線的本質。學生對射線的本質真正理解之后，自然也不會出現教學片段中生2的那番質疑。

對于直線的教學，上述案例是以射線為落實直線發生式定義、特征學習的著力點。那么，直線的教學以怎樣的打開方式更合適呢？我們來看蘇教版教材的教師用書對直線給出的描述性定義：“把線段的兩端都無限延長，就得到一條直線。當線段的兩個端點之間的間距小到極限時，最終就會形成一個點?！边@樣的描述與學生3的認識（直線應該是由一點出發，像兩端無限延伸）具有一致性。所以，筆者以為對于直線的教學，仍應以線段為著力點，引領學生經歷直線的發生、抽象推理過程。這不僅符合學生已有的知識和經驗，也符合學生的思維特點和認知規律，更有利于后面對直線與線段、射線的內部聯系的加強，有效關聯三種線之間的邏輯關系，實現對線概念體系的學習進階。

注：本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年立項課題“深度學習視域下小學數學課時學習歷程案教學實踐研究”（項目編號：D/2020/02/71）和南京市教育科學規劃第十一期“個人課題”“教學目標引領下小學數學‘結構式課堂提問的實踐研究”（市規劃個十一字第Gd5426號）的研究成果。