核心素養視角下概率與統計教學的策略與實踐

陳黎

摘 要：文章以新課標和近幾年高考導向為指引，從學情、師資、教學資源和教學手段等維度對高中概率與統計主題內容的教學策略和實踐進行研究，以期在新一輪教學改革的浪潮中落實發展數學學科核心素養和學生個人核心素養目標，體現概率與統計主題的課程價值。

關鍵詞：高中概率與統計;教學策略;核心素養

在大數據時代，社會的深刻變革使數學有了更廣闊的應用空間，同時也會對數學教育提出新的要求。《普通高中數學課程標準（2017年版）》強調：在數學課程開展的過程中，把促進學生數學核心素養的形成與發展放在突出位置。

概率與統計是高中數學教學的重要內容，在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，概率與統計以主題的形式出現，教學的內容與要求均有所增加的同時凝練了學科的核心素養。

另一方面，從高考命題的角度來說：2004年全國高考卷首次出現概率與統計內容的解答題，到2019年全國I卷（理）概率與統計內容的解答題成了壓軸題。高考對概率與統計部分內容的考查明顯體現出從最初的知識立意到能力立意再到素養立意的變化。如何將新課標中的核心素養落實到平時概率與統計的教育教學中去，這是高中數學教師必須面對和思考的問題。筆者在近幾年翻閱了大量資料并結合教學工作，從理論到實踐對該主題的教與學進行研究和探討。

一、概率與統計教學中存在的問題

（一）學情特點

小學、初中的數學課程中概率與統計的內容是以每年1—2章節滲透的形式呈現的。學生有一定的基礎，體現在了解概率是什么（模糊地）;計算簡單的古典概型;能做簡單的數據統計;會計算樣本的極差、中位數、平均數、方差等數字特征。這也基本符合學生在該年齡階段的認知特點。

高中階段學生在這一主題的內容學習中主要存在以下問題：

1. 對重要概念存在模糊認識。比如對概率研究的對象隨機事件，學生就缺乏系統完整的認知，在計算復雜概率問題時不會分析隨機事件的相互關系（互斥、相互獨立）。這是因為在小學初中的數學課程中學生沒有系統地學習這個概念，這顯然影響了數學建模和數學抽象核心素養的發展。

2. 對概率與統計的主體思想沒有整體地認知。這是因為之前的學習是滲透式的，每個學年學一些，學生對概率與統計主題內容很難有完整系統的概念。即使在高中也分成兩個模塊來學，之前的零碎感和模糊感很難在短期內消除，造成數學推理和數學抽象核心素養發展不到位。

（二）教師方面存在的問題

師范大學數學教育專業的畢業生在本科期間的《概率論與數理統計》雖然是必修課，但明顯偏重于理論，與實際結合較少，非應用數學專業的畢業生基本沒有做過一個完整的統計案例。再加上之前的概率與統計主題不是高考的重點內容，教學用到專業知識的地方不多，也就導致很多初高中教師對這塊內容缺乏系統的認識，教學上對學生的引領就顯得比較無力。

要給學生“一杯水”，老師至少要有“一桶水”。在高中數學課程中，為了讓僅具備初等數學基礎的學生理解并接受概率與統計中的許多概念，教材不可能用公理化的方式對其進行嚴格的定義，但教師不但要正確理解，還應在此基礎上將難懂的學術語言轉換為能符合學生認知水平的教學語言，并引發積極的思考。趙軒、任子朝認為教學中重視做題忽視概念不利于知識的內化和遷移。為了學生的長遠發展，高考作為選拔性考試將會進一步發揮加強基本概念考查，打破機械刷題學習模式的導向作用。為了讓學生對概率與統計內容有整體的理解和正確的認識，教師有必要將大學教材《概率論與數理統計》重新學習一次，至少將重要的章節重溫一遍。筆者這兩年利用閑暇時間特意將新舊三個版本的大學教材《概率論與數理統計》重新研讀了一遍，對很多相關概念的理解有了新的認識，對概率與統計問題認識的高度和深度使筆者在教學中能游刃有余，讓教學過程變得有序、充實，讓學生對知識和方法的來龍去脈清楚明晰。另外教師必須認真鉆研新課標，將其各核心素養的內涵與價值、表現與水平特征、培養與評價等相關內容爛熟于心，充分領會其精神和本質，才有可能讓學科素養落在實處。

如果教師只滿足于能講解課本和習題上的案例是不夠的，這就要求教師擴大知識面，多進行課外的閱讀，從現實生活中去尋找教育教學的素材，如果在課堂上能將生活中學生感興趣的事物用概率與統計的觀點進行分析、透視，引起學生的興趣，參與討論、產生共鳴，那么“創設情境”“有效遷移”就不會停留在表面，這樣的課堂就不再枯燥、乏味，而讓學生聽得津津有味，對教師產生崇敬感。情感、態度價值觀的因素融入進來，學科素養的凝練過程才會有“問渠那得清如許，為有源頭活水來”的效果。筆者近幾年讀了吳軍博士的《數學之美》，作者用通俗的敘事語言將數學在現今眾多前沿領域的應用娓娓道來，是非常好的數學科普書籍。其中包含大量的概率與統計在自然語言處理、密碼學、路徑規劃、人工智能等前沿科學的豐富案例，它們作為教學素材經常在筆者的課堂上適時出現，讓學生驚訝“原來讓翻譯軟件正確率大幅提高的不是語言學家的研究成果而是統計模型的應用”“ALPHA GO能戰勝柯潔并不是它能理解柯潔的棋風而是它有基于統計學超快的自學能力”，這樣的課堂才更具有活力和靈性。

二、教學策略與建議

（一）抓住主題特點，著重發展數據處理核心素養

在高中數學教學中需要學生凝練學科核心素養，數據處理是概率與統計主題所獨有的。這一素養與其他數學學科素養相比，其獨特主要表現在：一是立論的基礎不同。因為數據分析問題的起點一定來自于數學的外部，研究問題的基本思路是從數據出發而不是從定義出發;二是推理方法，數據分析中推理的基礎是歷史經驗，主要采用歸納推理，其他數學內容的推理基礎是公理體系主要采用演繹推理;三是判斷準則，不同數學判斷結論的準則是對與錯，這充分體現了數學的嚴謹性和準確性，統計學面向隨機現象探究偶然性下的規律性，即使是同樣的數據也允許出現不同的判斷。人們根據自己對數據背景的理解采用不同的推斷方法進行分析得出不同的推斷結果，其判斷結論的準則是好與壞，這既體現了統計學的嚴謹性和準確性，又體現了統計學的藝術特色。只有正確認識數據分析的這些特點，才能在概率與統計的教學中的找準著力點，讓學生樹立正確的概率與統計基本思想。

在教學實踐中，教師應該運用豐富而真實的案例，反復強化以下基本的統計思想，讓學生在逐層發展學科素養的過程中有堅實的基礎：

統計學在做什么？——研究總體。

統計學對總體怎么研究？——用樣本估計總體。

統計學研究總體的那些方面？——數據的分布情況、數字特征;多種數據是否有關、有什么樣的關系。

統計學有什么用？——根據總體的情況做出正確的決策。

只有真正落實數據處理這一核心素養的發展，才能讓學生從整體上對這個主題學習內容有深層次的認識。這樣他們在應對概率與統計問題的時候才會有方向感。

（二）以主題教學均衡發展其他核心素養

概率與統計內容中除了數據分析素養之外還有數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算。數據分析素養主要用在統計部分，而概率部分離不開另外四種素養。概率與統計又是密不可分的。在解決概率與統計問題的時候，除了數據處理素養發揮核心作用之外，其他幾個素養也是不可或缺。這部分數學內容的知識結構本身就體現了素養相互交融的特點。從數學的整體來講我們應該辯證看待，既要用分析的方式，也要有綜合的思維方式。

首先要優先發展數學建模思想。概率與統計問題的起點都是實際問題，那么數學建模素養就會在解決問題的過程中扮演重要的角色。數學建模是連接數學與外部世界的橋梁，是應用數學解決實際問題的基本方式。這一素養沒有充分發展就意味著建模過程不暢或錯誤。

比較近兩年的高考題我們會得到不言而喻的結論。2019年高考全國卷I（理）21題難度1.6，答卷中大量出現空白卷、審題不清和模型選擇錯誤。而2020年高考全國卷I（理）19題一改前三年背景文本材料較多的風格，采用題干簡潔、直接設問的方式，對數學思維的要求雖然更高，但得分率有0.29，明顯高于2019年。由此說明數學建模素養恰好是學生的短板。數學建模素養的主要瓶頸在于學生的知識面（對外部事物的理解）和在綜合情境中發現、提出、分析問題的能力。畢竟學生和社會接觸比較少，很多問題的情境離學生的生活比較遠，要想學生在面臨陌生情境都能有深刻的理解是不現實的，應對的辦法是：1. 認真落實新課標中數學建模活動與數學探究活動（必修主題五、選擇性必修主題四）的主題內容，尤其要引導學生完成與統計學有關的數學建模和數學探究活動;2. 為學生提供較多真實的案例，讓其進行閱讀、分析、建模的嘗試。

其次，其他幾個素養雖然不是概率與統計主題重點需要發展的核心素養，但教師在教學中也必須統籌兼顧。《普通高中數學課程標準（2017年版）》中提到：數學學科的核心素養通常是在綜合化、復雜化的情境中通過個體與情境的有效互動生成的。這就要求數學教師從以往的課節教學向主題教學轉換。課節教學以課時為單位進行教學設計，對于合理把控數學教學進程優化教學活動具有重要意義。不足之處是易使學生知識割裂，不利于形成完整的知識鏈條和體系，常常過多地關注知識與技能、忽視情感、態度、價值觀的培養，不利于學生學科素養的發展，易使教師拘泥于具體內容，缺乏對教學整體的把握。

（三）從學生成長角度，聚焦學生的可持續發展能力

數學作為中國學生的一門必修課，除了要落實本學科的核心素養之外，還要肩負中國學生發展的六大核心素養：人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新。其中的科學精神、學會學習在概率與統計的教學中有非常具體的落腳點。

科學精神可以簡單概括為實事求是、求真務實、開拓創新的理性精神和“實踐是檢驗真理的唯一標準”的實證精神。隨著大數據時代的到來，概率與統計方法和結論在科學的各個領域、分支都有越來越廣泛的應用。這部分的內容相比其他數學內容更容易課本、高考、習題中的各種情境都是概率與統計在各個層面應用的管窺，處處體現理性精神和實證精神，是科學精神最好的涵詠。比如：研究吸引與肺癌關系的獨立性檢驗是心理學、醫學中廣泛采用的研究方法;二項分布是研究教育教學的有力工具;“要不要購買易損零件”（2016年高考—理19題）、“要不要繼續檢測”（2018年高考—理20題）帶有會計學和工商管理學的背景;“遇到紅燈的概率問題”來源于城市交通規劃學。教師在講完這些例子的數學過程之后不妨為學生講一講例子背后的理性精神。教師的延拓講解或許會點亮某些學生心中的科學火種，讓他們在不久的將來走上科研之路，最終成為某個領域的領軍人物。

學會學習是指既要掌握學習知識的技能和方法，更要通過不同方面的努力，全面提高學習品質，在學習中身心獲得發展，不斷超越自我。另一種通俗的理解是具備可持續學習的能力和意愿。這一素養的凝練需要豐富的場景和過程加持，而提高專業閱讀能力是重要的部分。

在學習概率與統計的過程中，學生有機會獲得較其他內容更多的數學與其他科學融合的閱讀材料，對這些材料的正確理解是數學建模能否成功的關鍵。在教學過程中，教師若能對學生閱讀進行相應的指導，學生數學建模的核心素養能得到提高的同時，學生學習的素養也得到了發展。余文森教授認為，在由狹義教學走向廣義教學的過程中，要由以書本知識為教學對象轉化為以課程資源為教學對象，課程資源包括但不限于教材。

（四）合理運用信息技術，有機融合數學教學與信息技術

發展學生數學學科核心素養的重要載體是數學教學活動。在數學教學中，利用信息技術可以創設豐富的情境，可以將較為抽象的內容變得直觀可視，可以提高學生自主探究和解決問題的能力。而在概率與統計教學內容中，由于涉及的數據處理方法多樣，計算繁雜，對教師的教學設計和課堂控制能力提出了很大的挑戰，學生在課堂上面對成堆的數據和眼花繚亂的圖形很容易迷失思考的方向，無法真正參與教學活動中，很難實現知識與方法的生成、理解、升華過程，就更談不上發展核心素養，因此要合理使用信息技術。

隨著信息技術的發展，市場上的概率與統計的平臺很多，如：SPSS、MatLab等。但由于它們太過專業、對硬件要求高而不適用于高中數學教學。GGB（Geogebra）是近年來風靡世界的數學教學軟件，有免費、功能強大、可移植性好等諸多特點，代表著數學課堂教學軟件的發展方向。從筆者多年的實踐來看，EXCEL是最適合在中學課堂中運用的概率與統計教學平臺。EXCEL的優點是小巧、方便、經濟、易學，幾乎每臺計算機上都有EXCEL，對硬件的要求不高，每位教師都可以根據自己的實際學習能力掌握一定的制作方法。通過在課堂中合理使用EXCEL，都能大幅度提高課堂的效率和有效性，現場操作的過程能讓學生產生既視感，幫助他們理解數據處理的具體過程，有效地提升凝練數據分析核心素養的效率。

另一方面，信息技術的運用是否能使課堂有效、真正為發展核心素養服務，這就取決于教師的組織教學的能力和學科功底。沒有精湛的教學設計和嫻熟的課堂駕馭能力為依托，光靠堆砌信息技術手段，并不能為學生帶來更深層次的思考，也就無從談起發展核心素養。這就是標題中“合理”“有機融合”的要義。

三、教學案例與思考

（一）教學案例：統計案例（非線性回歸分析）

【教學設計】

1. 教材分析：本節內容是高中人教A選修2-3第三章3.1節第二課時，是在學習完線性回歸方程的計算（通過例1復習必修3），擬合效果分析之后的進一步學習，是對線性回歸分析的進一步鞏固和提高。是回歸分析問題的最后一節新授課。

2. 學情分析：教學群體是高二物理班學生，數學水平落差較大。通過上一節的學習，學生已經基本掌握了線性回歸的建模與分析方法，能對兩個相關變量進行回歸求參、預測、殘差分析、擬合效果分析。

3. 教學目標：

（1）能在較綜合的環境中正確地區分線性和非線性的回歸模型，發展學生的數學建模素養。

（2）能創造性地運用統計知識構造相應的統計模型解決問題，并用恰當的統計語言表達數據提供的信息和規律，發展學生的數據處理素養。

（3）根據問題的需要對數學對象進行合理地表述、推理、運算，發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算素養。

4. 重難點：

重點：如何將非線性回歸分析轉化為線性回歸分析;如何評價擬合效果;

難點：如何確定非線性回歸模型的表達式。

5. 教法和學法：分組討論法、講練結合法。

【教學過程】

1. 回顧舊知：回顧線性回歸分析的基本步驟。

教師提出問題，引導學生回憶線性回歸分析的基本步驟，教師做點評、補充（喚醒學生的記憶，鞏固學生的最近發展區）。

2. 提出問題：

（1）教師讀題，引導學生理解題意，學生思考、討論、敘述自己的理解，確定解釋變量和預報變量：溫度和產卵數誰做解釋變量誰做預備變量比較好？（提出情境、閱讀文本、理解題意）

（2）教師引導學生觀察散點圖，并描述其特點，如：單調性，凹凸性等，然后討論出幾種比較符合的函數模型（二次、指數、冪）：觀察散點圖，你認為產卵數y和溫度x之間具有線性關系嗎？如果不是，可能與哪些函數圖象比較匹配？（通過圖形的直觀性引導學生了解不是任意兩個變量之間都是線性相關關系）

（3）教師引導學生思考如何設計二次函數的具體表達式，主要從參數個數差異如何消除來引導：如果使用其他函數模型（比如二次函數）具體如何設計函數表達式？（用較易轉化的二次函數做鋪墊，用化歸思想引導學生思考如何將非線性規劃轉化為線性規劃）

（4）如果是二次型模型，如何求參數？（讓學生體會數據如何隨著模型的變化而轉換）

（5）教師提出問題，引導學生思考，學生通過觀察思考發表自己的意見，教師點評：如果是指數函數模型如何設計具體函數表達式？（使學生進一步體會把解釋變量和預報變量的非線性關系經過轉換后可以轉化為兩個新變量間的關系）

（6）教師提出問題，引導學生分組討論，然后讓學生分組配合計算參數：如何計算這兩種指數函數模型的參數？（讓學生熟悉線性回歸模型的參數估計方法）

（7）教師提問、引導學生進行變換獲得最終的非線性模型：如何將得到的線性回歸模型再變回原問題所提出的模型？（將線性回歸轉回非線性回歸從而解決問題）

（8）教師提出問題，引導學生回憶評價線性回歸模型擬合好壞的標準——相關系數R2，進一步引導學生探討如何進行不同模型間的比較;學生討論、計算每個模型的R2，并進行比較：以上幾個模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產卵數y與溫度x的關系？（引導學生嘗試進行不同模型的比較）

（9）教師引導學生歸納處理非線性回歸問題的思路，同時應強調要借助散點圖的直觀性，聯想已學過的基本初等函數圖象，引導學生感受知識與方法之間的聯系。

小結：我們如何處理非線性問題？（引導學生整理思路，內化知識與方法，擴大最近發展區）

3. 課堂練習：

通過練習進一步內化方法，鞏固新的最近發展區。再次體會統計案例：收集數據、處理數據、建立模型、回歸模型、數據分析、決策的全過程。學生自主練習，教師巡視解惑、個別輔導。

某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。

4. 課后作業：（1）課本練習;（2）課外收集與閱讀：①探究近10年我國人均GDP與淘寶雙11的銷售額數據的關系;②網上搜索與非線性回歸有關的案例并閱讀，在小組內分享。

（二）反思

本節課總體來講設計合理、符合學生的認知特點;課堂上學生的思維活躍，參與度高，主體性強;合理運用信息技術輔助教學，教學效果良好。在教師的引導中，培養了學生的數學建模、數學運算、邏輯推理、數據分析、數學建模等核心素養。在這堂課之后，接下來第二周筆者又以本節課的課后作業為資源再上了一節自主探究課，學生分組展示對案例的分析，非常精彩。由此說明本堂課在發展學生核心素養方面有可取之處。

四、結語

通過以上研究，我們認為在概率與統計的教學中，可以通過厘清本主題的整體特點和思想主線;提高教師自身的專業水平;用真實、完整、豐富的案例作教學資源;有機結合信息技術為手段等方面來提高教學能效，發展學生的學科核心素養和個人核心素養。

參考文獻

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