解析幾何教學要為核心素養(yǎng)而教

吳新紅

【摘要】在平面解析幾何教學中如何培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，是值得探討的主題。平面解析幾何教學要“為素養(yǎng)而教”，注重培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)。本文以“點到直線的距離公式”新授課為例，提出在平面解析幾何教學中落實高中數學核心素養(yǎng)的四項策略：創(chuàng)新情境，問題引領;自主探究，小組合作;及時反饋，過程評價;總結提升，反思優(yōu)化。

【關鍵詞】中學數學;解析幾何;核心素養(yǎng);點到直線的距離公式

如何培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)是值得深入探討的問題。數學核心素養(yǎng)的培育，離不開具體的數學知識的學習、應用、創(chuàng)新。在高中數學課堂教學中，不少教師仍然崇尚“題海戰(zhàn)術”，只是“為考試而教”，忽視培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，課堂教學效益較低。因此，在平面解析幾何教學中，要“為素養(yǎng)而教” ，注重培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)，努力追求“負擔輕、效率高、效益佳”的課堂教學效果。下面以“點到直線的距離公式（新授課）”為例，分享我們的實踐與思考。

一、教學設計

（一）教學目標

1.會用坐標法和向量法推導點到直線的距離公式。

2.會用點到直線的距離解決具體問題。

3.在點到直線距離公式推導過程中，培育直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)。

（二）重點難點

1.教學重點：點到直線的距離公式。

2.教學難點：點到直線的距離公式的推導。

（三）教學過程設計

1.引入新課

上節(jié)課我們研究了兩點間的距離公式，本節(jié)課我們來探討點到直線的距離公式。

2.推導公式

問題1：何為點到直線的距離？

設計意圖：弄清概念，明確研究對象。

問題2：如圖，已知點P（xo， yo），直線l：Ax+Bx+C=0（A，B不同時為0），如何求點P到直線l的距離？

設計意圖：讓學生經歷點到直線的距離公式推導過程，培育邏輯推理和數學運算素養(yǎng)。

追問：如果直線l：Ax+Bx+C=0（A=0，B≠0）平行于x軸，點P（xo，yo）到直線l的距離還滿足上式嗎？

如果直線l：Ax+By+C=0（B=0， A≠0）平行于y軸，點P（xo，yo）到直線l的距離還滿足上式嗎？

設計意圖：補充兩種特殊情況，體現數學思維的嚴密性。

問題3：反思點到直線的距離公式的推導過程，你發(fā)現引起復雜運算的原因嗎？

設計意圖：優(yōu)化運算過程。

問題4：向量是解決距離、角度問題的有力工具，能用向量方法求點到直線的距離嗎？

設計意圖：用向量法推導點到直線的距離公式。

問題5：點到直線的距離公式有什么結構特征？

設計意圖：強化公式結構，加深學生對公式的理解。

問題6：比較推導點到直線的距離公式的坐標法和向量法，它們各有什么特點？

設計意圖：讓學生認識坐標法和向量法的特點。

3.運用公式

例1：求點P（-1，2）到直線2y=3的距離。

例2：已知△ABC的三個頂點分別是A（1，2），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積。

設計意圖：運用公式解題，提高學生的知識遷移能力。

4.課堂小結

問題7：這節(jié)課我們學到了什么？有何感悟？

設計意圖：引導學生小結，提高學生的反思意識。

5.變式練習（課外作業(yè)）

（1）求點P（-1，2）到直線3x+2y-7=0的距離。

（2）若點P（-1，2）到直線4x-3y+C=0的距離為1，求C的值。

（3）試探索點到直線的距離公式的其它證明方法。

二、教學實錄

教學片斷1：推導點到直線的距離公式

問題1：何為點到直線的距離？

學生1：直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫點到直線的距離。

問題2：已知點P（xo，yo），直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時為0），怎樣求點P到直線l的距離d？

學生2：當A=0時，直線可變?yōu)椋海@然.

學生3：當B=0時，直線可變?yōu)椋海@然.

教師：當A≠0，B≠0時，如何求點P到直線l的距離d？

學生4：先求垂足的坐標，再用兩點間的距離公式來求。

教師：很好，將點到直線的距離轉化為了兩點間的距離。如何求垂線PQ的方程？如何求出點Q的坐標？

學生5：利用垂直條件求PQ的斜率，再用點斜式求PQ的方程，最后聯立方程組，求出垂足Q的坐標。

教師：這是推導點到直線的距離公式最直接的思路，能給出推導過程嗎？

師生合作：當A≠0，B≠0時，直線l的斜率為，所以垂線PQ的斜率為.

因此，垂線PQ方程為，即Bx-Ay=Bxo-Ayo.

聯立方程組

將（1）×A+（2）×B得：（A2+B2）x+AC+AByo-B2xo=0，

問題3：反思點到直線的距離公式的推導過程，你發(fā)現引起復雜運算的原因嗎？

學生6：由于點Q的坐標比較復雜，再代入兩點間的距離公式造成了運算復雜。

教師：不求點Q的坐標，能推出點到直線的距離公式嗎？設Q（x，y），觀察兩點間距離公式，能從方程組中直接寫出x-xo，y-yo的表達式嗎？

學生7：將變形得

從而（3）×A+（4）×B，（3）×B-（4）×A可求得：

教師：很好，“設而不求”是運算中十分常用的方法。與第一種方法相比，第二種方法的計算量大大降低。你能概述一下簡化運算的方法嗎？

學生8：第二種方法的推導過程，實際上是從所要求的表達式的結構入手，通過整體代換簡化了運算。

教師：總結得很好。

問題4：向量是解決距離、角度問題的有力工具，能用向量方法求點到直線的距離嗎？

教師：如圖，設M（x，y）是直線l上的任意一點，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，與、n有何關系呢？

學生9： 是在n上的投影向量。

學生10：

追問1：如何用坐標表示n？

學生11：因為直線l：Ax+By+C=0的斜率為，它的一個方向向量為（1，），

因此，與直線l垂直的一個方向向量為（1，-），

所以，與直線l垂直的單位向量n=

追問2：如何求？

學生12：因為=（x-xo，y-yo），所以

因為M（x，y）在直線l上，則Ax+By+C=0.代入（5）式整理得.

教學片斷2：點到直線的距離公式的理解

問題5：點到直線的距離公式有什么結構特征？

學生12：公式的分子：跟直線方程一般式的結構一致，只是把P點的坐標代入到了直線方程中，體現了公式與直線方程關系。因為所求的是距離，所以要加絕對值保證結果為非負。

問題6：比較推導點到直線的距離公式的坐標法和向量法，它們各有什么特點？

學生13：坐標法是通過求垂足坐標得到點到直線距離公式。由于求垂足坐標的運算量較大，所以采用“設而不求”，整體代換的手段，簡化運算。向量法借助投影向量、直線方向向量，通過向量坐標運算得到點到直線距離公式。

教師：很好，向量法體現了解析幾何形與數、數與形的轉化，降低了運算量。是否還有其它的方法可以推導出點到直線的距離公式？課后請同學們繼續(xù)探究。

教學片斷3：總結提升

問題7：這節(jié)課我們學到了什么？有何感悟？

學生14：學到了用坐標法推導點到直線的距離公式的方法。

學生15：向量法利用投影向量的概念，借助向量的坐標運算獲得點到直線距離公式。

學生16：數形結合是非常重要的。

教師：很好。數學學習要善于總結，主動思考，合作交流。

三、教學反思

解析幾何教學要突出坐標法，發(fā)揮向量法的優(yōu)勢，著力培養(yǎng)學生的數形結合思想，培育直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)。反思點到直線的距離公式的教學設計和實踐，筆者認為，基于核心素養(yǎng)的解析幾何教學有以下四條教學策略：

1.創(chuàng)新情境，問題引領

問題引領的課堂教學能充分體現學生的課堂主體地位和教師的課堂主導作用，能充分調動學生的積極性和課堂參與性，在學生充分參與的過程中培養(yǎng)學生的問題意識。從本節(jié)課的教學設計來看，問題引領學生探究“點到直線的距離公式”，注重知識間的相互聯系，引導學生數學思維，讓學生充分參與課堂活動，培育學生的思維能力和核心素養(yǎng)。

2.自主探究，小組合作

當前不少因素導致教師片面追求學生的“高分數”，采用“填鴨式”教育，導致學生的學習能力不強，合作意識淡薄。本節(jié)課在師生提出了一種思路并解決后，教師還是交給學生自己去思考探究，將運算進行優(yōu)化，而不是直接告訴學生該怎么做。在這個過程中學生有自己的感悟，有互動交流，質疑論辯，學生的思維得以提升，邏輯推理、數學運算等素養(yǎng)得以提升，達到學科目標和育人目標相結合的目的。但本節(jié)課在自主探究和小組合作這一部分仍然存在不足，這也是筆者下一階段將要研究和努力的方向。

3.及時反饋，過程評價

評價引領是將優(yōu)質課堂深入發(fā)展下去的保證。用評價進行激勵，增強了學生的學習精神，樹立了榜樣作用。評價是對學生素質能力的肯定，促進了學生自主學習，深入探究，達到自我提升的效果。

本節(jié)課在學生回答問題和進行運算求解的過程中，教師一直在恰到好處地贊美激勵學生，讓學生始終保持一種旺盛的狀態(tài)，積極探究的精神，讓學生達到樂學的境界。

事實上，數學運算是多數學生的瓶頸所在，算不好、不會算，然后不想算是不少學生的狀態(tài)。但數學畢竟少不了運算，特別是解析幾何中，如果一時想不到什么巧妙解法，計算也許是學生唯一的途徑。因此，我們要培養(yǎng)學生勇敢面對復雜計算的信心，鼓勵學生勇于計算，讓學生從教師那里獲得解決問題的信心能量。

4.總結提升，反思優(yōu)化

課堂小結有利于幫助學生掌握基本的數學知識與數學技能，提高學生的數學思維能力。開展課堂小結不能只總結當堂課的數學知識，也應該總結本節(jié)課應用的學習方法，有時學生并不能完全理解當堂課學習的數學內容，教師也不可能兼顧到全體學生的學習。因此，可以引導學生掌握正確學習方法的措施，幫助學生將數學知識前后聯系，達到觸類旁通的效果。

本節(jié)課在用三種方法推導出點到直線的距離公式后及時進行了對比和小結。在課堂小結時，三個學生分別從本節(jié)課學習的知識技能、思維擴展及合作交流等方面進行了闡述，相信本節(jié)課對學生的數學思維品質和素養(yǎng)都有一定提升作用。

總之，高中數學有著較強的邏輯性與抽象性，包含大量的知識點，要求學生有著較高的邏輯思維能力與數學運算能力，而利用以上四個策略能夠有效激發(fā)學生的思維和創(chuàng)造力，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，達到立德樹人的根本目標。

[本文系廣州市教育科學規(guī)劃（Guangzhou education scientific research project）2019年度基于“大數據+人工智能”背景下的精準教學策略研究（課題編號：201912044）的階段研究成果]

參考文獻：

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