典型習題對數(shù)學思維培養(yǎng)的滲透

陸新穎

摘要：數(shù)學思維，是數(shù)學學習的基礎和數(shù)學能力提高的保障。充分利用教材中的典型習題，可以滲透對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)。文章首先闡述了小學數(shù)學課程對學生數(shù)學思維發(fā)展的教學要求，然后以蘇教版小學數(shù)學為例，分別從典型習題對數(shù)學數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)學推理等幾個方面探索了重視典型習題研究、發(fā)展學生數(shù)學思維的具體辦法。

關鍵詞：數(shù)學思維;典型習題;蘇教版;教學策略

思維培養(yǎng)是小學階段數(shù)學課程的重要任務，也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成。習題練習是小學階段數(shù)學實踐的重要方式。依托數(shù)學教材，在實踐中加強對典型數(shù)學習題的研究，以促使學生在習題練習中積極參與，全面發(fā)展數(shù)學思維，提升數(shù)學綜合能力，對小學階段數(shù)學教學而言，顯得迫切而重要。下面以蘇教版教材為例，結合實踐，就如何依托小學數(shù)學典型習題發(fā)展學生數(shù)學思維，談如下一些個人觀點與思考：

1? ?小學數(shù)學課程對學生數(shù)學思維發(fā)展的教學要求

在新課標中明確指出，教師在數(shù)學課程中應注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等思維能力，尤其要重視對學生應用意識與創(chuàng)新意識的教學培養(yǎng)。這些數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，既是小學數(shù)學教材的編寫指南，也應成為我們教學過程中的重要參照，由此構成了小學階段學生數(shù)學思維發(fā)展的核心內容。

2? ?重視典型習題研究，發(fā)展學生數(shù)學思維

數(shù)學課程強調邏輯推理，重視對數(shù)學知識的靈活運用。數(shù)學知識多以間接經(jīng)驗為主，而獲取其中相關知識、探尋其中蘊藏規(guī)律最有效的手段就是實踐，習題練習是最為重要且最為核心的學習手段。典型數(shù)學習題在問題解決過程中，體現(xiàn)出對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，值得廣大教育工作者在教學實踐中去認真總結、系統(tǒng)梳理。

2.1典型習題對數(shù)學“數(shù)感”的教學啟發(fā)

顧名思義，數(shù)學“數(shù)感”可理解為對數(shù)學及數(shù)字的敏感。數(shù)學“數(shù)感”直接反映學生對數(shù)學概念、相關知識與應用實踐的理解，考查學生在面對具體的數(shù)學問題時，其直觀判斷或策略處理能力。數(shù)學“數(shù)感”是小學階段數(shù)學思維的重要培養(yǎng)內容，典型習題在一定程度上反映出對這種教學設計的契合。

以蘇教版三年級上冊第一單元“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”課后習題為例。題目內容為：從甲城市去往乙城市，共有3種不同票價火車可以搭乘，具體票價見下表（表1）所示。某人購買了3張相同價格的火車票，付給售票員共1000元。請選擇他購買的是哪一種價位的火車票。

本題是一道典型的數(shù)學“數(shù)感”啟發(fā)習題。按照正常解題思路，大抵可經(jīng)過如下求解步驟：第一步，分別計算出不同票價火車的購票總花費，普通火車為198×3=594（元），特快列車為312×3=936（元），動車組列車為405×3=1215（元）。第二步，將三種購票花費與實際的支付錢數(shù)進行比較，以確定本題答案。通過第一步計算，可知936元最接近1000元，所以可判定購買的是票價為312元/張的“特快列車”。但是若借助 “數(shù)學估算”來解決本道練習題，可極大地簡化題目中煩瑣的計算過程，既迅速又不容易出錯，體現(xiàn)“數(shù)感”思維對數(shù)學解題的運用。在實際教學中，可引導學生進行估算，快速選出題目答案：（1）198≈200，312≈300，405≈400，（2）200×3=600，300×3=900，400×3=1200，（3）票價為312元的“特快列車”最接近1000元，因而其為本題正確答案。

2.2典型習題對“符號意識”的教學啟迪

符號在數(shù)學課程、數(shù)學習題中廣泛分布，常見的諸如數(shù)字、字母、公式等，均是數(shù)學符號在不同學習情境中的顯現(xiàn)。所謂“符號意識”是指能夠理解并運用符號來表示數(shù)、數(shù)量關系和其中變化規(guī)律，能夠使用符號來進行運算或推理，得出一般性結論。小學階段數(shù)學教學要幫助學生建立“符號意識”，引導學生理解符號并能通過符號的使用來進行數(shù)學表達與數(shù)學思考。在實際教學中，可通過典型習題來啟發(fā)“符號意識”，提升思維能力。

以下題為例：若6*3=9，14#1=13，那么，7*5=？9*11#12=？本題引入了兩個未知符號“*”“#”，體現(xiàn)“符號意識”在數(shù)學解題過程中的運用。在實際教學中，我們可通過引導學生仔細觀察，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，探尋解題路徑。通過觀察，學生發(fā)現(xiàn)原來題目當中的未知符號“*”“#”，是數(shù)學計算中“+”“-”號的替換。題干中的6*3=9，14#1=13可替換為6+3=9，14-1=13。這樣，符號一經(jīng)替換，整個計算過程就變得異常簡單起來，7*5=7+5=12，9*11#12=9+11-12=8。再以一題為例：已知A、B為下述線段，兩者大小關系見下圖（圖2）。想一想，比一比。（1）A=（? ?），B=（? ?）（括號內填寫具體數(shù)字）。（2）A與B一共是多少？（3）A比B少多少？

這道題是圖形符號在數(shù)學解題中的運用，同樣考查學生“數(shù)感”思維的敏銳程度。通過比較，學生發(fā)現(xiàn)：本題中的A占據(jù)2個單位線段，B則占據(jù)了4個單位線段。已知，2個單位線段為6，則A=6，而B為A的2倍，即B=12。那么，A+B=18，B-A=12-6=6。從上述經(jīng)典習題中，我們不難發(fā)現(xiàn)：“符號意識”建立在對數(shù)字敏感、數(shù)學規(guī)律熟練的基礎之上，培養(yǎng)“符號意識”有助于啟發(fā)學生的數(shù)學思維，提升學生的數(shù)學創(chuàng)造力。

2.3典型習題對“空間觀念”的教學培養(yǎng)

“空間觀念”是空間感覺、空間方位及空間想象等在數(shù)學學習中的綜合體現(xiàn)。新課標指出，小學數(shù)學“空間觀念”培養(yǎng)主要包含以下幾方面：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出實物，想象物體方位與位置關系，能夠描述圖形運動與變化，能夠依據(jù)語言的描述畫出圖形，等等。在教學過程中，巧妙借助典型習題，可提升學生的“空間觀念”，培養(yǎng)良好的數(shù)學思維。

以下題為例：小明要過生日了，媽媽送他的生日禮物被彩帶包裝成如下圖所示（圖3-1）樣式。其中的接頭處彩帶長為15厘米。問：要完成這樣的包裝，2米長的彩帶夠不夠用。

本題是一道經(jīng)典的數(shù)學“空間觀念”思維培養(yǎng)習題，考查學生通過幾何圖形去想象實際物體，以實現(xiàn)數(shù)學問題解決的過程。結合生活經(jīng)驗，假借“空間觀念”思維，學生發(fā)現(xiàn)：整個包裝的彩帶總長度由三部分構成：兩個不同橫截面的周長，再加上接頭處的15厘米。只要計算出實際使用彩帶的總長度，就可求出2米彩帶到底是否夠用。未知的兩個長方形周長長度，可利用周長公式C=2（a+b）算出，分別為2×（40+10）=100（厘米），2×（30+10）=80（厘米），彩帶總長度為：15+100+80=195（厘米），小于2米，所以，夠用。當然，在彩帶計算過程中，可以通過數(shù)學“空間觀念”中的“位置移動和變化”思維，簡化求解過程。我們發(fā)現(xiàn)：彩帶在對生日禮物禮盒的纏繞過程中，形成了兩個封閉的長方形，借助對彩帶每個邊長的圖形位移，我們發(fā)現(xiàn)：彩帶使用部分的長度，實際是對原立方體的40厘米、30厘米邊長進行2次重復捆扎、對10厘米邊長進行4次捆扎的長度總和（見圖3-2）。那么，計算過程簡化為：（40+30）×2+10×4=180（厘米），加上打結處的15厘米，總長度為：180+15=195（厘米），所以，2米的彩帶夠用。

2.4典型習題對“幾何直觀”的教學滲透

小學階段的學生剛剛接觸數(shù)學，處于數(shù)學興趣培養(yǎng)的啟蒙期，是數(shù)學素養(yǎng)的奠基培育階段。數(shù)學本身所具有的抽象、嚴謹?shù)葘W科特征，容易引起初學者的恐懼，其教學中包含的大量概念、公式、定理、推導等相關內容，也會使學生在學習上產(chǎn)生倦怠，不利于數(shù)學興趣的激發(fā)?！皫缀沃庇^”將直觀的圖形圖像引入數(shù)學學習當中，利用圖形來描述和分析具體問題，將其簡明化、具體化、形象化，讓學生能更加直觀地理解數(shù)學，從而降低數(shù)學問題難度，提升數(shù)學問題解決效率，有助于提升學生的學習參與度與數(shù)學學習興趣。在典型數(shù)學習題練習中，我們總能遇到借助“幾何直觀”思維來簡化解題過程的精彩運用。

以下題為例：圖中（見下圖4-1）大圓的周長為628厘米，大圓內部有3個小圓，它們的圓心都在大圓的直徑上面，并且相切。請問：這3個小圓的周長之和是多少厘米？

本題看似是利用圓的周長公式展開相關運算的專項練習習題，實則是一道典型的“幾何直觀”思維培養(yǎng)習題。常規(guī)解法是：（1）分析題意，找出未知條件。根據(jù)圓的周長計算公式C=πR，π是隱性已知條件，發(fā)現(xiàn)：想要計算3個小圓周長，前提是要獲悉它們的直徑數(shù)值，于是，解題的焦點回歸到探尋圖中3個小圓直徑上來，這是解決本題的核心關鍵;（2）探尋解題關鍵，尋找解決途徑。本題已知條件只有大圓周長是628厘米，那么借助周長公式C=πR，我們可計算出大圓的直徑R=C÷π=628÷3.14=200（厘米），通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)這3個小圓的直徑之和等于大圓直徑，可借助C總=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3）的公式變化，將分別尋找三個小圓直徑的核心關鍵，轉化為對三個小圓直徑之和的探究，直徑之和就是大圓直徑，借助圓周長計算公式C=πR，可求出圖中3個小圓周長之和。（3）整理并輸出計算。運用上述分析，將思維過程轉化為解題步驟：因為C總=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3），π=3.14，R1+R2+R3=200，則C總=3.14×200=628（厘米）。那么，細心的學生發(fā)現(xiàn)：3個小圓的周長之和與大圓周長相等。其實，借用數(shù)學“幾何直觀”思維，我們可以通過“小圓直徑之和與大圓直徑相等”這一隱藏在圖形內部的條件，很容易得出本題的計算結果。拓展開來，如果在同樣條件下，大圓內的小圓變成了10個、20個、100個，那么，它們的周長之和，結果是多少？顯而易見，與大圓的周長相等，同樣是628厘米。在這個典型習題的基礎上，還會進行其他延展，體現(xiàn)對“幾何直觀”思維的培養(yǎng)。如圖4-2所示，若大圓的周長為628厘米，那么內部6個小圓的周長之和為多少呢？在此不做贅述，留作讀者思考。綜合而言，“幾何直觀”是小學階段重要的數(shù)學思維，借助典型習題，透過課堂訓練積極引導，可激發(fā)數(shù)學思考，提升數(shù)學洞察能力，培養(yǎng)良好的空間思維能力。

2.5典型習題對“數(shù)學推理”的教學應用

推理是數(shù)學基本思維。利用推理來解決數(shù)學問題，貫穿于全部數(shù)學學習過程。常見的“數(shù)學推理”主要包括兩個方面：其一是合情推理，強調從事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗與直覺，利用歸納或類比等方法來進行數(shù)學結果的推斷。其二是演繹推理，是指依據(jù)數(shù)學事實與數(shù)學規(guī)則，按照邏輯推理法則來進行數(shù)學計算或數(shù)學證明。在實際教學中，多數(shù)數(shù)學習題反映了“數(shù)學推理”思維的過程，體現(xiàn)對學生“數(shù)學推理”思維能力的培養(yǎng)。因此，要求我們在實踐中要加強對典型推理數(shù)學習題的研究，在數(shù)學運用中去發(fā)展學生的“數(shù)學推理”思維能力。

以下題為例：求出分數(shù)算式1/2+1/4+1/8+1/16的結果。本題雖然是一道計算類習題，但其求解過程卻充分體現(xiàn)了“數(shù)學推理”的靈活運用，可謂數(shù)學習題中的經(jīng)典題型。本題常規(guī)解題思路是先對其中各個分數(shù)施行分母通分，找出分母的公倍數(shù)，將分子相加，從而求出最終結果。本題分母的公倍數(shù)為16，分數(shù)計算過程大抵如下：1/2+1/4+1/8+1/16=8/16+4/16+2/16+1/16=（8+4+2+1）/16=15/16。在“數(shù)學推理”思維指引下，我們可探尋另外的解題思路，借助推理簡化計算過程，體現(xiàn)推理思維對數(shù)學解題的重要作用。研究發(fā)現(xiàn)：本題算式中各分數(shù)可分別用一組首尾呼應的分數(shù)減式進行替換，如1/2=（1-1/2），1/4=（1/2-1/4），1/8=（1/4-1/8），1/16=（1/8-1/16），將分數(shù)減式代入算式，前后抵消后即得到極大簡化，過程為：1/2+1/4+1/8+1/16=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+（1/8-1/16）=1-1/16，迅速得出計算結果為15/16。

3? ?結語

思維培養(yǎng)是數(shù)學課程的重要教學任務。習題練習是數(shù)學實踐的重要組成，典型數(shù)學習題滲透有利于學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。在教學過程中，應重視對習題教學的研究，從中發(fā)展學生的數(shù)學數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)學推理等思維意識，以全面提升數(shù)學綜合能力，促進數(shù)學核心素養(yǎng)形成。

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