數缺形時少直觀，形缺數時難入微
——2021年全國乙卷理21題的探析與拓展

江西師范大學附屬中學 (330027) 張 璀

1 試題呈現

圖1

(2021年全國乙卷·理科第21題)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上的點的最短距離為4.如圖1

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA,PB為C的切線，切點為A,B，求ΔPAB面積的最大值.

2 解法探究

該題形式上以拋物線中的阿基米德三角形為背景，結構雖簡單、明了，但內涵豐富、綜合性強、解法靈活，考查了拋物線和圓的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系、三角形的面積等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力及轉化與化歸的數學思想，體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養(yǎng).第(1)問屬于常規(guī)問題，答案是p=2，第(2)問是一道求三角形面積最大值問題，內涵豐富，本文主要對該問予以探析與拓展：

評注：該法也屬于同構方程法，區(qū)別于解法2同構的元素為斜率，解法3同構的元素為坐標，利用“兩點確定一條直線”的原理，得到直線AB方程為x0x-2y-2y0=0，兩種不同的同構法，異曲同工之效.

評注：該法通過引進三角函數設參數方法，將直線AB的方程及ΔPAB面積的給表示出來，相比前幾種方法更好地簡化了運算量，這一類方法尤其是在研究直線與橢圓的位置關系中優(yōu)勢比較明顯.

3 變式訓練

變式1 已知拋物線C：x2=4y，P為直線y=x-2上一點，PA,PB為C的切線，切點為A,B，求ΔPAB面積的最小值.

4 一般化拓展

已知拋物線C：x2=2py(p>0)，C上兩不同點A,B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，以A,B兩點為切點的切線交于點P，通過以上探究，我們不難得到阿基米德三角形PAB的如下性質：