積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn) 提升數(shù)學(xué)思維深度

宋陽 王丹

摘 要 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的“四基”之一。有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)要充分蘊(yùn)含具體的數(shù)學(xué)思想方法。典型數(shù)學(xué)問題常常蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想方法和解決問題的通性通法，關(guān)于求點(diǎn)坐標(biāo)的幾何與代數(shù)綜合題充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想方法。利用題設(shè)條件尋找相似三角形問題是問題解決的難點(diǎn)，通過典型例題幫助學(xué)生積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，形成解題方法。

關(guān)鍵詞 轉(zhuǎn)化 相似三角形 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

幾何與代數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)覆蓋廣、難度高、信息量較大的一類題型，學(xué)生往往難以在短時間內(nèi)找到切入點(diǎn)。其中的難點(diǎn)在于如何有效構(gòu)造相似三角形。為此，教師常常引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造“A”字型相似三角形或“8”字型相似三角形。本文以“奇妙的平行線”微專題設(shè)計(jì)為例，通過學(xué)生自主探究與教師點(diǎn)撥的方式，積累有效經(jīng)驗(yàn)充分感受轉(zhuǎn)化思想方法和構(gòu)造相似三角形的通法，破解構(gòu)造相似三角形的難點(diǎn)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過親歷解題過程，學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化思想。（1）在直角坐標(biāo)系中，會將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段問題;（2）會將求解線段長轉(zhuǎn)化為相似三角形問題，即利用平行線構(gòu)造相似三角形。

2.通過親歷解題過程和解題方法的反思，學(xué)生能夠優(yōu)化相似三角形的構(gòu)造過程。即結(jié)合已知條件，選擇或構(gòu)造可求邊長的相似三角形。

3.通過親歷解題過程，學(xué)生學(xué)會分類、整理和總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。

二、設(shè)計(jì)理念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)，基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，既包括如何從數(shù)學(xué)角度觀察客觀世界并提出數(shù)學(xué)問題這類引領(lǐng)數(shù)學(xué)發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)，也包括解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)。對于初中生來說，解決問題經(jīng)驗(yàn)是抽取數(shù)學(xué)思想方法不可或缺的基礎(chǔ)，因此需要通過典型題目幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)[1]。

基于金字塔學(xué)習(xí)理論，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲取途徑主要是通過學(xué)生獨(dú)立與合作的方式，親歷問題解決過程，而不是教師直接告知[2]。因此，本節(jié)課主要以學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究的方式完成教師提出的典型問題。

三、教學(xué)過程

1.基礎(chǔ)題目：獲取初步經(jīng)驗(yàn)，初步理清利用轉(zhuǎn)化思想的解題思路。題目1：如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），直線y = 2x + 4與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn).當(dāng)[CPCA]=[13]時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為? ? ? ? ? ? ? 。

思路探求：依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，求點(diǎn)P坐標(biāo)，需要知道點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的垂線段長。當(dāng)作出點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的垂線段時，就會出現(xiàn)了圖2或圖3。此時，求點(diǎn)P坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為在圖2或圖3中求垂線段PH或PK的長度問題。一般來說，求線段長度的方法很多，其中利用欲求線段所在三角形與其他三角形相似（全等）是重要方法之一。若利用該方法，需要找出滿足下列條件的另一個三角形：一是欲求線段與另一三角形已知長度的邊對應(yīng)，且這兩個三角形相似。

在尋找相似三角形過程中，其難點(diǎn)是結(jié)合充分已知條件去尋找，能說明欲求線段所在三角形和與之相似三角形。在圖2中，欲求線段所在三角形為△CPH。由于PH∥x軸、[CPCA]=[13]，因此，容易發(fā)現(xiàn)與△CPH相似的三角形△CAO，且AO和CO都是可以求得的。至此，找到了符合要求的兩個相似的三角形。

同理，可以在圖3中尋找到兩個相似三角形。

基于上述解題思路分析，求點(diǎn)P坐標(biāo)的重要經(jīng)驗(yàn)：一是將求點(diǎn)P坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的線段長;二是將求線段長問題轉(zhuǎn)化為三角形相似問題;三是尋找相似三角形。其中尋找合適的相似三角形是解決問題的難點(diǎn)。

2.合理變式：強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)，充分結(jié)合已知條件破解關(guān)鍵性問題。題目2：若點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線BP交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)[PEBE]=[12]時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為? ? ? 。

思路探求：基于題目1的經(jīng)驗(yàn)，首先要把點(diǎn)P坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求線段長問題（求PH、PK的長）;其次，尋找兩個相似三角形，一個三角形是欲求線段所在三角形，另一個三角形要與之相似且與欲求線段對應(yīng)邊長度為已知或可以求得。以圖4為例，圖4中PH為欲求線段，其所在三角形有兩個，分別是△CPH、△EPH。但究竟要選擇哪一個三角形，并以此三角形去尋找另一個相似三角形，是問題解決的關(guān)鍵一步。由于已知條件給出了[PEBE]=[12]，因此確定△EPH為欲求線段PH所在三角形。又由于[PEBE]=[12]、PH∥x軸，且與PH對應(yīng)線段OB長度可求，所以可以確定△EBO為另一個所要尋找的與之相似的三角形。

同理，在圖5中，可以求得PK的長。

通過題目2的解決過程，再一次強(qiáng)化了題目中積累的活動經(jīng)驗(yàn)：點(diǎn)的坐標(biāo)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到坐標(biāo)軸垂線段的問題，進(jìn)而又轉(zhuǎn)化為三角形相似問題，即尋找含有欲求線段所在三角形和與之相似的三角形問題。在選擇兩個相似三角形的時候，要充分結(jié)合題目所給條件和隱含條件，比如本題中過點(diǎn)P的垂線段平行于坐標(biāo)軸。

3.再度變式：豐富經(jīng)驗(yàn)，探求多種思路深化對解題規(guī)律的認(rèn)識。題目3：（1）已知拋物線y=ax2+bx+c（[y=-2x2-2x+4]）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AC上方該拋物線上的一個動點(diǎn)，PB交AC于點(diǎn)F.當(dāng)[PFBF]=[13]時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為? ? ? ? ? ? ? 。

思路探求：基于題目1和題目2積累的經(jīng)驗(yàn)，首先還是將坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的垂線段;其次，尋找兩個相似三角形。

尋找相似三角形有多種方法，每一種方法都展現(xiàn)出不同思路：

思路1：基于題目1和題目2中建構(gòu)相似三角形的經(jīng)驗(yàn)，確定PK所在三角形為△PKB，再結(jié)合題目條件：[PFBF]=[13]，可能聯(lián)想到作點(diǎn)F到x軸垂線段（圖6），從而構(gòu)造出兩個相似三角形△PKB和△FGB。但由于FG未知，所以不能直接求得PK。這一點(diǎn)與題目1和題目2的不同之處。不過進(jìn)一步分析可知，由于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P和點(diǎn)F分別在兩個函數(shù)圖像上，且[PFBF]=[13]，所以點(diǎn)F坐標(biāo)可有點(diǎn)P坐標(biāo)表示。又根據(jù)△PKB∽△FGB，可以借助[KGBG]=[13]列出一個二元一次方程組，從而問題得以解決。

思路2：與思路1相似，結(jié)合題目條件：[PFBF]=[13]，作PM∥x軸交直線AC于M，如圖7，易得△PFM∽△BFA，導(dǎo)出[PMAB]=[PFFB]，AB易求，進(jìn)而可求出PM。設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律表示出點(diǎn)M坐標(biāo)，點(diǎn)M在直線y=2x+4上，從而點(diǎn)P坐標(biāo)可求.

思路3：結(jié)合題目條件：[PFBF]=[13]，作PK∥y軸交x軸于K，容易找到PK所在三角形為△PKB。但如何尋找或構(gòu)造另一個與之相似的三角形？基于思路二的經(jīng)驗(yàn)，再一次結(jié)合題目條件：[PFBF]=[13]，可以聯(lián)想到構(gòu)造以BF為邊的三角形，且構(gòu)造的三角形中與PN對應(yīng)的邊長可求。由此進(jìn)一步聯(lián)想到，作BT∥y軸交直線AC于T，如圖8，易得△PFN∽△BFT，導(dǎo)出[PNBT]=[PFFB]。由于BT可求，所以可求得PN，進(jìn)而利用解析式，點(diǎn)P坐標(biāo)可求.

思路4：作PQ∥AC交x軸于Q，如圖9，易得[BQBA]=[PBFB]，AB可求，點(diǎn)Q坐標(biāo)可求，PQ∥AC，PQ關(guān)系式可求，由PQ關(guān)系式和拋物線關(guān)系式聯(lián)立可求出交點(diǎn)P坐標(biāo).

4.探討交流：集思廣益，歸納總結(jié)經(jīng)驗(yàn)方法提升解題效率。通過以上四種方法的探索過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，同樣是借助平行線構(gòu)造相似三角形，但對于后繼解答的復(fù)雜程度卻不盡相同，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生思考，是否能摸索出一種數(shù)學(xué)規(guī)律，使得我們在構(gòu)造相似三角形時可以化繁為簡、提高做題效率呢？于是學(xué)生開展小組內(nèi)和組間的交流，總結(jié)出四種方法同樣借助平行線構(gòu)造相似三角形的原則，但仔細(xì)觀察已構(gòu)造的相似三角形，我們不難發(fā)現(xiàn)，相似三角形中利用的已知條件越多，后續(xù)的解法就越簡單。進(jìn)而教師可以總結(jié)出如下規(guī)律：在選擇或構(gòu)造相似三角形時，要讓兩個三角形中盡可能多包含已知頂點(diǎn)和已知線段，那么后繼推演步驟就少，計(jì)算也會更加簡便。

四、反饋訓(xùn)練：能夠在不斷變化中靈活運(yùn)用

1.已知二次函數(shù)y=[12x2-3x-8]，其圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（8，0），且經(jīng)過點(diǎn)C（6，-8），點(diǎn)D（0，n）在y軸負(fù)半軸上，直線BD與OC相交于點(diǎn)E，當(dāng)OD=OE時，求n的值.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解構(gòu)造相似三角形時添加平行線的巧妙之處，尤其是在解決靈活性較強(qiáng)的題目時，體會這種方法的巧妙之處，如圖10。

2.如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（-4，0），點(diǎn)C（0，3）動點(diǎn)P由點(diǎn)B以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q也從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（t>0）當(dāng)點(diǎn)C到直線PQ的距離等于2時，請直接寫出t的值。

設(shè)計(jì)意圖：將變式題型的訓(xùn)練持續(xù)融入復(fù)習(xí)課教學(xué)，學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解需要在問題、條件的不斷改變中靈活培養(yǎng)。題1相較前者取消了線段之比的條件，進(jìn)一步減少學(xué)生“生搬硬套構(gòu)三角”的現(xiàn)象，學(xué)生需通過一定思考方可作CQ∥AC交x軸于Q，進(jìn)而證明△ODE∽△OQC，依靠關(guān)鍵條件“OD=OE”求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，最終利用平行關(guān)系解決問題，如圖10。通過本題，既能為學(xué)生提供新的解題思路，也可以考察學(xué)生舊知識點(diǎn)的掌握程度。題2的動點(diǎn)由一個變?yōu)閮蓚€，同時引入物理中勻速運(yùn)動的概念，進(jìn)一步提升了試題難度，可以綜合考察學(xué)生的核心素養(yǎng)和對知識點(diǎn)的掌握程度，在恰當(dāng)?shù)姆謱硬呗灾羞_(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

五、教學(xué)反思：從經(jīng)驗(yàn)積累到明晰方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維。借助代數(shù)與幾何綜合問題，使學(xué)生不僅通過數(shù)學(xué)問題積累解題經(jīng)驗(yàn)，更重要的是從經(jīng)驗(yàn)中提煉解決問題的通性通法，掌握數(shù)學(xué)思考的規(guī)律性，從而引導(dǎo)學(xué)生從繁重的題海中走出來，減輕課業(yè)負(fù)擔(dān)。

此外，要讓學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，這就要求教師在教學(xué)組織方面充分重視過程與結(jié)果的關(guān)系，將層次性與多樣性問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，給予學(xué)生足夠的時間去猜測、計(jì)算、推理和驗(yàn)證。只有這樣，學(xué)生才能在短時間內(nèi)高效率積累經(jīng)驗(yàn)并從經(jīng)驗(yàn)上升到思想方法層面，把握典型問題的本質(zhì)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：46.

[2]桑孟孌.“學(xué)習(xí)金字塔”理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（27）：53-54.

（責(zé)任編輯：楊紅波）

作者簡介：宋 陽（1979—），女，遼寧沈陽人，沈陽第七中學(xué)高級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育;王 丹（1973—）女，遼寧沈陽人，沈陽市沈河區(qū)教育研究中心高級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

基金項(xiàng)目：本文系遼寧省教育廳2019年度科學(xué)研究項(xiàng)目“‘U-R-S’協(xié)同下的中小學(xué)校本研修”（課題編號：WZD201902）實(shí)證研究成果，2020年度遼寧省經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展研究課題“新時代遼寧省中學(xué)理科教師教研能力發(fā)展研究”（課題編號：2020lslktqn-063）的階段性研究成果。

3365501908235