打造“探究和分享”數學課堂

范月娥

[摘 要]培養學生的創新意識，促進學生形成主動探究知識的能力，是初中數學課堂教學改革的重要任務。教師要積極創造寬松的教學環境，以數學問題為載體，引導學生獨立思考、主動探究與交流分享，努力把數學課堂打造成“探究和分享”空間。

[關鍵詞]數學課堂;探究和分享; 二次函數;最值問題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0004-03

培養學生的創新意識，促進學生形成主動探究知識的能力，是初中數學課堂教學改革的重要任務。為此，教師要積極創造寬松的教學環境，以數學問題為載體，引導學生獨立思考、主動探究與交流分享，努力把數學課堂打造成“探究和分享”空間。

本文通過“與二次函數模型有關的最值問題”這一課例，闡明培養學生的創新意識，需要教師精心選擇教學素材，給學生設置諸如“開放型問題”“變式題”等富有挑戰性和探究價值的數學問題，讓學生從多個角度探究和解決問題，深刻認識數學知識之間的邏輯關系，積累數學活動經驗，掌握數學思想方法，發展發散性思維。

一、基本情況

“與二次函數模型有關的最值問題”一課安排在初三下學期第一輪總復習，是二次函數復習課的第四課時。

授課班級學生數學功底較為扎實，學習主動性強，樂于研究數學問題，樂于分享自己的研究成果。在解決問題時，學生喜歡從不同的角度進行思考，經常會有多種不同的解法產生，學生的發散性思維能力和創新意識較強。

二、教學過程

教學環節一：題目引入

1.用一根長度為20 m的繩子圍成一個矩形，則這個矩形面積的最大值為 ? ? ? ? ?。

【變式】若矩形一邊靠墻，墻長8 m，則長度為20 m的繩子可以圍成的矩形的面積最大值是多少？

2.如圖1，在平面直角坐標系中，點A從點[M（0， 5）]出發向原點O勻速運動，與此同時，點B從點[N（3， 0）]出發，在[x]軸正半軸上以相同的速度向右運動，當點[A]到達原點[O]時，兩點同時停止運動。連接[AB]，以線段[AB]為一邊在第一象限內作正方形[ABCD]，則正方形[ABCD]面積的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

3.如圖2，已知半徑為2的[⊙O]與直線[l]相切于點[A]，點[P]是直徑[AB]左側半圓上的動點，過點[P]作直線[l]的垂線，垂足為[C]，[PC]與[⊙O]交于點[D]，連接[PA]、[PB]，設[PC]的長為[x（2<x<4）]。當[x]為 ? ? 時，[PD·CD]的值最大？

4.如圖3，直線[l]與半徑為4的[⊙O]相切于點[A]，[P]是[⊙O]上的一個動點（不與點[A]重合），過點[P]作[PB⊥l]，垂足為[B]，連接[PA]。設[PA=x]，[PB=y]，則[（x-y）]的最大值是 ? ? ? ? 。

設計意圖：通過上述4道題目，分別引出解決與二次函數模型有關的最值問題的幾種常用方法，即公式（面積）、勾股定理、直接表示（構造矩形、全等、坐標等）以及相似三角形（三角函數）。其中第1題承上啟下，回顧了之前復習的二次函數在區間范圍內的最值問題，引出了本節課的內容;第2、第3、第4題分別從需要引入變量、有一個變量和有兩個變量這三個角度出發引出本節課的內容。借助這4道題目，學生可以回憶常用方法，為后續例題的研究奠定良好的基礎。

課堂概況：學生對區間范圍內的二次函數最值問題非常熟悉，解決起來駕輕就熟，同時對需要引入變量及通過尋找兩個變量之間的關系進行消元的思想方法也掌握較好。特別是第3題引起了學生極大的興趣，他們分別從以下幾個角度展開思考。①看到要表示弦[PD]，想到添加弦心距，利用垂徑定理;②看到兩個垂直，想到構造矩形，不僅可以過[O]作垂線，還可以過[P]作垂線;③看到[PC]和[AB]平行，想到圓中自帶等腰，會有角平分線，于是連接[PO]并延長交圓于一點，構造三角形全等;④通過兩對三角形分別相似尋找線段之間的關系，因為是相似直角三角形，所以也可以用三角函數來解答此題。

課后思考：這個環節用時過長，需要進一步精選題目，為后面的教學環節留足時間。學生已經完全掌握且可以輕松解決的第1題是不是可以省略不講？題目中沒有變量的時候，需要“無中生有”引入變量的思想和題目中有多個變量需要消元減少變量的思想是否一定要在這個環節中復習到位？還是可以通過一道題目引入變式，不僅滲透這兩個思想，而且從多個角度引出與二次函數模型有關的最值問題的幾種常用方法？

教學環節二： 精講精練

[例1]如圖4，已知[∠MON=90°]，[OT]是[∠MON]的平分線，[A]是射線[OM]上的一點，[OA=8] cm。動點[P]從點[A]出發，以1 cm/s的速度沿[AO]水平向左做勻速運動，與此同時，動點[Q]從點[O]出發，也以1 cm/s的速度沿[ON]豎直向上做勻速運動。連接[PQ]，交[OT]于點[B]。經過[O]、[P]、[Q]三點作圓，交[OT]于點[C]，連接[PC]、[QC]。設運動時間為[t（s）]，其中[0<t<8]。

（1）求[OP+OQ]的值;

（2）是否存在實數[t]，使得線段[OB]的長度最大？若存在，求出[t]的值;若不存在，請說明理由。

設計意圖：本題是2020年蘇州市中考題的節選，刪去了和本節課主題關系不密切的第（3）小題。本題是一道幾何動態型試題，[P]和[Q]兩點的運動帶來了以線段[PQ]為直徑的圓的變化。變化的過程中蘊含著一些不變的量，學生可以從多個角度研究、解決問題。

課堂概況：教師引導學生梳理題目中的條件，形成相關的知識鏈接，分析后得出解決問題的策略，最終寫出解答過程。學生思維活躍，積極探究，先后得出了以下幾種解決方案。①看到角平分線的條件，想到角平分線的性質，再過點[B]分別作[OM]、[ON]兩邊的垂線段，進一步由垂線段想到面積，最后用等積法建立函數關系;②看到[45°]角想到等腰直角三角形，于是過點[B]作[OM]的垂線段，構造一對“[A]”字相似來建立函數關系;③看到點[B]是射線[OT ]和線段[PQ]的交點，且射線[OT]是直角[MON]的平分線，想到以[O]為原點，分別以射線[OM]和[ON]所在直線為[x]軸和[y]軸建立平面直角坐標系，用求[OT]和[PQ]所在直線的交點來解決問題;④把[OB]放在[△OBP]中，可以證明[△OBP∽△OQC]，同時由[OQ=TA]想到連接[CA]得[△OQC≌△APC]，從而通過相似來建立函數關系。

課后思考：整個過程學生思維活躍，參與度很高，能夠從多個角度來解決問題，說明以下幾個方面都做得不錯。①前面的知識內容積累得很充分;②例題選擇很恰當;③課堂引導很順利。不足之處：對于多種不同的解法，教師沒有引導學生分析對比，沒有嘗試思考哪種或者哪幾種方法對學生而言比較容易想到。對大部分學生而言，最容易想到的方法往往就是最好的方法。

教學環節三： 學情評價

[檢測題]已知矩形[ABCD]中，[AB=5] cm，點P為對角線[AC]上的一點，且[AP=25] cm。如圖5，動點[M]從點[A]出發，在矩形邊上沿著[A→B→C]的方向勻速運動（不包含點[C]）。設動點[M]的運動時間為[t（s）]，△[APM]的面積為S（cm2），S與t的函數關系如圖6所示。

（1）直接寫出動點[M]的運動速度為 ? ? cm/s，[BC]的長度為 ? ? cm;

（2）如圖7，動點[M]重新從點[A]出發，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運動，另一個動點[N]從點[D]出發，在矩形邊上沿著[D→C→B]的方向勻速運動。設動點[N]的運動速度為v（cm/s）。已知兩動點[M]，[N]經過時間[x]（s）在線段[BC]上相遇（不包含點[C]），動點[M]，[N]相遇后立即同時停止運動，記此時[△APM]與[△DPN]的面積分別為[S1]（cm2），[S2]（cm2），①求動點[N]運動速度[v]（cm/s）的取值范圍;②試探究[S1+S2]是否存在最大值，若存在，求出[S1+S2]的最大值并確定運動時間[x]的值;若不存在，請說明理由。

設計意圖：本題是2019年蘇州市中考題。這是一道結合函數圖像的幾何動態型題目，這一類題目學生往往不是特別擅長。和例1相比較，這道題在以下兩個方面對學生的能力要求更高。①如果沒有仔細讀題，對 “已知兩動點[M]，[N]經過時間[x]（s）在線段[BC]上相遇（不包含點[C]），動點[M]，[N]相遇后立即同時停止運動，記此時[△APM]與[△DPN]的面積分別為[S1]（cm2），[S2]（cm2）”這段話理解不透，就不會弄清是要研究在兩動點[M]和[N]相遇后的兩個三角形的面積問題，那么問題就很難解決;②如果不能發現[S1+S2]為定值，而分別去求[S1]、[S2]的面積，解答此題會相對麻煩。把這樣一道富有挑戰性的題目作為檢測題，既可以鞏固這節課的研究成果，又可以讓學生體會到一題多解（求解[S1]的過程既可以用幾何圖形的方法，又可以用函數解析式的方法）帶來的快樂。

課堂概況：只有5分鐘的練習時間，有些學生一開始就遇到問題，覺得很復雜，原因是他們沒有認清兩個三角形的面積;有的學生一開始就分別求兩個三角形的面積，計算很復雜;也有少數學生想到了比較好的解決方法，但來不及仔細計算。

課后思考：教師除了要給學生留足練習時間，對這一類結合函數圖像的幾何動態型問題，還要和學生進行深入研究，把這一類問題的共性研究透。另外，教師要進一步培養學生的閱讀能力，進而使學生能夠更準確、完整地梳理題目中的條件。

三、總結與改進

（一）精心選擇例題和練習題

從本質上講，數學教學就是數學活動的教學。而數學活動又是學生自主建構知識、積累活動經驗和發展思維能力的過程。因而，教師必須精心選擇教學素材，精心設計教學活動。唯有這樣，學生才能更加充分地利用課堂時間探究和分享有價值的數學問題，學會多角度思考問題和解決問題，并在此過程中體會“什么樣的方法才是最好的方法”， 積累一定的數學活動經驗。

（二）強化課堂的開放性

教師要創造更加寬松的學習環境。如果學生的點滴進步被肯定，每一次的思維靈動被贊賞，那么就有利于培養學生的數學學習興趣，增強學生學習數學的信心，激發學生的探究欲望，由此形成一個良性循環。這對學生形成良好的意志品質、思維品質以及激發學生的創新靈感也十分有利。

當學生探究問題的熱情被點燃后，教師要順勢引導他們從不同的角度思考問題，從不同的角度探索解決問題的途徑和方法。同時，教師要積極鼓勵學生在課堂上分享自己的想法。無論思路和方法如何，教師都應予以肯定，并在此基礎上通過師生活動、生生互動，探索出最佳的解題方法。

教師要依據學情適度增設一些開放性問題和變式題讓學生探究。學生在探究這類問題的過程中往往會感覺自己是一名探索者，會產生“登高望遠”之樂趣，激起進一步學習的興趣。當然，在探究問題的過程中，教師需要適當引導，鼓勵學生大膽猜測、勇于質疑。在解決問題的過程中，教師要引導學生多角度、全方位地思考問題，激活學生的發散性思維和創新思維。

為了更好地打造“探究和分享”數學課堂， 教師不僅要積極轉變教學觀念，不斷地學習和研究，還要掌握學科知識體系，把握學生的能力發展目標和認知規律。同時，對于每一項要求學生探究的內容，教師必須先探究，這更有利于教師參與學生的探究活動并給予必要的指導。

（責任編輯 黃桂堅）

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