“多題一解”思想在初中數學解題中的應用

[摘 要]在數學教學中， 教師大都重視培養學生“一題多解”的思維和能力。但是，學生還需要具備“多題一解”的思維，對不同問題的同類解法進行總結歸納，形成一個完整的知識體系，避免利用題海戰術來學習數學。“多題一解”能訓練學生思維，對培養學生數學能力有重要作用。

[關鍵詞]多題一解;初中數學;特殊三角形

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0020-03

一、初中數學“多題一解”的必要性

“多題一解”是指用同一種數學思想方法解決不同的數學問題，這就要求學生在分析題目時能夠由表及里，抓住問題的本質，找出知識的內在聯系。學生掌握“多題一解”，能將大量的數學題目化歸為一個模塊、一個專題，實現做少量的題也能靈活地解決各類難題。

初中階段正是學生發展數學能力的關鍵期。隨著知識點的增多和學習難度的提高，很多學生的學習水平開始出現明顯差異。學好數學的關鍵點在于能解題、會解題。但是，很多學生都是提筆就寫、遇題就做，缺乏對不同題型求解方法的思考和總結，導致學習效果不盡如人意。若能將“多題一解”思想運用到初中數學的學習中，讓學生在不同問題情境下對問題進行剖析，并通過對比歸納，形成自己的解題體系，學生就會在面對不同類型的數學題時，能快速反應，選擇出合適的解題方法。這樣，既能提高學生的解題效率，又能讓學生在解題過程中加深對知識內在聯系的理解，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

二、“多題一解”思想在特殊三角形存在性問題中的應用

等腰三角形和直角三角形的存在性問題是初中數學的難點問題。解決這兩類問題的主要方法是構造“兩圓一線”和“兩線一圓”模型，在理解題意的基礎上，通過繪圖輔助，分類討論出每一種情況的結果。但此類問題的難點在于滿足題意的結果不止一種，學生受到定式思維的影響容易遺漏其他的結果。而且計算過程較為復雜，總體來說難度系數偏高。在教學時可將這兩大類問題歸為兩個專題，讓學生進行訓練，使他們在解題過程中通過類比、遷移、歸納，感悟并掌握“多題一解”思想。

（一）構造“兩圓一線”求解等腰三角形存在性問題

[例1]如圖1，在平面直角坐標系中，已知點[A]的坐標為[（2，1）]，連接[OA]，若[P]是[x]軸上一動點，則當[△AOP]是等腰三角形時，求點[P]的坐標。

分析：若使[△AOP]是等腰三角形，那么必有[OA=OP]或[OA=AP]或[OP=AP]。

解：如圖2，①當[OA=OP]時，以點[O]為圓心，以[OA]為半徑構造[⊙O]，此時[⊙O]與[x]軸交于[P1]、[P2]兩點，即[P1-5， 0 ]，[ P25， 0 ]。

②當[OA=AP]時，以點[A]為圓心，以[OA]為半徑構造[⊙A]，此時[⊙A]與[x]軸交于點[O]（點[O]不能構成等腰三角形，暫不討論）和點[P3]，即[P3（4 ， 0）]。

③當[OP=AP]時，作[OA]的垂直平分線，該直線與[x]軸交于點[P4]。此時，設點[P4]坐標為[（x ， 0）]，利用勾股定理，可列方程[x2=12+2-x2]，得到[P454， 0]。

因此，此題共有4個點能使得[△AOP]是等腰三角形。

對于這一類題目，通常還會有其他的問法。例如，在同樣的條件下，[y]軸上是否存在點[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？或者在坐標軸上是否存在點[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？經過分析，我們發現解題思路和計算過程都可以類比例1。此時[y]軸上也有4個點符合題意。同樣，當問題是在坐標軸上求點[P]時，就要綜合點[P]在[x]軸和[y]軸上的兩種情況，共可求得8個點。

[例2]如圖3，在平面直角坐標系中，四邊形[OABC]是長方形，已知[A（6， 0）]，[C（0， 2）]，[M]是[OA]的中點，[P]是線段[BC]上的一個動點，當[△OMP]是腰長為3的等腰三角形時，求點[P]的坐標。

分析：若使[△OPM]為等腰三角形，可討論[PM=OM]、[OP=OM]和[OP=PM]這三種情況。

解：如圖4所示，

①當[PM=OM=3]時，此時以點[M]為圓心，以[OM]為半徑構造[⊙M]，其交[CB]于點[P1]，[P2]。分別構造相應的直角三角形，利用勾股定理列出方程，即可求得坐標為[P13-5， 2、P23+5， 2]。

②當[OP=OM=3]時，以點[O]為圓心，以[OM]為半徑構造[⊙O]，其與[CB]交于點[P3]，利用勾股定理列出方程，可得[P35， 2]。

③當[OP=PM=3]時，作[OM]的垂直平分線，由圖可知，此時[△OPM]是等邊三角形，點[P]在兩圓的交點處，不在[CB]上，不符合題意，故舍去。

綜上所述，共有3個點成立。

[例3]在平面直角坐標系中，點[A（2， 1）]，[B（0， 1）]，[C（-4，-3）]，[D（6，-3）]，將各點依次連接構成一個四邊形[ABCD]后，求出點[P]的坐標，使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD]都是等腰三角形。

分析：將各點連接之后，這是一個等腰梯形（如圖5），要使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD] 這4個三角形都是等腰三角形的點[P]并不好求。但是仔細分析后可以發現本題的突破點：（1）“[△APB]、[△CPD]是等腰三角形”是這4個等腰三角形成立的先決條件。由于該四邊形是等腰梯形，[AB]和[CD]有著特殊的位置關系，當[△APB]和[△CPD]是等腰三角形時，點[P]必然在[AB]、[CD]的垂直平分線上，即點[P]在直線[x=1]上。（2）該四邊形是等腰梯形，則有[BC=AD]，考慮[△BPC]和[△APD]都是等腰三角形的條件時，只考慮點[P]使[△BPC]是等腰三角形即可。綜上兩個關鍵點，我們可以建立“兩圓一線”模型來解決這個問題。

解：對于[CB=CP]、[BC=BP]、[BP=CP]三種情況時，分別構造[⊙C]、[⊙B]、[BC]的垂直平分線（如圖6），設點[P（1， y）]。

①當[CB=CP]時，[⊙C]與直線交于[P1]，[P2]兩點，由[CB=42]，可知[CP=42]。根據兩點間距離公式列出方程[y+32+25=422]，得到[P11，7-3]，[P21，-7-3]。

②當[BC=BP]時，[⊙B]與直線交于[P3]，[P4]兩點，同理構造方程[y-12+1=422]，可得[P31， 1+31]，[P41， 1-31]。

③當[BP=CP]時，[BC]的垂直平分線與直線交于點[P5]，構造方程[y+32+25=y-12+1]，得到[P51，-4]。

綜上所述，有5個點符合要求。

求解這一類等腰三角形的存在性問題，只要對問題進行層層分析，將關鍵點分析到位，就能知道它們屬于同一類題，解題方法都是類似的。先根據題意分情況討論，再構造“兩圓一線”模型，最后利用勾股定理和兩點間距離公式求解點[P]。只要熟練掌握這一類解題技巧，那么這類問題也就迎刃而解了。

（二）構造“兩線一圓”求解直角三角形存在性問題

[例4]在平面直角坐標系中，點[A1，1]，[B5， 3]，在[x]軸上找一點P使得[△ABP]是直角三角形，求點[P]的坐標。

[分析]：本題中三角形的目標形狀是直角三角形，那么必有[∠A=90°]、[∠B=90°]、[∠P=90°]三種情況。

解：如圖7（“兩線一圓”模型）所示，[AB=25]，設[P（x， 0）]。

①當[∠A=90°]時，過點[A]作[AB]的垂線交[x]軸于點[P]，利用勾股定理[AB2+AP2=BP2]，列方程為[20+x-12+1=5-x2+9]，即得[P132， 0]。

②當[∠B=90°]時，過點[B]作[AB]的垂線交[x]軸于點[P]，此時有[AB2+BP2=AP2]，列方程為[20+x-52+9=x-12+1]，即得[P2132， 0]。

③當[∠P= 90°]時，點[P]在以[AB]為直徑的圓上，此時[AB]作為斜邊，同樣利用勾股定理[BP2+AP2=AB2]，列方程為[x-52+9+x-12+1=20]，即得[P32， 0， P44， 0]。

綜上所述，共有4個點符合要求。

[例5]在平面直角坐標系中，點[M（1， 4）]，[A（3， 0）]，點[P]是[y]軸上一點。若使得[△PAM]是直角三角形，那么有幾個滿足條件的點[P]？求出該點坐標。

解：如圖8（“兩線一圓”模型）所示，[AM=25]，設[P（0， y）]。

①當[∠M=90°]時，過點[M]作[AM]的垂線交[y]軸于點[P]，由[PM2+MA2=AP2]，列方程為[4-y2+1+20=y2+9]，即得[P10， 72]。

②當[∠A=90°]時，過點[A]作[AM]的垂線交[y]軸于點[P]，由[MA2+AP2=PM2]，列方程為[y2+9+20=4-y2+1]，即得[P20，-32]。

③當[∠P=90°]時，以[AM]為直徑構造圓，其與[y]軸有兩個交點，由[MP2+AP2=AM2]，列方程為[y2+9+4-y2+1=20]，即得[P30，1]，[P40， 3]。

綜上所述，共有4個點滿足題意。

[例6]在平面直角坐標系中，點[A-2， 2]，[B（3， 2）]，[P]是坐標軸上一點，若[△ABP]是直角三角形。問：滿足條件的點共有幾個？

分析：本題增加了點[P]的位置范圍，即在坐標軸上。但是方法不變，我們依然可借助“兩線一圓”來解決這個問題。本題只用求點[P]的個數，不要求坐標，降低了解題難度。

解：如圖9所示，構造“兩線一圓”模型。

①當[∠A=90°]時，過點[A]作[AB]的垂線與[x]軸交于點[P1];

②當[∠B=90°]時，過點[B]作[AB]的垂線與[x]軸交于點[P2];

③當[∠P=90°]時，以[AB]為直徑構造圓，其與[x]軸分別交于點[P3]，[P4]，與[y]軸分別交于點[P5]，[P6]。

綜上所述，共存在6個點使得[△ABP]是直角三角形。

求解直角三角形的存在性問題，學生需要把握題目的本質，精準分析題目。先考慮到有三種直角的情況，再構造“兩線一圓”模型，利用勾股定理列出方程即可。只要做到這一步，學生就能通過做一題會一類。通過日常的學習訓練，學生求解直角三角形存在性問題的能力就會明顯取得進步。

解題能力是數學學習能力的一大組成部分。數學題目種類多、范圍廣，知識點之間聯系緊密。如果學生缺乏“多題一解”思想，很容易被困在題海中，找不到學習數學的有效方法，喪失學習數學的興趣。本文以解決特殊三角形的存在性問題為例，將不同內容的練習題編織在一起，進行層層分析后，采用同一類方法求解，充分體現了“多題一解”的重要思想。在日常教學中，培養學生的“多題一解”思想，有利于加強學生對知識的熟悉程度，有利于學生對數學思想方法的掌握和運用，達到強化訓練的目的，形成解題技巧，提升學生自身的數學素養。因此，“多題一解”在初中數學學習中具有顯著作用，應當成為學生學習數學的重要思想。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 姜靜.淺談“一題多解”與“多題一解”在初中數學教學中的應用[J].科幻畫報，2018（4）：102-104.

[2]? 吳乃才.“兩圓一線”與“兩線一圓”[J].課程教育研究（新教師教學），2012（22）：262.

[3]? 徐秀連.應用類比思想提高數學解題效率[J].廣西教育，2020（5）：142-143.

（責任編輯 黃桂堅）

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