螺旋問題鏈導向下初中數學單元活動問題設計

萬妍青

[摘 ?要] 單元活動是單元教學設計的核心環節，高質量的單元活動設計是有效開展數學活動的前提. 文章從“相似三角形的判定”單元出發，對三類常見的單元活動進行整體建構與系統開發，注重在螺旋問題鏈導向下進行單元活動的問題設計，以達到“思維活動”的目的，從而提升學生的數學素養.

[關鍵詞] 初中數學;單元活動;螺旋問題鏈;相似三角形的判定

單元活動是單元教學的重要組成部分，它是在單元教學目標及流程確定的基礎上，為促進學生對知識的理解與運用，以及實踐、探究、創新能力的發展，針對具體單元的教學內容而開展的活動，高質量的單元活動設計是有效開展數學活動的前提[1].

單元活動以學生為主體，以問題為中心，重在培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，并通過設計圍繞情境（真實情境或數學問題情境）的“問題鏈型”任務，讓學生經歷各種操作、實驗、探究、體驗等活動，豐富學生多樣化的學習經歷，促進對學生的多元評價，從而著力培養學生的創新精神、實踐能力、合作意識和批判性思維等.

一般來說，一個單元的單元活動包含概念、定理和性質的新授，也包含新知的運用與拓展，還包含綜合探究與實踐. 因此，可結合教學活動的內容和活動的不同任務或特點，將單元活動分為新知建構活動、問題探究活動和項目實踐活動.

同時，單元活動的推進通過問題進行串聯，各個問題之間存在一定的內在聯系（或條件、圖形相似，或結論一致，或方法相同），此時需要發揮共性. 對于關鍵問題，要追問學生，觸類旁通;對于整堂課的設計，要體現問題化學習，注重知識點之間的內在聯系. 因而，在問題設計中，教師可由基本問題引入，逐漸延伸，然后過渡至核心問題，加深學生對其的認識，并設計例題變式，讓學生構建知識網絡，最終尋找共性規律，形成解題策略. 在此過程中，將問題像“鏈條”一樣串聯起來，多題歸一，環環緊扣，層層遞進.

文章以“相似三角形的判定”（滬教版九年級上冊）為例（以下統稱“滬教版”），闡述螺旋問題鏈（如圖1所示）導向下“相似三角形的判定”單元中三類單元活動的問題設計策略.

分析、比較教材，設計單元結構

通過比較人教版九年級下冊（以下統稱“人教版”）和北師大版九年級上冊（以下統稱“北師大版”）“相似三角形的判定”章節的具體內容，筆者合理規劃了“相似三角形的判定”單元活動設計. “相似三角形的判定”在滬教版、人教版和北師大版三個不同版本中的具體教學內容如表1所示.

通過比較可以發現，滬教版未涉及（1）（8）（9）三個板塊. 但滬教版在“比例線段”中已系統涵蓋了黃金分割、比例線段和三角形一邊的平行線的相關內容，因此在“相似三角形的判定”單元沒有必要單獨列出板塊（1）和（8）. 板塊（9）側重體現在真實情境中運用數學方法解決一些簡單的現實問題，因而該板塊需納入單元設計中，用于提升學生的問題解決能力和數學建模能力. 通過優化、整合教學內容，筆者得到了“相似三角形的判定”單元結構圖（如表2所示）[2].

表2所示的教學調整將相似三角形的判定方法劃分為三個部分：預備定理（奠定基礎）→三種判定方法（推理應用）→直角三角形判定方法（應用結論）;將相似三角形判定應用也劃分為三個部分：簡單應用（層級Ⅰ）→綜合應用（層級Ⅱ）→實際應用（層級Ⅲ）. 這樣的調整會讓學生經歷“提出問題→解決問題→概括總結”的學習過程，最后進行探究活動，體現了知識的再現與深化，關注了方法的差異和運用.

從整合的效果來看，筆者將探究判定條件與合理選擇判定方法前置，注重了學生在解決三角形相似問題時的思維邏輯，同時結合全等三角形判定定理累積的學習經驗，在新課的學習中以“總—分—總”的方式進行教學，避免了單一知識的重復訓練，能提高學生的思維品質，這對于學生知識的綜合掌握和數學思維能力的提升有較大的幫助.

突出教學重點，設計單元活動

單元活動的設計應遵循學生的認知規律，應根據單元目標統領下的課時目標，分析單元活動的教學目標和重、難點，進而進行單元活動的流程設計. 一般來說，單元活動可以按照“整體規劃→確定內容→設計方案→設計評價”的流程來展開，具體如圖2所示[3].

結合“相似三角形的判定”的重、難點，圍繞單元活動中的知識建構活動、問題探究活動和項目實踐活動三種活動類型，進行單元活動的整體設計，如表3所示.

下面以活動1、活動2、活動3為例，闡述螺旋問題鏈導向下單元活動問題設計.

1. 知識建構活動——興趣的激發

探究相似三角形的判定定理是建立在相似三角形的定義和相似三角形判定的預備定理基礎上的進一步探究，并且與已學的“全等三角形的判定”關系密切，因此借助之前問題研究的經驗，通過類比，可以為學生的自主推理并證明判定兩個三角形相似的命題創設情境，提供可能的條件. 螺旋問題鏈導向下的知識建構活動問題設計如下.

基本問題1：相似三角形與全等三角形有什么關系？

基本問題2：判定三角形全等的方法有哪些？

基本問題3：你能類比三角形全等的方法構建判定三角形相似的命題么？[4]

通過3個基本問題，引導學生思考全等三角形與相似三角形之間的關系，了解兩者特殊與一般的關系——從相似比的值為1到相似比的值為任意正實數，同時回憶全等三角形的判定定理，為學生自主建構相似三角形的判定命題做鋪墊.

核心問題：以其中一個命題為主體（如A.A判定），討論輔助線添加的方法及證明依據.

表4展示了“A.A判定”的證明過程. 證明過程延用了證明全等三角形時的“疊合法”，這種以舊知激活新知的方式，有助于引導學生自主梳理知識結構、建構新的知識體系，其還能為后面幾個相似三角形判定定理的證明做鋪墊.

變式問題1：仿照“A.A判定”的證明過程，證明剩余幾種判定三角形相似的命題.

變式問題2：上述問題探究過程運用了哪些知識和方法？你能構建“相似三角形判定”的知識結構圖么？

變式問題是基本問題和核心問題的升華，將“疊合法”充分融入整個證明環節，能建立完整的“相似三角形判定”知識結構圖（如圖3所示）. 這樣完整的探索過程必能激發學生主動解決后續綜合性問題的積極性，也能為后續單元活動的開展奠定理論基礎.

2. 問題探究活動——能力的培養

教材的許多例題和習題中都隱含著常見的基本圖形，這些基本圖形對于復雜綜合題的突破而言起著至關重要的作用，因此，為了夯實學生對相似三角形判定定理的應用，教師可針對教材中的一些經典例（習）題設計變式題，以幫助學生積累“利用基本圖形分析法解決問題”的活動經驗，從而讓他們體會從一般到特殊、從特殊到一般的數學思想.

下面以滬教版24.4（2）的例1、例2、習題2為主體，進行螺旋問題鏈導向下的問題探究活動問題設計.

例1：如圖4①所示，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2，求證△OAD與△OBC是相似三角形.

例2：如圖4②所示，D是△ABC的邊AB上一點，且AC2=AD·AB，求證△ACD∽△ABC.

習題2：如圖4③所示，在△ABC與△AED中，=，∠BAD=∠CAE，求證△ABC∽△AED.

基本問題：如圖5所示，已知AE=1，AB=1.5，AC=3，AD=2.

（1）求證△AED與△ABC是相似三角形.

（2）圖中有哪些相等的角？

（3）連接EB，DC，還有哪些相等的角？為什么？

相較于例1，基本問題除了用S.A.S判定三角形相似而外，（1）（2）小問還去除了兩條線段（即BE和CD），設計題組，融入“斜X型基本圖形”，并進一步挖掘、深入，使得整個題組更有層次.

核心問題：如圖6所示，在△ABC與△AED中，=，∠BAD=∠CAE，

求證：△ABC∽△AED.

核心問題只是將課后習題的圖形稍作變動，通過圖形的變換將基本問題中的“斜X型基本圖形”轉化為“旋轉相似型”基本圖形，體現了問題之間的聯系.

變式問題：如圖7所示，已知△ABC，試構造與△ABC相似的△ADE（其中點D在AB邊上，點E在AC邊上）.

（1）有多少種結果？（無數種）

（2）有幾種方法？（2種，如圖8所示，平行、斜截）

（3）利用斜截法時如何確定線段DE的位置？（如圖9所示，取點D與點B重合的特殊位置，另=，即AB2=AE·AC，根據上式可確定點E在邊AC上的位置）

變式問題在核心問題的基礎上進一步深化，得到“A（斜A）型”基本圖形（如圖8②所示），而確定DE的位置時，可通過取特殊位置，得到圖9所示的“子母三角形”基本圖形，這也與例2的意圖不謀而合.

對課內例題（習題）及其變式的再設計與再加工是設計與開發問題探究活動的重要源頭，這樣不僅能起到鞏固所學、發展能力的作用，還能引發學生對例題（習題）價值的深度思考. 由上可知，根據相似型基本圖形可衍生出一系列基本圖形（如圖10所示），上述過程能讓學生親歷圖形的運動、變化過程，有利于他們構建完整的知識體系，并體會題目背后蘊藏的思想方法，從而拓展思維.

3. 項目實踐活動——素養的提升

由于滬教版教材缺少相似三角形判定的實際應用問題，因此筆者借鑒人教版和北師大版中“測量旗桿高度”的單元活動作為項目實踐活動，以此引導學生在新的情境中應用數學工具解決問題，經歷數學探究的全過程，感悟實際問題轉化為數學模型的轉化思想. 項目實踐活動注重小組合作，因此設計螺旋問題鏈導向下的活動報告，建議在課外活動中完成. 表5所示為測量旗桿高度活動報告.

在課外活動中，學生以小組為單位查閱相關資料，結合相似三角形的判定定理，利用測角儀、皮尺等測量工具，完成對旗桿高度的測量. 回到課堂后，學生再以小組為單位分享測量方案、示意圖及推理過程（如表6所示）.

整個測量過程從課外到課內，這種“拓展學習時空”的活動方式，使學生經歷了“設計方案→推理計算→檢驗結論→反思總結”的活動過程. 這樣螺旋上升、層層深入的方式，能在潛移默化中培養學生的數學建模能力，同時能使他們明白只有嚴謹規范，才會減小誤差，且通過伙伴之間的團結協作，能選擇最佳的測量方案，從而培養他們嚴謹求實的科學探索觀.

基于活動差異，設計單元評價

初中數學單元活動可分為三種不同的類型：新知建構活動、問題探究活動及項目實踐活動，前兩類又可歸為“教師引導型”活動，而項目實踐活動為“學生主導型”活動.

“教師引導型”活動由教師根據學生的“最近發展區”設計螺旋問題鏈，學生根據教師搭建的問題鏈進行學習，強調新知建構或問題探究;“學生主導型”活動由學生發現問題、提出假設、制訂方案、驗證結論，強調探索和創造. 對于這兩類活動，評價時要有所區別，在教學成效的認知要素上，前者應針對“知識及過程的理解”和“方法與思想的運用”進行評價，以教師評價為主（表7為“探究相似三角形的判定定理”活動評價表）;后者則應針對“問題的發現與解決”進行評價，以學生的自評、互評為主（表8為“測量旗桿高度”課堂匯報活動組間互評表）.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》[6]中指出，在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程. 由此可見，將教材內容進行合理的劃分和整合，并設計單元活動，是優化學習過程、提升學習力的重要途徑. 基于學情，整體構建并系統開發單元活動，以螺旋型問題鏈為導向進行問題設計，無疑為培養學生數學式思考、促進學生核心素養落地、發揮數學育人功能提供了支持與保障.

參考文獻：

[1] 上海市教育委員會教學研究室. 初中數學單元教學設計指南[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐穎. “分”“合”“聯”，整體設計三角形單元教學[J]. 中國數學教育，2019（23）：17-20.

[3] 黃肖晶. 數學學科探究發現型單元活動設計研究[J]. 上海課程教學研究，2017（02）：33-35.

[4] 施衛衛. 基于學生發展需求 ?在結構中教與學——“相似三角形的判定”的教學實踐與反思[J]. 數學教學通訊，2020（02）：7-10.

[5] 顧彥. 立足“四基”，回歸原點的教學重構——以“相似三角形的判定”為例[J]. 數學教學通訊，2020（23）：3-5+8.

[6] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

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