適時適當地干預　潛移默化地成長

周承仕

[摘? 要] 對于解題能力的提升，不同教師有著不同的見解，部分教師認為“刷題”是最直接、最高效的方法，然過多“刷題”不僅容易使學生出現思維定式，而且容易產生消極情緒，這并非最佳方案. 文章指出，解題過程的分析、通性通法的提煉及知識體系的建構才是提升解題能力的捷徑，教師應充分發揮其引導作用，通過干預和指導來鍛煉學生的思維，提升學生的學習能力.

[關鍵詞] 解題能力;干預;學習能力

教師是學習的領路人，學生的學習能力和思維能力的提升離不開教師悉心指導，教學中教師適度和適當的干預不僅可以讓學生少走彎路，而且可以讓學生“真懂真會”，從而提升學習效率. 筆者經過不斷地實踐研究，獲得了一點成效，分享給同行供參考.

借過程分析，讓思維更嚴謹

在解題中常出現答案正確、然過程錯誤的現象，有部分原因是學生的書寫過程不夠規范，于是造成了錯誤;然大多數錯誤還是因為學生的思維不夠嚴謹造成的，如在解題時添加或減少了條件，從而出現了“對而不會”的現象. 因此，教學中要杜絕“重結果缺過程”的現象，只有通過對過程的分析和思考才能暴露學生的思維誤區，從而對癥下藥，正確求解.

案例1? 如圖1所示，已知有一條長2.5米的木棍AB斜靠在墻上，地面OM與墻ON垂直. 此時OB的長度為0.7米，AB的中點為P.

（1）若木棍沿墻面逐漸下滑，當頂點A下滑0.4米時，試求點B向右滑動了多少米.

（2）在木棍AB下滑的過程中，中點P到點O的距離是否發生了變化？請說明理由.

（3）木棍AB下滑到什么位置時，可以使△AOB的面積最大？此時的值是多少？

解題分析? 第（1）問主要考查的是勾股定理的應用. 根據題目條件很容易得出OA為2.4米，當頂點A下滑0.4米時可得OA為2米，斜邊AB不變. 根據勾股定理可以求出點B向右滑行后到點O的距離為1.5米，故可得點B向右滑行了0.8米. 第（2）問看似為復雜的動點問題，然仔細分析后可知其為直角三角形斜邊中線定理，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP也不變. 前面兩個問題大多數學生都能解決，并且可以思路清晰地正確求解. 第（3）問是一道考查學生綜合能力的題目，有一定難度，然從結果來看，大多數學生都得出了正確答案. 為了更好地呈現學生的思維過程，筆者讓學生通過口述的形式講述其求解過程.

生1：我認為當OP⊥AB時，△AOB的面積最大，所以我是根據這個思路求解的.

師：你的理由是什么呢？

生1：這個我不太能說得清楚，憑借經驗，這類題目的答案一般都是在特殊的位置，所以我認為當OP⊥AB時就是那個特殊的位置.

師：雖然你的答案是正確的，但缺少對過程的正確理解，有沒有同學可以幫助他呢？

生2：我們知道對于周長相等的四邊形，正方形的面積大于長方形的面積，按照這個思路可知，當OA=OB時，△AOB的面積最大. 而當OA=OB時，正好是OP⊥AB. （很多學生認為生2說得很有道理，紛紛點頭）

師：是這樣嗎？（教師表示疑惑，這時反應快的學生已經發現了問題）

生3：生2的說法有問題，因為只有周長不變的情況下上面的說法才能成立，而從第（1）問可知OA縮短了0.4米，而OB增加了0.8米，顯然其周長變化了. 另外，可以設OA=a，OB=b，可得a2+b2=6.25，從這個等式也可以看出OA+OB是不確定的.

師：分析得很有道理. 如何將a2+b2=6.25變形，使其轉化為類似ab這種與三角形面積相關的式子呢？（教師話音剛落，學生就開始搶答了）

生4：（a+b）2-2ab=6.25.

生5：（a-b）2+2ab=6.25.

師：很好，現在結合生2的思路，可以得到什么呢？

生6：當ab的值最大時，△OAB的面積最大. 由（a-b）2+2ab=6.25可知，當ab的值最大時，（a-b）2的值最小，此時a=b，△OAB為等腰直角三角形，OP⊥AB，S=×2.5×1.25=1.5625.

通過師生和生生的互動交流，不僅理清了問題的來龍去脈，而且挖掘出了問題的本質，使學生不僅“懂”而且“會”. 數學是一門嚴謹的學科，雖然有時也應用了猜想和假設，然并非憑空猜想，其需要符合客觀的事實. 在第（3）問的求解過程中，雖然生1和生2的答案是正確的，然其求解過程不夠充分，故出現了“對而不會”的現象. 因此，在教學中教師不能僅關注結果，更應關注解題過程，只有經歷了過程才能知道學生是否真的“既懂又會”，從而培養他們嚴謹的數學思維.

借多種解題，提煉通性通法

眾所周知，數學習題千變萬化，不可能做完. 提升解題能力單憑機械盲目的強化訓練往往收獲甚微，而且機械訓練會占用學生大量的思考和總結歸納的時間，致使學生因缺乏思考而解題思路單一僵化，因缺乏總結歸納而無法提煉解題的通性通法，不利于思維的發展. 沒有好的思維習慣和好的解題策略，解題能力難以提升，因此教學中教師要適時引導，讓學生重視通用法和基礎法的提煉，從而讓學生既可夯實基礎又能提升應變能力.

案例2? △ABC的位置如圖2所示，直線l經過點（0，1）且與y軸平行，△ABC與△ABC關于直線l對稱.

（1）畫出△ABC，并寫出其對應點的坐標;

（2）若點P在△ABC內，坐標為（a，b），寫出△ABC中與點P對應的點P的坐標.

解題分析? 第（1）問是基礎類問題，相對容易，學生很容易得出答案. 第（2）問的難度略有提高，其主要考查學生的觀察能力、動手能力，以及轉化和類比等數學思想. 大多數學生根據觀察第（1）問中各對應點坐標的關系猜想P的坐標，進而得出答案;也有少數學生使用了平移方法，然有些學生對于平移方法表示不理解，于是教師讓采用平移方法的學生進行了講解.

生7：將直線l與△ABC考慮為一個整體，將直線l向右平移一個單位，使直線l與y軸重合，此時點P的坐標為（a+1，b），則其關于y軸對稱的點的坐標為（-a-1，b），這時再將（-a-1，b）向左平移一個單位，即得P的坐標為（-a-2，b）.

通過生1的講解，大部分學生表示理解了，并且會用平移法求解對應點的坐標. 在教學中要鼓勵學生進行多角度的觀察和思考，通過類比、猜想、歸納等活動來發現問題的本質特征，從而發現解題的一般方法. 為了讓學生的思維再“跳一跳”，教師繼續追問：你們認為哪種方法更好呢？

在追問的引領下，學生除了關注結果是否正確外，開始尋找最優的解決策略. 然針對部分學生仍對平移方法存在疑問，教師引導學生通過動手操作來真實演繹推理的過程. 首先教師讓學生在紙上繪畫△ABC并將其裁剪下來，接下來將△ABC向右進行平移，將y軸想象成直線l，這時寫出平移后點P的坐標，最后讓學生將△ABC向左平移至原來的位置，再寫下此時點P的坐標. 通過動手操作，學生更加直觀地了解了對稱與平移. 為了讓學生加深理解，教師還可以引導學生進行變式訓練，如將“直線l經過點（0，1）且與y軸平行”改為“直線l經過點（0，-1）且與x軸平行”. 通過動手操作及變式訓練的引導，不僅可以發散學生的思維，而且有助于學生從特殊規律發現一般規律，找到解決問題的通性通法，提升學生分析和解決問題的能力.

借變式訓練，促知識遷移

數學知識點鏈接起來猶如一個大型“蜘蛛網”，它們相互關聯、相互依存，然很多學生在知識構建時因忽略知識點之間的聯系，致使漏洞出現. 究其原因，很大程度上與教師的教學方法有關：部分教師在教學時依然習慣用“題海戰術”進行強化訓練，忽視了例習題的示范性和典型性，忽略了對例習題的挖掘，學生無法領會例習題的真正意圖，無法找到知識點之間的聯系，從而限制了知識的遷移和運用. 為了改變這一現象，教師要重視例習題的拓展和引申，潛移默化地讓學生從一個知識點“嫁接”至另一個知識點，從一個知識體系“跨越”至另一個知識體系，從而實現知識的全面系統構建，提升解題能力.

案例3? 已知點P（-3，2）關于y=x對稱，求其對稱點的坐標.

解題分析? 本題未給出圖形，需要學生自己進行構造. 為了尋找點P的對稱點，學生可以構造等腰直角三角形，如圖3所示. 圖形構造完成后很容易得出點A的坐標為（2，2），由點A的坐標可以推導出點Q（點P關于y=x的對稱點）的坐標為（2，-3）.

顯然通過數形結合使本題的求解過程更加清晰明了，為了檢驗學生的學習成果并讓思維實現質的飛躍，教師設計了兩個分層的變式題目：（1）寫出點P（-3，2）關于y=-x對稱的點的坐標;（2）寫出點P（-3，2）關于y=x+2對稱的點的坐標. 變式題（1）依然是軸對稱問題，其解題思路和解題方法與原題相同. 變式題（2）在軸對稱的基礎上增加了平移，潛移默化地實現知識的遷移，使學生的思維得到了升華. 在數學學習中，各知識點之間存在著千絲萬縷的聯系，因此要學好數學必須會轉化，將不熟悉的、不夠直觀的問題根據已有知識進行遷移和轉化，從而提升數學的綜合應用能力.

總之，教學中要善于借助于思維過程暴露出的問題，通過適當干預，讓學生“真懂真會”，提升學生的學習能力.