高中數學解題中數形關系的應用

吳毓敏

摘 要：眾所周知，數與形有著緊密的聯系。解答高中數學習題時應用數形關系，可達到簡化解題步驟、提高學習效率的目的。教師在授課過程中應注重為學生講解相關的理論知識，并結合學生所學為其展示相關例題的解題過程，使其能夠更好地把握應用數形關系解題時的相關細節，促進其解題能力的進一步提升。文章結合高中數學教學經驗，對高中數學中涉及的數形關系做了簡單介紹，同時從平面和空間兩個維度，優選相關例題，展示了數形關系在解題過程中的具體應用，以供參考。

關鍵詞：高中數學;解題;數形關系;應用策略

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2022）05-0079-03

引 ?言

數與形關系密切，運用數可對形進行準確計算，而運用形可直觀地展示數的邏輯關系，提高解題的直觀性。學生在高中數學解題過程中注重數形關系的應用，可少走彎路，迅速發現解題思路，突破相關難題。因此，教師在教學過程中應做好對數形關系應用的講解，展示針對不同題型應如何采用數形關系進行破題，以更好地拓展學生的視野，使其掌握這一高效的解題方法，促進其解題能力的提升。

一、高中數學數形關系分析

為了使學生更好地應用數形關系解答高中數學習題，教師在課堂上應注重結合具體案例，講解數形關系的重要性，提高學生學習與應用數形關系的意識，同時還應與學生一起總結歸納數形轉化的常用思路以及適合運用數形關系解題的常見題型。

數向形轉化的思路有借助函數圖像進行轉化、借助幾何圖形性質進行轉化、借助向量性質進行轉化等;而形向數的轉化則主要通過構建平面、空間直角坐標系實現。適合運用數形關系解題的題型較多，主要有函數零點問題、函數交點問題、方程根的問題、向量中參數關系問題以及立體幾何中求解軌跡長度等問題。當然，為了使學生在應用數形關系解題的過程中提高效率，教師還應注重講解相關的注意事項，提醒學生在解題時先動腦分析，然后再作答。如在畫函數圖像時，應先明確定義域，聯系已學的函數圖像;針對一些特殊的函數，應靈活運用函數的單調性、奇偶性、周期性知識，以保證畫圖的準確性。

二、高中數學解題中數形關系的應用

（一）數形關系在平面問題中的應用

1.由形化數

由形化數主要是根據給出的圖形，對其進行觀察和研究，提取圖形中的數量關系，找出圖形中的內在屬性，對題目進行深層次的思考和解答。

例題：已知二次函數y=ax2+bx+c （a≠0）的圖像（如圖1），在下列代數式中，①a+b+c;②a-b+c;③abc;④2a+b;⑤b2-4ac，值為正數的個數

是（ ? ? ）

A.1個 ? ? ? B.2個

C.3個 ? ? D.4個

解：根據圖像可以得出當x=1時，y=a+b+c<0;當x=-1時，y=a-b+c>0。因為拋物線開口方向朝上，所以a>0，因為與y軸的交點在y軸正半軸上，所以c>0，因為對稱軸x=->0。所以a和b異號，即b<0，所以abc<0，因為對稱軸x=->1，所以2a+b<0。因為拋物線和x軸的交點是兩個，所以b2-4ac>0。因此②⑤兩個代數式的值為正數，答案是B。

點評：此題主要是考查學生對二次函數的圖像和性質的掌握情況。因此，在高中數學解題教學過程中，教師應注重對學生數形關系意識的培養，讓學生做到胸中有圖、見數想圖，拓展學生數學思維。面對復雜的函數問題，學生應從圖形角度去思考，分析圖形中隱藏的數據和數量關系，尋找直觀的解題方式。

2.由數化形

高中數學題目類型較多，不少題目的敘述較抽象，理解起來有一定的難度，難以找出其中的有效信息，不利于學生尋找解題思路。因此，面對復雜的數學問題，教師應當引導學生利用數形關系，由數化形，根據題目中的條件，準確畫出圖形，通過圖像展現其數量關系，展示數學式的本質，明確解題思路。