圖說數學教育研究方法

【摘要】數學教育研究方法是開展數學教育研究所采用的途徑和手段，是達到數學教育研究目的的重要保障。研究者通過圖說數學教育研究的邏輯起點、理論模型、方法分類、“五股化”實證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標系”寫作規律等問題，幫助中小學數學教師形象、直觀地理解數學教育研究方法，提高數學教育研究水平。

【關鍵詞】數學教育;研究方法;實證研究;思辨研究

《數學寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖片組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：有什么比用插圖來展現一個個重要的數學知識點更好的主意呢？[1]筆者受到啟發后，想到圖說數學教育原理，希望可以借助圖形幫助讀者直觀理解許多復雜、深奧的數學教育原理。本文專門圖說數學教育原理中的數學教育研究方法。數學研究有數學方法論，我國著名數學家徐利治先生在國內較早提倡數學方法論，其代表作是《數學方法論選講》[2]。相應地，數學教育研究也有方法論，其已經成為高校數學教育專業的一門重要課程，即數學教育研究方法（論），甚至有的高校還用“教育研究方法”課程取代傳統的“教育學原理”課程[3]。所謂數學教育研究方法，是指開展數學教育研究所采用的途徑和手段，它是達到數學教育研究目的的重要保障，通常會在研究過程與成果中體現出來[4]。當前，數學教育研究方法受到普遍重視，已成為中小學數學教師的學術基礎之一[5]。文章從數學教育研究的邏輯起點、理論模型、方法分類、“五股化”實證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標系”寫作規律等方面展開論述。

一、數學教育研究的邏輯起點

數學教育研究的邏輯起點預示著數學教育研究的目標和方向，制約著數學教育學理論框架的建構和學科體系的定位，也是選擇數學教育研究方法的邏輯基礎。

南京師范大學喻平教授在與其博士生導師單墫教授合作的文章中指出，數學教育學有兩個邏輯起點：一個是教育學，另一個是數學教學。數學教育學既是對教育學理論演繹的結果，也是對數學教學實踐歸納的結果（如圖1）。將兩者有機結合，就會形成有理論張力的數學教育學體系[6]。

我國著名數學家、計算機科學家張景中院士則獨辟蹊徑建構了數學教育研究的邏輯起點：教育數學。所謂教育數學，就是對數學成果進行再創造，使之成為符合教育基本規律的數學經典教程。數學教育工作者再對經典教程進行教學法加工，使之成為課堂上的數學教材（如圖2）。教育數學具有數學與教育的雙重屬性，它不是原始形態的數學成果，而是服務教育的數學。目前，教育數學已發展成為一個專門的學科[7]。

以上兩種觀點都與南京大學鄭毓信教授關于“數學教育的基本矛盾”的論述相吻合：數學教育的“數學方面”和“教育方面”的辯證統一是數學教育的基本矛盾[8]。也就是說，開展數學教育研究，要緊扣數學與教育兩個維度，不可偏廢。

二、數學教育研究的理論模型

數學教育研究的結果往往追求數學教育理論的建構，具體包括理論的概念界定、模型建立、指標體系等內容。其中，模型是理論最直觀的刻畫、最凝練的表達。

華東師范大學鮑建生教授將模型建立的常用方法分為水平模型、過程模型、分類模型、因素模型等（如圖3）。揚州大學李新老師以核心素養的結構模型為例，介紹了教育理論模型的四種類型：層級并列型、整體交互型、系統立體型、同心輻射型[9]。這些研究都值得大家借鑒。

筆者對30多個常用數學教育理論模型進行分析，將理論模型建立的常用方法細分為樹形圖、韋恩圖、流程圖、雷達圖、幾何體、坐標系、對稱圖等，并給出了相應的案例描述[10]。研究者應根據具體的邏輯關系選擇合適的模型來建構理論，以增強理論的傳播力與應用性。

三、數學教育研究的方法分類

數學教育研究方法的發展水平是數學教育學科發展水平的重要標志，制約中國數學教育科學發展的一個重要因素就是其研究方法不“銳利”。

華東師范大學牛偉強博士等研究者梳理了數學教育的研究方法及其分類[11]，筆者將其用圖4表示。總的來看，數學教育研究方法分為兩大類：思辨研究與實證研究。思辨研究主要解決“應然”問題，注重概念、理論與觀點等內容的構建，通過邏輯推理來回答概念性、規范性的問題;而實證研究主要關注“實然”問題，基于收集與分析數據信息得出研究結果[12]。以上兩類方法又可細分為若干方法：思辨研究包括理論思辨、文獻研究、歷史研究、經驗總結等;實證研究包括統計調查、內容分析、實驗研究、敘事研究、個案研究、行動研究、田野調查等。其中，統計調查、內容分析、實驗研究也叫量化研究;敘事研究、個案研究、行動研究、田野調查也叫質性研究。

這些方法對中小學教師而言確實有點多，有的方法還需用到一定的統計學知識與數據分析軟件，不易掌握。鮑建生教授對此給出的建議是：這些方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉了[13]，即在用中學。而且各個研究方法本身沒有優劣之分，只有適合與否，正如北京師范大學曹一鳴教授所言，要從問題出發，選擇最合適的研究方法進行研究方法的總體設計，即“問題為先、方法從之”[14]。

長期以來，在傳統的思辨研究范式主導下，理論研究常常具有較大的爭議性、不確定性。近年來，隨著對科學化、規范化研究方法的不斷探索，數學教育研究逐漸擺脫思辨研究的束縛，開展了實證研究新范式。總的來說，數學教育研究方法的發展趨勢是由定性研究、思辨研究向量的研究、質的研究發展，以及由單一的、孤立的研究方法向多種研究方法相結合的發展[15]。

數學教育研究方法是與時俱進、逐步拓展的，比如鮑建生教授提倡數學教育設計研究。國際上的設計研究興起于20世紀90年代，21世紀初國內教育技術研究者開始關注設計研究，后來逐步引入教育研究領域。數學教育領域的設計研究包括設計、實施、反思三個循環迭代的階段（如圖5）。不難看出，設計研究注重過程中的方案反思與修正，而常規的研究方法總是采用固定的程序完成既定的研究。而且常規的研究方法是要通過系統地改變學習狀況來檢驗事先提出的假設，設計研究的目標則是考查在什么狀況下導致了不同的效果[16]。

四、“五股化”實證研究

實證研究一般包括以下五個步驟：（1）選取有價值且尚未解決的問題開展研究;（2）開展較為完備的文獻綜述;（3）設計研究方法并論證可行性;（4）充分收集實證數據、材料并進行統計分析;（5）依據有關理論表述研究結果。[17]我國著名數學教育家張奠宙先生用“五股化”形容這種模式固化的實證研究，這非常貼切，我們用圖6直觀表示“五股化”實證研究。

張奠宙先生指出，數學教育博士論文必須下功夫做“五股化”的實證研究，與國際研究規范接軌。當然數學教育研究還面臨著許多規律尚不明晰卻又不得不進行研究的問題，這時只好借助經驗和思辨加以解決。實證研究好比西醫，思辨研究好比中醫，兩者都需要，兩者可以互補[17]。也就是說，教育研究方法不能搞非此即彼的二元對立，避免只懂方法不懂方法論。鑒于實證研究的技術性要求較高，建議有條件的教師可以專門閱讀實證研究的書籍或參加系統培訓。

五、“四析法”思辨研究

根據中小學數學教師做研究的客觀需求與教學任務繁重的實際情況，筆者給出一個簡單實用的數學教育研究方法——“四析法”思辨研究，具體包括以下四個步驟：（1）縱向視角的歷史尋析;（2）橫向視角的路徑探析;（3）內向視角的意蘊解析;（4）整體視角的辯證分析。[18]

縱向視角的歷史尋析，是對問題已有的研究按時間順序進行梳理分析，即考察問題的古往今來;橫向視角的路徑探析，是對問題已有的研究路徑進行橫向比較分析，做好中外互鑒;內向視角的意蘊解析，是對問題的本質、特征、方法、意義等內生因素進行有邏輯的思考解析，提出內容深刻、形式美觀的理論或主張，做到內外兼修;整體視角的辯證分析，是對問題已有的研究（包括自己的研究）進行整體客觀評價，做好正反兩方面的分析，并提出展望。

“四析法”思辨研究融合了思辨研究與實證研究的優點，且便于操作，適合中小學數學教師開展數學教育研究。“四析法”思辨研究可用如圖7所示的魚骨模型來表示。

六、“三維坐標系”寫作規律

數學教育論文是數學教育研究（過程和結果）的常見表現形式，為此筆者談談數學教育論文的寫作規律。“興趣驅動、能力支撐、方法引領”構成中小學數學教育論文的“三維坐標系”寫作規律（如圖8）。具體來說，開展中小學數學教育論文的寫作，最核心的動力是興趣驅動，最基本的能力是普遍聯系與辯證分析，最根本的方法是分類整合[19]。

開展數學教育論文寫作的動力來自許多方面，有可能是指導教學實踐的需要，也有可能是發展教育理論的需要，抑或是人事考核的要求，但最核心、最持久的動力一定是研究者自身的興趣，即對數學教育研究的摯愛與奉獻精神。

除了興趣驅動，支撐數學教育論文的寫作還需要兩種基本的能力：一是普遍聯系的能力，二是辯證分析的能力。普遍聯系是唯物辯證法的基本觀點。任何事物都不是孤立存在的，它總是和外界事物有著千絲萬縷的聯系。事物的聯系具有普遍性和多樣性。分析一個問題時，要注意其與其他相關問題的聯系。比如，2016年，我國教育領域興起核心素養的研究，筆者隨即將“數學核心素養”與之前的“數學素養”“數學核心詞”聯系起來，開展文獻研究，梳理“數學核心素養”發展脈絡，寫成文章《我國數學核心素養研究進展——從數學素養到數學核心詞再到數學核心素養》[20]，目前該文已被其他文章引用130多次（來自中國知網的2022年1月6日的數據）。再比如，看似毫不相關的兩個問題，即如圖9的面積魔術（曾出現在高中數學教材[21]及《義務教育數學課程標準（2011年版）》[22]當中）與對數比較大小：log53，log85，log138（2020年高考全國Ⅲ卷理科數學試題），竟然都是關乎斐波那契數列性質的問題。

辯證分析強調用全面、聯系、發展的觀點看問題，反對用片面、孤立、靜止地觀點看問題。因此，較強的辯證分析能力，將有助于我們深刻認識數學教育問題，高質量地開展數學教育論文寫作。但具體到數學教育論文的寫作環節，還需要寫作方法的引領，即分類整合。分類就是先找到不同研究觀點的“同類項”;整合就是將“同類項”進行合并，提煉共性、挖掘規律。正所謂分類見重點、整合見規律[19]。

綜上所述，本文介紹的數學教育研究方法，其實每位數學教育研究者都在有意或無意、或多或少地使用，但研究質量卻因研究方法的不同而千差萬別。北宋詩人蘇轍曾說“無以待之，則十百而亂;有以待之，則千萬若一”，講的正是研究方法的重要性。系統了解和理解數學教育研究方法的分類、適用對象、基本步驟，不僅能幫助我們解決數學教育研究中的“怎么辦”問題，還能提升我們駕馭數學教育研究任務、工具、路徑的能力。期待中小學數學教師能夠靈活選用數學教育研究方法，提高自己的數學教育研究水平，形成自己的數學教育研究方法論。

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